sjw1231 大学物理B笔记23章：光的衍射
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第二十三章 光的衍射
1. 衍射现象、惠更斯—菲涅尔原理
光的衍射：
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
对于障碍物尺寸 $a$：
- $a \approx 10^3 \lambda$ 以上，衍射效应不明显。
- $a \approx 10^3 \lambda \sim 10 \lambda$，衍射效应明显。
- $a \approx \lambda$，向散射过渡。
一般分为菲涅尔衍射（近场衍射，$L$ 和 $D$ 至少有一个是有限值）与夫琅禾费衍射（远场衍射，$L$ 和 $D$ 皆为无限大，可用透镜实现）。
惠更斯—菲涅尔原理：
波传到的任何一点都是子波的波源。
各子波在空间某点的相干叠加，决定了该点波的强度。
$$
E(p) = \iint_\Sigma d E_p \\
d E(p) = K \frac{a(Q) f(\theta, \theta_0)}{r} d \Sigma
$$
$K$ 为比例系数，$a(Q)$ 取决于波前上 $Q$ 处的波的振动函数，$f(\theta)$ 称为方向因子（倾斜因子）。
其中基尔霍夫给出的倾斜因子是：
$$
f(\theta_0, \theta) = \frac{1}{2} (\cos \theta_0 + \cos \theta)
$$
则：
$$
E(p) = E_0(p) \cos [\omega t + \varphi(p)]
$$
因此 $p$ 点波的强度 $I_p \propto E_0^2(p)$。
2. 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法
装置和光路：
将 $dE(p)$ 的系数近似为常数，则单位面积衍射屏在观察屏 $P$ 点贡献的振幅大小相同。
$A \to p$ 和 $B \to p$ 的光程差为：
$$
\delta = a \sin \theta
$$
对于 $\theta = 0, \delta = 0$，即为中央明纹（中心）。
$\theta \uparrow \to \delta \uparrow \to I_p \downarrow$，$p$ 点明亮程度降低。
半波带法：
- 当 $a \sin \theta = \lambda / 2$ 时，可将缝看成一个半波带。
当 $a \sin \theta = \lambda$ 时，可将缝分为两个半波带。
两个半波带发的光，在 $P$ 点干涉相消形成暗纹。
当 $a \sin \theta = \dfrac{3}{2} \lambda$ 时，可将缝分成三个半波带，其中两相邻半波带的衍射光相消，余下一个半波带的衍射光不被抵消，在 $P$ 点形成明纹（中心）。
半波带法得到的一般结果：
- $\delta = a \sin \theta = 0$——中央明纹中心（准确）。
- $a \sin \theta = \pm k \lambda, k = 1, 2, 3, \cdots$——暗纹（准确）。
- $a \sin \theta = \pm(2k’ + 1) \dfrac{\lambda}{2}, k’ = 1, 2, 3, \cdots$——明纹中心（近似）。
中央明纹中心、暗纹位置准确，其他明纹中心的位置是近似的，与准确值稍有偏差。
光强公式：
用振幅矢量法可导出单缝衍射的光强公式：
$$
I = I_0 \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2
$$
其中：
$$
\alpha = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}
$$
- 中央明纹中心处，$I = I_0 = I_\max$。
极小（暗纹）位置，$\sin \alpha = 0$，故 $I = 0$。
次极大位置，满足 $\dfrac{dI}{d\alpha} = 0 \Rightarrow \tan \alpha = \alpha$。
可得 $\alpha = \pm 1.43 \pi, 2.46 \pi, 3.47 \pi, \cdots$。
相应的有 $a \sin \theta \approx \pm 1.43 \lambda, \pm 2.46 \lambda, \pm 3.47 \lambda$。
与半波带法结果近似，代入光强公式可得 $0.0472 I_0, 0.0165 I_0, 0.0083 I_0$。
条纹的宽度：
- 中央明纹宽度：两个第一级暗纹之间的距离。
角宽度为：
$$
\Delta \theta_9 = 2 \theta_1 \approx 2 \frac{\lambda}{a}
$$
线宽度为：
$$
\Delta x_0 = 2f \tan \theta_1 = 2f \theta_1 = 2f \frac{\lambda}{a} \propto \frac{\lambda}{a}
$$
为衍射反比定律。 其他明纹（次极大）宽度：
$$
\Delta x_k = f \tan \theta_{k + 1} – f \tan \theta_k
$$
若 $\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$，则：
$$
\Delta x \approx f \frac{\lambda}{a} = \frac{1}{2} \Delta x_0
$$
单缝衍射明纹宽度的特征。波长对条纹间隔的影响：
$$
\Delta x \approx f \frac{\lambda}{a} \propto \lambda
$$
波长越长，条纹间隔越宽。缝宽变化对条纹的影响：缝宽越小，条纹间隔越宽。
当 $a >> \lambda$ 时，只显示出单一的明条纹，即为单缝的几何光学像。
也就是说几何光学是波动光学在 $a >> \lambda$ 的极限情形。
干涉与衍射的联系与区别：
干涉和衍射都是波的相干叠加，但干涉是有限多个分立光束的相干叠加，衍射是波阵面上无限多个子波的相干叠加，二者又常出现在同一现象中。
3. 光栅衍射
光栅：
光栅是由大量的等宽等间距的平行狭缝构成的光学元件。
广义上来讲，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。
光栅常数：
$$
d = a + b
$$
$a$ 为透光部分的宽度，$b$ 为不透光部分的宽度。
普通光栅刻线为数十条 $/mm$ 到数千条 $/mm$。
用电子束刻制可达数万条 $/mm$。
光通过光栅后的光强分布：
格峰之间的干涉和每缝自身的夫琅禾费衍射，决定了光通过光栅后的光强分布——多光束干涉和单缝衍射联合作用的结果。
- 各缝衍射光强度极大值位置重叠，总强度的分布，是两束光的相干叠加。
多光束干涉，主极大的位置与缝的个数无关，主极大光的强度为 $I = N^2 E_p^2 = N^2 I_0$。
$k$ 级亮纹跟 $k + 1$ 级亮纹之间的暗纹位置为：
$$
\Delta \varphi = 2k \pi + \frac{2\pi}{N}, 2k \pi + \frac{4\pi}{N}, \cdots, 2k \pi + \frac{2m\pi}{N}, m = N – 1
$$
相邻主极大间距为 $\lambda$，相邻暗纹间距为 $\dfrac{\lambda}{N}$。相邻主极大间有 $N – 1$ 个暗纹和 $N – 2$ 个次极大。
光栅衍射：
- 多缝干涉主极大受单缝衍射的调制。
存在缺级现象，如 $d = 4a$，在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，从而出现缺级。
干涉明纹缺级级次：
$$
k = \pm \frac{d}{a} k’, k’ = 1, 2, 3, \cdots
$$
光栅衍射的光强公式：
$$
I_p = I_{0单} \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2 \left(\frac{\sin N \beta}{\sin \beta} \right)^2 \\
\alpha = \frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta, \beta = \frac{\Delta \varphi}{2} = \frac{\pi d}{\lambda} \sin \theta
$$
其中 $I_{0单}$ 为单缝中央主极大光强，$\left(\dfrac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2$ 为单缝衍射因子，$\left(\dfrac{\sin N \beta}{\sin \beta} \right)^2$ 为多光束干涉因子。
斜入射光栅：
正入射时的光栅方程为：
$$
d \sin \theta = \pm k \lambda, k = 0, 1, 2, \cdots
$$
斜入射时的光栅方程为：
$$
\delta = d(\sin \theta – \sin i) \\
d(\sin \theta – \sin i) = \pm k \lambda
$$
角度符号规定：由法线转向光线，逆时针为正。
斜入射可获得更高级次的条纹。
对于确定的 $k$，$i$ 变化，则 $\theta$ 也变化。
如对于 $0$ 级衍射光，有 $\sin \theta = \sin i$：
$$
\Delta \varphi = \frac{d \sin i}{\lambda} \cdot 2 \pi \\
\Rightarrow \sin \theta = \sin i = \frac{\lambda}{2 \pi d} \cdot \Delta \varphi
$$
相控阵雷达：
扫描方式为相位控制扫描和频率控制扫描。
回波接收通过同样的天线阵列接收。
其优点有：
- 无机械惯性，可高速扫描。
- 由计算机控制可形成多种波束。
- 不转动、天线孔径可做得很大。
4. 光学仪器的分辨本领 光栅光谱
透镜的分辨本领：
$$
D \cdot \sin \theta_1 \approx 1.22 \lambda
$$
衍射限制了透镜的分辨能力。
瑞利判据：
对于两个等光强的非相干的物点，如果一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘（第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚可以分辨的。
若象斑再靠近就不能分辨了。
最小分辨角：
$$
\delta \theta = \theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}
$$
分辨本领：
$$
R \equiv \frac{1}{\delta \theta} = \frac{D}{1.22 \lambda}
$$
即 $D \uparrow, \lambda \downarrow \to R \uparrow$。
对于望远镜，$\lambda$ 不可选择，但可通过增大 $D$ 来增大 $R$。
而对于显微镜，$D$ 不会很大，通过减小 $\lambda$ 来增大 $R$。
光栅光谱：
正入射时：
$$
d \sin \theta = \pm k \lambda, k = 0, 1, 2, \cdots
$$
当 $k$ 一定时，$\lambda \uparrow \to \theta \uparrow$，不同颜色光的主极大位置也不同，形成同一级光谱。
白光的光栅光谱是连续谱：
光栅的色分辨本领：
设入射波长为 $\lambda$ 和 $\lambda + \delta \lambda$ 时，两谱线刚能分辨，则定义光栅的色分辨本领为：
$$
R \equiv \frac{\lambda}{\delta \lambda}
$$
对于 $\lambda$ 和 $\lambda + \delta \lambda$ 的 $k$ 级主极大：
$$
R = \frac{\lambda}{\delta \lambda} = Nk – 1 \approx Nk, (k \not = 0, N >> 1)
$$
因此 $N \uparrow, k \uparrow \to R \uparrow$。
5. X 射线的衍射
X 射线：
1895 年伦琴发现告诉电子撞击固体可产生一种中性射线，称为 X 射线。
X 射线在晶体上的衍射：
- 衍射中心：每个原子都是散射子波的波源。
同一层晶面上点间散射光的干涉：符合反射定律的散射光加强。
面向散射光的干涉：$\delta = \overline{AC} + \overline{CB} = 2d \cdot \sin \Phi$。
散射光干涉加强条件（布拉格公式）：
$$
2d \cdot \sin \Phi = k \lambda \quad k = 1, 2, \cdots
$$
实际观察 X 射线衍射的做法：
- 劳厄法：
使用 $\lambda$ 连续的 X 射线照射晶体，得到所有晶面族反射的主极大，每个主极大对应一个亮斑（劳厄斑）。
这样得到的衍射图叫劳厄相，此法可定晶轴方向。
粉末法：
用确定 $\lambda$ 的 X 射线入射得到多晶粉末。
大量无规晶面取向，总可使得布拉格条件被满足。
这样的倒的衍射图叫德拜相，此法可定晶格常数。
X 射线衍射与普通光栅衍射的区别：
- X 射线衍射有一系列的布拉格条件。
入射方向和 $\lambda$ 一定时，对第 $i$ 个晶面族有：
$$
d(\sin \theta – \sin i) = \pm k \lambda
$$ 晶体在 $d_i, \Phi_i, \lambda$ 都确定时，不一定能满足布拉格公式的关系。
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