# 大学物理B笔记22章：光的干涉

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## 第二十二章 光的干涉

### 1. 光的相干性

$$E = E_0 \cos (\omega t - kx)$$

$$S = |\vec{E} \times \vec{H}| = \varepsilon E_0^2 u \cos^2(\omega t - kx) \quad (\sqrt{\mu} H = \sqrt{\varepsilon} E)$$

$$I = \vec{S} = \frac{1}{2} \varepsilon E_0^2 u$$

$$u = \frac{c}{n}, n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \sqrt{\varepsilon_r}, c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \\ u \approx \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu_0}} \\ I = \overline{S} = \frac{1}{2} \varepsilon E_0^2 u \approx \frac{n}{2 c \mu_0} E_0^2 \propto n E_0^2$$

$$E_1 = E_{10} \cos(\omega t + \varphi_{10}), E_2 = E_{20} \cos(\omega t + \varphi_{20})$$

$$E_1 = E_{10} \cos(\omega t - k r_1 + \varphi_{10}), E_2 = E_{20} \cos(\omega t - k r_2 + \varphi_{20}) \\ E = E_1 + E_2 = E_0 \cos (\omega t + \varphi) \\ E_0^2 = E_{10}^2 + E_{20}^2 + 2 E_{10} E_{20} \cos \Delta \varphi \\ \Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1$$

$$I \propto E_0^2$$

$$I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \Delta \varphi$$

$$I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cdot \overline{\cos \Delta \varphi} \\ \Delta \varphi = (\varphi_{20} - \varphi_{10}) - k (r_2 - r_1)$$

$$\overline{\cos \Delta \varphi} = 0$$

$$\overline{\cos \Delta \varphi} = \cos \Delta \varphi$$

$$\Delta \varphi = \pm 2k \pi, k = 0, 1, 2, \cdots \\ I = I_{\max} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2}$$

$$\Delta \varphi = \pm (2k + 1) \pi, k = 0, 1, 2, \cdots \\ I = I_{\min} = I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2}$$

$$I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cdot \cos \Delta \varphi \\ = \frac{1}{2} (I_{\max} + I_{\min}) + \frac{1}{2} (I_{\max} - I_{\min}) \cos \Delta \varphi$$

$$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \\ = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$$

$$I = (I_1 + I_2) (1 + V \cos \Delta \varphi)$$

### 2. 双缝干涉及其他分波面干涉实验

$$\delta = r_2 - r_1 \approx d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \frac{x}{D}$$

$$\Delta \varphi = \frac{\delta}{\lambda} 2 \pi \approx \frac{2 \pi}{\lambda} d \frac{x}{D}$$

$$\Delta \varphi = \pm 2 k \pi, k = 0, 1, 2, \cdots \\ \delta = \pm k \lambda, x_{\pm k} = \pm k \frac{D}{d} \lambda$$

$$\Delta \varphi = \pm (2k + 1) \pi, k = 0, 1, 2, \cdots \\ \delta = \pm (2k + 1) \frac{\lambda}{2}, x_{\pm k} = \pm (2k + 1) \frac{D}{2d} \lambda$$

$$\Delta x = \frac{D}{d} \lambda$$

$$I = 4 I_0 \cos^2 \frac{\Delta \varphi}{2}, \Delta \varphi = \frac{d \sin \theta}{\lambda} 2 \pi, k = \frac{d \sin \theta}{\lambda}$$

1. 一系列平行的明暗相间的条纹。

2. $\theta$ 不太大时条纹等间距。

3. 中间级次低，两边级次高（即为 $k$）。

4. $\Delta x \propto \lambda$，白光入射时，$0$ 级明纹中心为白色（可用于定 $0$ 级位置），其余级明纹构成彩带，第二级开始出现重叠。

1. 确定发生干涉的光束。
2. 计算波程差（光程差）。
3. 明确条纹特点，包括形状、位置、级次分布、条纹移动等。
4. 求出光强公式、画出光强曲线。

### 3. 时间相干性

$$\delta_M = k_M \lambda$$

$$L = \tau c = \delta_M$$

$$\tau = \frac{\delta_M}{c}$$

$$g(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{E_0 \sin[(\omega - \omega_0) \tau / 2]}{\omega - \omega_0}$$

$$I(\omega) = |g(\omega)|^2 = \frac{2 \sin^2[(\omega - \omega_0) \tau / 2]}{\pi (\omega - \omega_0)^2} E_0^2$$

1. 自然宽度。
$$\tau \cdot \Delta E \sim \hbar \\ \Delta \nu = \frac{\Delta E_i + \Delta E_j}{h}$$

2. 多普勒增宽：
$$\Delta \nu \propto \overline{v} \propto \sqrt{T}, T \uparrow \to \Delta \nu \uparrow$$

3. 压致增宽（碰撞增宽，统计增宽，$T$ 一定）：
$$\Delta \nu \propto \overline{z} \propto p, p \uparrow \to \Delta \nu \uparrow$$

$$k_M \left(\lambda + \frac{\Delta \lambda}{2} \right) \frac{D}{d} = (k_M + 1) \left(\lambda - \frac{\Delta \lambda}{2} \right) \frac{D}{d}$$

$$k_M = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}$$

$$x_M = k_M \frac{D}{d} \left(\lambda + \frac{\Delta \lambda}{2} \right) \approx k_M \frac{D}{d} \lambda$$

$$\delta_M = k_M \left(\lambda + \frac{\Delta \lambda}{2} \right) \approx k_M \lambda = \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

### 4. 空间相干性

$$\left. \begin{array}{rr} \text{一级明纹}: & (r_2 + r_2') - (r_1 - r_1') = \delta + \delta' = \lambda \\ D >> d: & \delta \approx d \sin \theta \approx d \dfrac{\Delta x / 2}{D} = \dfrac{\lambda}{2} \\ R >> b_0, R >> d : & \delta' \approx d \sin \theta' \approx d \cdot \dfrac{b_0 / 2}{R} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{d b_0}{2R} = \frac{\lambda}{2} \\ \Rightarrow b_0 = \frac{R}{d} \lambda$$

$$b < b_0 = \frac{R}{d} \lambda \\ \Rightarrow d < \frac{R}{b} \lambda = d_0$$ 因此： $$d_0 = \frac{R}{b} \lambda$$ 称为相干间隔，是光场中正对光源的平面上能够产生干涉的两个次波源间的最大距离。$R$ 一定时，$d_0$ 越大，光场的空间相干性越好。相干孔径角

$$\theta_0 = \frac{d_0}{R} = \frac{\lambda}{b}$$

$\theta_0$ 越大空间相干性越好。

$$\varphi = \frac{b}{R}$$

$$d_0 = \frac{R}{b} \lambda = \frac{\lambda}{\varphi} \Rightarrow \varphi = \frac{\lambda}{d_0}$$

$$\varphi = 1.22 \frac{\lambda}{d_0}$$

### 5. 光程

$$\Delta \varphi = \frac{nr}{\lambda} 2 \pi$$

$$相差 = \frac{光程差}{\lambda} 2 \pi$$

### 6. 薄膜干涉——等厚条纹

$$\theta : 10^{-4} \sim 10^{-5} \mathrm{rad} \approx 57 \times (10^{-4} \sim 10^{-5}) \mathrm{degree}$$

$$\delta(e) \approx 2ne + \frac{\lambda}{2}$$

$$L \approx \frac{\Delta e}{\theta}$$

$$\Delta \delta = 2n \Delta e = \lambda$$

$$L \approx \frac{\lambda}{2n \theta}, \theta \downarrow \to L \uparrow$$

$R$ 很大，大约 $1 \sim 2 m$。

$$\delta = 2e + \frac{\lambda}{2}$$

$$r^2 = R^2 - (R - e)^2 \approx 2 Re \\ \Rightarrow e = \frac{r^2}{2R}$$

$$r_k = \sqrt{k R \lambda} \propto \sqrt{k} \\ r_{k + 1} - r_k = \frac{\sqrt{R \lambda}}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}}$$

$$r_k = \sqrt{\frac{(2k - 1) R \lambda}{2}}$$

• 条纹形状：反映了膜的等厚线。
• 条纹移动：反映了膜厚的变化，可以判断楔角的方位。
• 条纹间距：反映了楔角的大小。（$L \approx \dfrac{\lambda}{2n \theta}$）
• 条纹的疏密（间距）变化：反映了楔角的变化，可判断楔角所在的方位。

$$L = \frac{\lambda}{2 n \theta}$$

$$r_k = \sqrt{k R \lambda} \propto \sqrt{k} \\ r_{k + m}^2 - r_k^2 = m R \lambda$$

### 7. 薄膜干涉——等倾条纹

$$\delta = n(\overline{AB} + \overline{BC}) - n' \overline{AD} + \frac{\lambda}{2} \\ \overline{AB} = \overline{BC} = \frac{e}{\cos r} \\ \overline{AD} = \overline{AC} \cdot \sin i = 2e \tan r \sin i \\ \therefore \delta = \frac{2ne}{\cos r} - \frac{2n' e \sin r \cdot \sin i}{\cos r} + \frac{\lambda}{2}$$

$$n' \sin i = n \sin r$$

$$\delta = 2ne \cos r + \frac{\lambda}{2} \\ = 2e \sqrt{n^2 - n'^2 \sin^2 i} + \frac{\lambda}{2} = \delta(i)$$

$$\delta(i) = k \lambda, k = 1, 2, 3, \cdots$$

$$\delta(i) = (2k' + 1) \frac{\lambda}{2}, k' = 0, 1, 2, \cdots$$

$i$ 相同的光线对应同一条干涉条纹——等倾条纹。

• 形状：一系列同心圆环。

• 条纹间隔分布：内疏外密。
$$\delta = 2ne \cos r + \frac{\lambda}{2} \\ -2ne \sin r \Delta r = \Delta k \lambda \\ \Delta r = \frac{\lambda}{2ne \sin r}$$

• 条纹级次分布：内高外低，$r_k \downarrow \to i \downarrow \to \delta \uparrow \to k \uparrow$。

• 膜变厚，环纹扩大：$k$ 一定，$e \uparrow \to i \uparrow \to r_k \uparrow$。

• 波长对条纹的影响：$k, e$ 一定，$\lambda \uparrow \to i \downarrow \to r_k \downarrow$。

### 8. 迈克耳孙干涉仪

$$\Delta d = N \cdot \frac{\lambda}{2}$$

• 测量微小位移，可精确到 $\dfrac{\lambda}{20}$。

• 测介质折射率，产生附加光程差 $\delta = 2(n - 1)l$，若相应移过 $N$ 个条纹，则有 $\delta = 2(n - 1)l = N\lambda$，由此可得折射率 $n$。