抽象代数笔记——域论

抽象代数笔记——域论

域的特征

定义

对于域 $F$,考虑映射 $\varphi:\mathbb{Z}\to F,\quad n\mapsto n\cdot 1$ 为环同态,那么 $\text{ker}(\varphi)$ 为 $\mathbb{Z}$ 的理想,结合 $F$ 是域的条件,故 $\text{ker}(\varphi)=(0)$ 或 $p\mathbb{Z}$,其中 $p$ 为素数.

当 $\text{ker}(\varphi)=(0)$ 时,称域 $F$ 的特征(characteristic)为 $0$.这可以诱导出 $\mathbb{Q}$ 到 $F$ 的单同态.

当 $\text{ker}(\varphi)=p\mathbb{Z}$ 时,称域 $F$ 的特征为 $p$.这可以诱导出 $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 到 $F$ 的单同态.

将 $\mathbb{Q}$ 和所有 $\mathbb{F}_p$ 称为素域(prime fields),任何一个域都包含唯一的一个子域使其同构于其中某个素域.

域的扩张

包含域 $F$ 的任意一个域 $E$ 都被称作 $F$ 的一个扩域(extension field)或者扩张,此时我们将其简记作 $E/F$.每个这样的 $E$ 都是一个 $F$ 上的线性空间,线性空间的加法与数乘就是 $E$ 作为域而已定义好的加法与乘法.线性空间的维数 $\text{dim}_F(E)$ 将被称作域扩张 $E/F$ 的次数(degree)或是 $E$ 在 $F$ 上的次数,并被记作 $[E:F]$.

定义 一个域扩张的次数若是有限的,则称其为一个有限扩张(finite extension).

显而易见的是,域扩张 $E/F$ 是 $1$ 次的,当且仅当 $E=F$.

定理 (次数公式) 设 $L\supseteq E\supseteq F$ 为域扩张,那么 $L/F$ 是有限扩张的充要条件为 $L/E$ 与 $E/F$ 同为有限扩张.若它们为有限扩张,则有如下的次数公式
$$
[L:F]=[L:E][E:F]
$$

子集生成的子环和子域

定义 设环 $R$ 为环 $R^\prime$ 的子环,$S$ 为 $R^\prime$ 的子集.$R^\prime$ 中所有包含 $R\cup S$ 的子环之交称为 $R$ 与 $S$ 生成的 $R^\prime$ 的子环,记作 $R[S]$.若 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$,我们也将其直接记作 $R[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$.

事实上,子环 $R[S]$ 是由 $R^\prime$ 中如下形式的有限和构成:
$$
\sum a_{i_1,\cdots,i_n}\alpha_1^{i_1}\cdots\alpha_n^{i_n},\quad a_{i_1,\cdots,i_n}\in R,\quad\alpha_i\in S,\quad i_j\in\mathbb{N}.
$$
引理 设域 $F$ 是整环 $R$ 的一个子环.若 $R$ 是 $F$ 上的有限维线性空间,那么它一定是一个域.

推论 设 $E/F$ 是一个有限扩张,$R$ 是 $E$ 的一个子环,且包含 $F$,则 $R$ 必定也是一个域.

定义 设域 $F$ 为域 $E$ 的子域,$S$ 为 $E$ 的子集.$E$ 中所有包含 $F\cup S$ 的子域之交称为 $F$ 与 $S$ 生成的 $E$ 的子域,记作 $ F(S)$.它是 $F[S]$ 在 $E$ 中的分式域.若 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$,我们也将其直接记作 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$,并且称其为一个有限生成的域扩张(finitely generated field extension).

于是,环 $F[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$ 是 $E$ 中所有可以写成这些 $\alpha_i$ 的以 $F$ 为系数的多项式的元素,而域 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是 $E$ 中所有的可以表示成两个这种多项式比值的元素.

引理表明,若 $F[S]$ 是 $F$ 上的有限维线性空间,则 $F(S)$ 自身就是一个域,从而 $F(S)=F[S]$.

若存在 $\alpha\in E$ 使得 $E=F(\alpha)$,则称 $E/F$ 为一个单扩张(simple extension),而 $\alpha$ 将被称为这个单扩张的一个本原元素(primitive element).

代数元和超越元

定义

设有域扩张 $E/F$,而 $\alpha\in E$.于是我们有一个环同态
$$
\varphi:F[x]\to E,\quad f(x)\mapsto f(\alpha).
$$
这里会出现两个情形.

(1)映射 $\varphi$ 的核为 $(0)$,于是对于每个 $f\in F[x]$,
$$
f(\alpha)=0\Rightarrow f(x)=0\in F[x].
$$
在这种情形里,我们称 $\alpha$ 在 $F$ 上是超越的(transcendental).此时,同态
$$
F[x]\to F[\alpha],\quad x\mapsto\alpha
$$
是一个环同构,并且它诱导出一个域的同构 $F(x)=\text{Quot}(F[x])\to F(\alpha)$.

(2)映射 $\varphi$ 的核不是 $(0)$,于是存在非零的 $g\in F[x]$ 使得 $g(\alpha)=0$.在这种情况下,我们称 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的(algebraic).映射的核 $\{g\in F[x]:g(\alpha)=0\}$ 是 $F[x]$ 中的主理想,它是由某个次数最低的满足 $f(\alpha)$ 的首一多项式 $f$ 生成的.我们称这样的 $f$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式(minimal polynomial).由 $f$ 次数最小性可以推出该多项式是不可约的.

最小多项式 $f$ 的次数将被称为代数元 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数.很明显 $\alpha\in E$ 在 $F$ 上的次数为 $1$ 的充要条件是 $\alpha\in F$.

我们同时注意到映射 $g(x)\mapsto g(\alpha)$ 诱导出环的同构 $F[x]/(f)\stackrel{\sim}{\rightarrow}F[\alpha]$.由于前者是一个域,因此后者也是一个域,从而我们有 $F(\alpha)=F[\alpha]$.

定理

  • 若域 $F$ 的某个扩域中的元素 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的,那么域扩张的次数 $[F(\alpha):F]$ 等于 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数.
  • 域 $F$ 的某个扩域中的元素 $\alpha$ 是代数的当且仅当域扩张的次数 $[F(\alpha):F]$ 是有限的.
  • 设域扩张 $E/F$ 的次数为 $n$,而 $\alpha\in E$.那么 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的,且它在 $F$ 上的次数整除 $n$.
  • 设有域扩张 $F\subseteq E\subseteq L$.若元素 $\alpha\in L$ 在 $F$ 上是代数的,那么它在 $E$ 上也是代数的.进一步,若 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数为 $d$,那么它在 $E$ 上的次数至多为 $d$.

推论 设域扩张 $E/F$ 的次数为某个素数 $p$.若 $\alpha\in E\setminus F$,则 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数为 $p$,并有 $E=F(\alpha)$.

定义 对于域扩张 $E/F$,若 $E$ 中所有元素都在 $F$ 上是代数的,则我们称 $E$ 在 $F$ 上是代数的,称 $E/F$ 为一个代数扩张.若 $E/F$ 不是一个代数扩张,则它是一个超越扩张.此时,$E$ 中至少存在一个 $F$ 上的超越元.

定理 域扩张 $E/F$ 是有限的,当且仅当 $E$ 在 $F$ 上可由有限个代数元生成.

推论 若域扩张 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)/F$ 是有限的,则 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=F[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$.

推论

  • 若域扩张 $E/F$ 是代数的,而 $R$ 为 $E$ 的子环,且包含 $F$,那么 $R$ 一定是一个域.
  • 若域扩张 $L/E$ 和 $E/F$ 都是代数的,那么 $L/F$ 也是代数的.

推论 由代数元生成的域扩张都是代数的.

定理 对于域扩张 $K/F$ 而言,集合 $E=\{g\in K:g\ 为\ F\ 上的代数元 \}$ 是一个域.

定义 上述命题中的 $E$ 被称作 $F$ 在 $K$ 中的代数闭包(algebraic closure),将被记作 $\overline{F}^K$.

一个复数若在 $\mathbb{Q}$ 上是一个代数元或者超越元,则我们将相应地称之为一个代数数或者超越数.$\mathbb{Q}$ 上的一个有限的域扩张被称为一个代数数域(algebraic number field).

同态和同构的一些性质

定义 设 $E$ 和 $E^\prime$ 都是域 $F$ 的扩张,那么一个 $E$ 到 $E^\prime$ 的映射 $\varphi$ 被称为一个 $F$ 同态(F-homomorphism)是指 $\varphi$ 是一个环同态,且对任意的 $c\in F$ 都有 $\varphi(c)=c$.特别地,当 $\varphi$ 为同构时,$\varphi$ 被称为 $F$ 同构(F-isomorphism),称 $E$ 和 $E^\prime$ 是 $F$ 的等价扩张.若进一步地,若 $E=E^\prime$,则称 $\varphi$ 为 $F$ 自同构(F-automorphism).

由于域 $E$ 与 $E^\prime$ 之间的 $F$ 同态总是一个 $F$ 上的线性空间之间的单射,故若 $E$ 与 $E^\prime$ 在 $F$ 上有相同的有限次数,那么每个这样的 $F$ 同态都会是一个 $F$ 同构.

定理 设 $F(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张,而 $K$ 是 $F$ 的另外一个扩域.

  • 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的超越元.那么对于每个 $F$ 同态 $\varphi:F(\alpha)\to K$,$\varphi(\alpha)$ 必定为 $F$ 上的超越元,而映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
    $$
    \{F\ 同态\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{K\ 中在\ F\ 上的超越元\}.
    $$

  • 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元,其最小多项式为 $f(x)$.那么对于每个 $F$ 同态 $\varphi:F(\alpha)\to K$,$\varphi(\alpha)\in K$ 都是 $f(x)$ 的一个根,而映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
    $$
    \{F\ 同态\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{f\ 在\ K\ 中的根\}.
    $$
    特别地,这样的 $F$ 同态的个数与 $f$ 在 $K$ 中不同的根的个数(必定有限)一致.

上面的结果可以作进一步地推广.

定理 设 $F(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张,而环同态 $\varphi_0:F\to K$ 将 $F$ 映射到另外一个域 $K$ 中.

  • 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的超越元,那么映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
    $$
    \{同态\ \varphi_0\ 的延拓\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{K\ 中在\ \varphi_0(F)\ 上的超越元\}.
    $$

  • 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元,其最小多项式为 $f(x)$.那么映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
    $$
    \{同态\ \varphi_0\ 的延拓\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{\varphi_0(f)\ 在\ K\ 中的根\}.
    $$
    特别地,这样的延拓的个数与 $\varphi_0(f)$ 在 $K$ 中不同的根的个数(必定有限)一致.

推论 设 $K/F$ 为一个域扩张,$\varphi:K\to\widetilde{K}$ 为一个域同态,而 $\widetilde{F}=\varphi(F)$.

  • 如果 $f(x)$ 是 $\alpha\in K$ 在 $F$ 上的最小多项式,则 $\widetilde{f}=\varphi(f)$ 是 $\widetilde{\alpha}=\varphi(\alpha)\in\widetilde{K}$ 在 $\widetilde{F}$ 上的最小多项式.
  • 特别地,若 $\widetilde{K}$ 是 $F$ 的域扩张,而 $\varphi|_F=\text{id}_F$,则 $\alpha\in K$ 与 $\widetilde{\alpha}=\varphi(\alpha)\in\widetilde{K}$ 在 $F$ 上有相同的最小多项式.

分裂域

引理 若 $f$ 是域 $F$ 上的一个非常值的多项式,那么存在域扩张 $L/F$,使得 $f$ 在 $L$ 上有零点.

给定域 $F$ 上的一个多项式 $f(x)$,假定在某个域扩张 $K/F$ 中,$f(x)$ 可以被分解成一些一次因式的乘积:
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n),\quad\alpha_i\in K,\quad c\in F^*,
$$
那么我们称多项式 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂(splits).

定义 扩域 $K/F$ 被称为多项式 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域(splitting field),是指 $f(x)\in F[x]$,且 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂,但是在 $K$ 的任何包含 $F$ 的真子域上都不能分裂.

定理 设 $F$ 是一个域,而 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个非常值的首一多项式.那么存在扩域 $K/F$ 使得 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂.特别地,$f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域存在.

命题 设 $f\in F[x]$ 是次数为 $n\in\mathbb{N}^*$ 的多项式,而 $E$ 是 $f$ 在 $F$ 上的一个分裂域.那么域扩张次数 $[E:F]$ 必然整除 $n!$.

接下来,我们说明分裂域在域同构的意义下是唯一的

引理 设 $\sigma:F_1\to F_2$ 是一个域同构.设 $f_1\in F_1[x]$ 是一个不可约多项式,而 $f_2=\sigma(f_1)\in F_2[x]$(这显然也是一个不可约多项式).假定 $f_i$ 在 $F_i$ 的某个扩域 $E_i$ 中有根 $\alpha_i,i=1,2$.那么 $\sigma$ 可以被唯一地扩充为域同构 $F_1(\alpha_1)\to F_2(\alpha_2)$,使得 $\alpha_1$ 被映射成为 $\alpha_2$.

定理 设 $\sigma:F_1\to F_2$ 是一个域同构.设 $f_1\in F_1[x]$ 是一个多项式,而 $f_2=\sigma(f_1)\in F_2[x]$.假定 $E_i$ 是 $f_i$ 在 $F_i$ 上的一个分裂域,$i=1,2$.那么 $\sigma$ 可以被延拓为 $E_1$ 到 $E_2$ 的同构.并且 $\sigma$ 的不同延拓的个数 $n_\sigma\leq [E_1:F_1]$,而且当且仅当 $f_1$ 中每一个不可约因子在 $E_1$ 中不同根的个数恰为此因子的次数时等号成立.

推论 设 $F$ 是一个域,而 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个非常值多项式,则 $f(x)$ 的任意两个分裂域 $E,\overline{E}$ 是 $F$ 同构的.特别地,当 $E$ 与 $\overline{E}$ 都是 $F$ 的同一扩域 $K$ 的子域时,即 $F\subseteq E\subseteq K$,$F\subseteq \overline{E}\subseteq K$,则 $E=\overline{E}$.

推论 设 $f(x)\in F[x]$ 的分裂域为 $E$,则 $E$ 中的不同的 $F$ 自同构的个数不超过 $[E:F]$,而且当且仅当 $f(x)$ 的不可约因子在 $E$ 内无重根时,此个数恰为 $[E:F]$.

推论 设 $K$ 为域 $F$ 的扩域,$E$ 是 $f(x)\in F[x]$ 的分裂域且 $E\subseteq K$,则对 $K$ 的任意 $F$ 自同构 $\sigma$ 有 $\sigma(E)=E$.

正规扩张

定义 给定代数扩张 $K/F$,如果对任意的 $\alpha\in K$,$\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式均在 $K$ 上分裂,则称 $K/F$ 为一个正规扩张(normal extension).

命题 一个有限扩张 $E/F$ 是正规的,当且仅当它是 $F$ 上一个多项式的分裂域.

给定一个有限扩张 $E/F$,不妨设 $E=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$,并设 $g_i$ 是 $\alpha_i$ 在 $F$ 上的最小多项式,而 $f=g_1\cdots g_n$.那么在 $F$ 的任意的包含 $E$ 的正规扩张上 $f$ 必然会分裂.若 $K$ 是 $f$ 在 $E$ 上的分裂域,那么 $K$ 也是 $f$ 在 $F$ 上的分裂域,并且包含所有的 $\alpha_i$,从而它在 $F$ 上是正规的,并且这个域包含于所有的包含 $E$ 的正规扩张 .因此,$K/F$ 可视为包含域扩张 $E/F$ 的最小正规扩张,它被称作域扩张 $E/F$ 的正规闭包(normal closure)或者Galois闭包(Galois closure).由分裂域的唯一性可知,这个闭包在 $E$ 同构的意义下是唯一的.若我们找出所有的 $F$ 上的在 $E$ 存在至少一个根的不可约多项式,那么上面的Galois闭包也可以等价地被刻画成在 $E$ 上添加了所有这些不可约多项式的根得到的域.

推论 给定有限的域扩张 $F\subseteq E\subseteq K$,若 $K/F$ 是正规扩张,那么任意一个 $F$ 同态 $\varphi:E\to K$ 都可以被延拓为 $K$ 上的一个 $F$ 自同构.

可分多项式

最大公因式本质上不会随域的扩张而改变.

定理 设 $f$ 与 $g$ 为 $F[x]$ 中的多项式,而 $K$ 是 $F$ 的一个扩域.若 $r(x)$ 是 $f$ 与 $g$ 在 $F[x]$ 中的最大公因式,那么它将也是 $f$ 与 $g$ 在 $K[x]$ 中的最大公因式.特别地,$F[x]$ 中不同的首一不可约多项式在 $F$ 的任何扩域中都不可能有公共的根.

由于重根次数并不依赖于分裂域的选择.设 $F$ 是一个域,对于非常值多项式 $f(x)\in F[x]$,设 $K$ 为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域,那么 $f(x)$ 在 $K[x]$ 中有分解
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)^{m_1}\cdots(x-\alpha_t)^{m_t}.
$$
若 $m_i>1$,则 $\alpha_i$ 将被称为 $f$ 的一个重根(multiple root),否则,我们称之为单根(simple root).

定义 设 $F$ 是一个域,$f(x)\in F[x]$ 且
$$
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,
$$
则称 $F[x]$ 中多项式
$$
f^\prime(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
$$
为 $f(x)$ 的形式导数

定理 设 $F$ 是一个域,而多项式 $f\in F[x]$ 的次数 $\text{deg}(f)>0$,那么 $f$ 在任何分裂域中的根都是单根的充要条件是 $f$ 和它的形式导数 $f^\prime$ 互素.

定义 设 $F$ 是一个域,若多项式 $f(x)\in F[x]$ 的每个不可约因式在其分裂域中只有单根,则称 $f(x)$ 为 $F$ 上的可分多项式(separable).

推论 域 $F$ 上的不可约多项式是可分的当且仅当它的形式导数 $f^\prime\neq 0$.特别地,在特征为 $0$ 的任何域上,任意多项式都是可分的.

上述结果表明,特征为 $0$ 的情形是简单的.特征为素数 $p$ 的情形则要复杂一些.

定理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$.若 $f$ 是 $F$ 上的多项式,那么 $f^\prime=0$ 当且仅当存在 $g\in f[x]$ 使得 $f(x)=g(x^p)$.

定理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$.若 $f(x)\in F[x]$ 是为不可分的不可约多项式,$K$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域,则在 $K[x]$ 中 $f(x)$ 有分解
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)^{p^e}(x-\alpha_2)^{p^e}\cdots(x-\alpha_r)^{p^e},
$$
其中,当 $i\neq j$ 时,$\alpha_i\neq\alpha_j$,$e\in\mathbb{N}^*$,并且
$$
h(x)=c(x-\alpha_1^{p^e})(x-\alpha_2^{p^e})\cdots(x-\alpha_r^{p^e})
$$
是 $F[x]$ 中可分的不可约多项式,并有 $f(x)=h(x^{p^e})$.

$r=\text{deg}(h)$,即 $f(x)$ 在其分裂域中不同根的个数,称为 $f(x)$ 的约化次数(reduced degree),而 $e$ 被称为 $f(x)$ 相应于 $F$ 的幂指数(exponent).

完备域

定义 设 $F$ 是一个域.

  • 若 $\text{char}(F)=p>0$,那么Frobenius自同态 $x\mapsto x^p$ 是一个单同态.若它同时也是一个满同态,即若它也是 $F$ 的自同构,我们将称 $F$ 是一个完备域(perfect field).故 $F$ 是一个完全域的充要条件是 $F$ 中的任何元素都是一个 $p$ 次幂元.
  • 若 $\text{char}(F)=0$,我们也约定 $F$ 是一个完备域.

定理 有限域是完备域.

定理 完备域的代数扩张也是完备域.

可分扩张

定义 在域扩张 $E/F$ 中,若代数元 $\alpha\in E$ 在 $F$ 上的最小多项式是可分的,则也称 $\alpha$ 在 $F$ 上是可分的(separable).若 $E$ 中任何元素在 $F$ 上都是可分的,则我们称 $E/F$ 是一个可分扩张(separable extension).

定理 完备域上的任何代数扩张都是可分扩张.反过来,若域 $F$ 上的任何代数扩张(甚至是任何有限扩张)都是可分扩张,则 $F$ 一定是一个完备域.

推论 域 $F$ 是完备域的充分必要条件是 $F[x]$ 中每个多项式都是 $F$ 上的可分多项式.

定理 域 $F$ 上可分多项式 $f(x)$ 的分裂域 $K$ 是 $F$ 的可分扩张.

推论 设 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是域 $F$ 的代数扩张且 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $F$ 上的可分元素,则此扩张为 $F$ 上的可分扩张.

下面证明有限可分扩张一定是单代数扩张.为此先介绍本原元素的概念.

定义 设 $K$ 是域 $F$ 的有限扩张.若存在 $\alpha\in K$,使 $K=F(\alpha)$,则称 $\alpha$ 是 $K$ 对于 $F$ 的本原元素

定理 设 $K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是域 $F$ 的代数扩张且 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $F$ 上的可分元素,则 $K$ 中有本原元素,即 $K$ 是 $F$ 的单代数扩张.

推论 一个域的有限可分扩张一定是单代数扩张.

下面证明可分扩张的可分扩张仍是可分扩张.

引理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$,则 $F$ 的单代数扩张 $F(\alpha)$ 是可分扩张的充分必要条件为 $F(\alpha)=F(\alpha^p)$.

引理 设 $F(\alpha,\beta)$ 是域 $F$ 的代数扩张,$\alpha$ 是 $F$ 上的可分元素,$\beta$ 是 $F(\alpha)$ 上的可分元素,则 $F(\alpha,\beta)$ 是 $F$ 的可分扩张.

定理 设 $E$ 是域 $F$ 的代数扩张,$K$ 是一中间域,即 $F\subseteq K\subseteq E$,则 $E$ 是 $F$ 的可分扩张当且仅当 $K$ 是 $F$ 的可分扩张,并且 $E$ 是 $K$ 的可分扩张.

有限域

仅包含有限个元素的域被称为有限域(finite field)或者Galois域(Galois field),以纪念它的发现者.

任何一个有限域 $F$ 的特征必为某个素数 $p$,即 $\mathbb{F}_p$ 是它的素子域.因此 $F$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的有限维线性空间,同构于某个 $\mathbb{F}_p^n$,从而 $F$ 上的元素个数为某个素数幂 $p^n$,其中 $p=\text{char}(F)$,而 $n=[F:\mathbb{F}_p]$.

若 $F$ 是含有 $q$ 个元素的有限域,那么它的乘法群 $F^\times$ 就有 $q-1$ 个元素,从而 $F$ 的任何非零元都是方程 $x^{q-1}-1=0$ 的根.这意味着 $F$ 中的任何元素都满足 $x^q-x=0$.这个方程在任何域里至多只可能有 $q$ 个不同的根.这说明 $F$ 中的所有元素为这个方程在 $F$ 的任何扩域里的全部的根,且这个方程只有单根.此时我们有
$$
x^q-x=\prod_{a\in F}(x-a),
$$
而这也说明 $F$ 是多项式 $x^q-x$ 在素域 $\mathbb{F}_p$ 上的一个分裂域.由分裂域的唯一性可知,在域同构的意义下,阶数为 $q$ 的域是唯一的.因此,对于任意的正整数 $q>1$,若存在阶为 $q$ 的域,则 $q$ 必为某个素数的幂,而这样的域在同构意义下是唯一的.

反过来,若 $q=p^n$,其中 $p$ 是素数,而 $n>1$,必然也存在阶数为 $q$ 的域,即 $x^q-x$ 关于 $\mathbb{F}_p$ 的分裂域.为了严格说明这一点,我们还确信这个分裂域恰有 $q$ 个元素.为此,我们注意到

  • $\mathbb{F}_p$ 中的元素都是 $x^q-x$ 的根(Fermat小定理);
  • 由于 $(x^q-x,qx^{q-1}-1)=1$,故 $x^q-x$ 仅有单根;
  • 若 $a^q=a,b^q=b$,那么 $(a+b)^q=a^q+b^q=a+b$,$(ab)^q=a^qb^q=ab$,并且若 $b\neq 0$,那么 $(b^{-1})^q=(b^q)^{-1}=b^{-1}$.

结合上述结论,我们得到

定理 对于每个素数 $p$ 以及正整数 $n\geq 1$,在同构意义下存在唯一一个恰有 $q=p^n$ 个元素的有限域,即 $x^q-x$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的分裂域,而这给出了所有的有限域.

引理 在任何一个域 $F$ 中,方程 $x^n=1$ 的根在乘法下构成一个循环群,而群的阶整除 $n$.

设 $F$ 是一个有限域,由上述引理得乘法群 $F^\times$ 是一个循环群.这个循环群的任何一个生成元都被称作有限域 $F$ 的一个本原元(primitive element).若 $\zeta$ 是这样一个本原元,那么 $F^\times$ 的每个元素都可以表示成 $\zeta^a$ 的形式.特别地,$\zeta$ 可用来生成单扩张 $F/\mathbb{F}_p$.更进一步地,若 $F=\mathbb{F}_q$,其中 $q=p^n$,那么 $\zeta$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的次数必然为 $n$.

另外,有限域的有限扩张都是单扩张.严格来说,若 $E\supset F$ 都是有限域,那么 $E^\times$ 也是一个循环群.若 $\eta$ 是这个循环群的生成元,那么显然有 $E=F(\eta)$.

定理 设有限域 $E$ 包含有 $p^n$ 个元素,其中 $p$ 为素数.那么对于 $n$ 的每个因子 $m$,$E$ 都存在一个阶数为 $p^m$ 的子域.反过来,若 $E^\prime$ 是一个子域,那么 $E^\prime$ 的阶形如 $p^m$,其中 $m$ 是 $n$ 的因子.

定理 设 $q=p^n$ 是素数 $p$ 的幂,那么多项式 $x^q-x$ 是 $\mathbb{F}_p[x]$ 中所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式的乘积.

推论 若 $f$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的一个首一不可约多项式,那么 $f$ 是可分的,且 $f$ 在 $\mathbb{F}$ 上的分裂域的次数恰为 $\text{deg}(f)$.

定理 设 $q=p^n$ 是素数 $p$ 的幂,那么 $\text{Aut}(\mathbb{F}_q)$ 是一个次数为 $n$ 的循环群,由Frobenius自同态生成.

代数闭包与代数封闭域

定义 $F$ 是域,如果 $F[x]$ 中任意非常值的多项式在 $F$ 上都分裂,则称 $F$ 是代数封闭的(algebraically closed).

定义 域 $K$ 若被称作是子域 $F$ 的代数闭包(algebraic closure),是指 $K$ 自身是代数封闭的,且 $K/F$ 为代数扩张.

定理 代数封闭的域都是无限域.

定理 若 $K$ 是 $F$ 上的代数扩张,且每个 $F[x]$ 中的多项式都在 $K$ 上分裂,那么 $K$ 一定是代数封闭的,特别地,$K$ 是 $F$ 的代数闭包.

推论 设域 $K$ 是代数封闭的.对于 $K$ 的任意子域 $F$,$F$ 在 $K$ 中的代数闭包是 $F$ 的一个代数闭包.

我们已经定义了任意一个多项式的分裂域.更一般地,设 $\mathcal{F}$ 是一族域 $F$ 上的非常值多项式.一个 $F$ 上的扩域 $E$ 被称作 $\mathcal{F}$ 的分裂域,是指每个 $f\in\mathcal{F}$ 在 $E$ 中都分裂,而且 $E$ 关于该性质具有极小性.容易看出,扩域 $E$ 成为 $\mathcal{F}$ 的分裂域的充要条件是每个 $f\in\mathcal{F}$ 都在 $E$ 上分裂,且 $E$ 是由 $\mathcal{F}$ 中所有多项式在 $E$ 中的根生成的.另外,若这里的 $\mathcal{F}$ 是一个有限集合,比如说 $\mathcal{F}=\{f_1,\cdots,f_r\}$,那么我们也可以转为考虑多项式 $f=f_1\cdots f_r$ 来考虑.那么 $\{f_1,\cdots,f_r\}$ 在 $F$ 上的分裂域就是 $f$ 在 $F$ 上的分裂域.

与多项式的分裂域类似,$\mathcal{F}$ 的分裂域在同构意义下是唯一的.

定理 设 $\mathcal{F}$ 为一族域 $F$ 上的非常值多项式,那么 $\mathcal{F}$ 在 $F$ 上的任意两个分裂域都是 $F$ 同构的.

定理 对于任意一族域 $F$ 上的非常值多项式,都存在一个分裂域,并且这样的分裂域在同构的意义下是唯一的.

定理 设 $F$ 是一个域,那么 $F$ 上的所有非常值多项式构成的集合在 $F$ 上的分裂域 $K$ 是 $F$ 的代数闭包.

定理 任何一个域 $F$ 都存在代数闭包,并且代数闭包在同构意义下是唯一的.

域 $F$ 的代数闭包被记作 $\overline{F}$.

 

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