微积分笔记（3）——映射、函数和初等函数

微积分笔记（3）——映射、函数和初等函数

映射（抽象的函数）

定义

设 $A$，$B$ 为集合，若 $\forall x \in A$，按照规律 $f$，$\exists$ 唯一 $y \in B$ 与之对应，记为 $y = f(x)$，称为一个映射，记为 $f : A \to B$。

其中 $f$——映射，$A$——$f$ 的定义域 $D(f)$，$B$——$f$ 的“值域”。

其他记法

1. 设 $E \subset A$，$f(E)=\{f(x)|x \in E\}$ 称为 $E$ 的象，$f(A)$—— $f$ 的值域 $\subset B$。
2. 设 $F \in B$，$f^{-1}(F) = \{x \in A|f(x) \in F\}$，称为 $F$ 的原象（可以是空集 $\varnothing$），$f^{-1}(B) = A$。

满射

设 $f : A \to B$，若 $\forall y \in B$，$\exists x \in A$ 使 $f(x) = y$，则称 $f:A \to B$ 为满射，也即 $f(A) = B$。

单射

设 $f : A \to B$，若 $\forall x_1,x_2 \in A$，$x_1 \not = x_2$，则 $f(x_1) \not = f(x_2)$，则称 $f : A \to B$ 为单射。

双射（1-1 对应）

若 $f : A \to B$ 是满射又是单射，则称 $f : A \to B$ 是一个双射（1-1 对应）。

逆映射

设 $f : A \to B$ 是单射，记 $B_1 = f(A)$，则 $\forall y \in B_1 = f(A)$，$\exists x \in A$ 使得 $f(x) = y$，且 $x$ 是惟一的。

（注：此时 $f : A \to B$ 是双射）

定义：$x = f^{-1}(y)$，则 $f^{-1} : B_1 \to A$ 为一个映射，称为 $f$ 的逆映射。

推论：若 $f : A \to B$ 是双射，则逆映射为 $f^{-1} : B \to A$。

复合映射

设 $g : A \to B,f : C \to D$，且 $g(A) \subset C$，则可定义 $f \circ g : A \to D$ 如下：

​ $\forall x \in A$，$g(x) \in C$，定义 $f \circ g(x) = f(g(x))$。

称 $f \circ g : A \to D$ 是 $f$ 与 $g$ 的复合映射。

注：$g(f(x))$ 未必有意义。

定理：设 $f : A \to B$ 是双射，则 $f^{-1} : B \to A$ 存在，且 $f(A) = B$，$f^{-1}(B) = A$，从而 $f \circ f^{-1} : B \to B,f^{-1} \circ f : A \to A$。

$\forall x \in A,f^{-1} \circ f(x) = f^{-1}(f(x)) = x,\forall y \in B,f \circ f^{-1}(y) = f(f^{-1}(y)) = y$，即 $f^{-1} \circ f$ 为 $A$ 上恒等映射， $f \circ f^{-1}$ 为 $B$ 上恒等映射。

集合的势

略去，自行阅读。

函数

定义

设 $f :A \to B$：

​ 若 $A,B \subset \mathbb{R}$，则称 $f$ 为（一元）函数。

​ 若 $A \subset \mathbb{R}^n,B \subset \mathbb{R}$，称 $f$ 为 $n$ 元函数。

常见函数的表示方法

1. 描述
2. 表格
3. 图象（曲线）
4. 公式（包括分段公式）

$x + \sin y = y$ 对应的函数称为隐函数。

$$\left\{ \begin{array}{lc} x = \cos t & \\ & 0 \le t\le 2\pi \\ y = \sin t & \end{array} \right.$$
这是用参数 $t$ 给出的函数。

函数的运算

1. 复合函数（参见复合映射）
2. 四则运算，设 $f : A \to \mathbb{R},g : B \to \mathbb{R}$，其中 $A,B \subset R$，$D = A \cap B$ 非空，定义：
   1. $f \pm g : D \to \mathbb{R},(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x),x \in D$
   2. $fg : D \to \mathbb{R},(fg)(x) = f(x)g(x),x \in D$
   3. $f/g: D_0 \to \mathbb{R},D_0 = \{x \in D|g(x) \not = 0\},(f/g)(x) = f(x) / g(x),x \in D_0$

单调函数

设 $f : X \to \mathbb{R}$，$x \subset \mathbb{R}$。若 $\forall x_1,x_2 \in X,x_1 < x_2$，必有 $f(x_1) \le(<) f(x_2)$，则称单调增（严格增）。

单调减同理定义。

定理：设 $f : X \to Y$ 为严格单调函数，且 $Y = f(X)$，则反函数 $f^{-1} : Y \to X$ 存在，且也严格单调。

证明略。

基本初等函数

1. 多项式：$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n,x \in \mathbb{R}$，其中 $a_0,a_1,\cdots,a_n \in \mathbb{R}$（固定）
2. 幂函数：$f(x) = x^a,x \in \mathbb{R_{+}}=\{x \in \mathbb{R}|x > 0\}$
   1. $a = n \in \mathbb{N},x^a = x^n,x \in \mathbb{R}$
   2. $a = \frac{n}{m} \in \mathbb{Q},x^a = x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} = (\sqrt[m]{x})^n,x \in \mathbb{R_{+}}$
   3. $a = -\frac{n}{m} \in \mathbb{Q},x^a = \dfrac{1}{x^{|a|}}$
   4. $a \notin \mathbb{Q}$，之后再定义
3. 指数函数：$f(x) = a^x,x \in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}(a > 0,a \not = 1)$，下面再定义
4. 对数函数（指数函数的反函数）：$f(x) = \log_a x,x \in \mathbb{R_{+}}(a > 0,a\not = 1)$，下面再严格定义
5. 三角函数：$f_1(x) = \sin x,f_2(x) = \cos x$
   1. $f_1(x)$ 在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 严格单调，且值域为 $[-1,1]$
   2. $f_2(x)$ 在 $[0,\pi]$ 严格单调，且值域为 $[-1,1]$
6. 反三角函数：
   1. $f^{-1}_1(x) = \arcsin x,[-1,1]$
   2. $f^{-1}_2(x) = \arccos x,[-1,1]$

初等函数

基本有限函数经有限次四则运算和复合运算生成的函数。

指数函数 $a^x$ 的定义和性质（补充）

定义

$a > 0,a \not = 1$——固定，分步定义 $a^x$：

1. $x = n \in \mathbb{N},a^x = a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n\ \text{个}\ a}$

2. $x = \frac{n}{m} \in \mathbb{Q},a^x = a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} = (\sqrt[m]{a})^n$

3. $x > 0,x \notin \mathbb{Q}$，取有理数列 $\{p_n\},\{q_n\}$ 满足：

   $p_1 < p_2 < \cdots < p_n < x < q_n < \cdots < q_2 < q_1$。

   不妨令 $a > 1$，则 $a^{p_1} < a^{p_2} < \cdots < a^{p_n} < \cdots < a^{q_n} < \cdots < a^{q_2} < a^{q_1}$。

   $\{a^{p_n}\}$ 单调增有上界，$\{a^{q_n}\}$ 单调增有下界。

   根据单调收敛原理，$a^{p_n} \to y_1,a^{q_n} \to y_2$，且 $y_1 = y_2 =y$，定义 $a^x = y$。

4. $x < 0,a^x = \dfrac{1}{a^{|x|}}$

5. $x = 0,a^x = a^0 =1$

性质

1. 当 $a > 1$ 时，$a^x > 1,x \in \mathbb{R_{+}}$，严格增；

   当 $0 < a < 1$ 时，$0 < a^x < 1,x \in \mathbb{R_{+}}$，严格减。

2. 指数律（$a,b > 0,a,b \not = 1$）：

   1. $a^{x \pm y} = a^xa^{\pm y}$
   2. $a^{xy} = (a^x)^y$
   3. $(ab)^x = a^x b^x$

证明思路：先证明有理数情况，无理数取有理数取极限证明

定理

令 $a > 0,a \not = 1$，则 $f(x) = a^x$ 为 $\mathbb{R} \to \mathbb{R_{+}}$ 上严格单调双射。

对数函数

令 $a > 0,a \not = 1$，定义 $\log_a x = f^{-1}(x),x \in \mathbb{R_{+}}$。

推论

1. $y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y,x \in \mathbb{R_{+}},y \in \mathbb{R}$
2. $(\log_a a^x) =x,\forall x \in \mathbb{R};a^{\log_a x} = x \in \mathbb{R_{+}}$

性质

1. 当 $a > 1$ 时，$\log_a x$ 严格增；

   当 $0 < a < 1$ 时，$\log_a x$ 严格减。

2. 指数律（$a > 0,a \not = 1$）：

   1. $\log_a{xy} = \log_a x + \log_a y$
   2. $\log_a{\frac{x}{y}} = \log_a x – \log_a y$
   3. $\log_a{x^y} = y\log_ax$

      3. 换底公式：令 $a,b > 0,a,b \not = 1$，则 $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

幂函数的补充定义

同指数函数可以定义。

$$\large x^a = b^{a\log_b x}$$

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