电子电路与系统基础笔记(5)——分压分流分析

电子电路与系统基础笔记(5)——分压分流分析

分压分流分析

电阻分压分流

电阻分压电路

63
$$
v_{in}(t) = v_1(t) + v_2(t) \\
v_1(t) = i(t) R_1 \\
v_2(t) = i(t) R_2 \\
v_{in}(t) = i(t)(R_1 + R_2) \\
i(t) = \frac{v_{in}(t)}{R_1 + R_2} \\
v_1(t) = \frac{R_1}{R_1 + R_2} v_{in}(t) \\
v_2(t) = \frac{R_2}{R_1 + R_2} v_{in}(t)
$$
即得到分压系数。

等效电路

$$
R_{in} = R_1 + R_2 \\
i(t) = \frac{v_{in}(t)}{R_{in}}
$$

即可得到分压系数。

电阻分流电路

64
$$
G_{in} = G_1 + G_2 \\
v_{in}(t) = \frac{i_{in}(t)}{G} \\
i_1(t) = \frac{G_1}{G_1 + G_2} i_{in}(t) = \frac{R_2}{R_1 + R_2} i_{in}(t) \\
i_2(t) = \frac{G_2}{G_1 + G_2} i_{in}(t) = \frac{R_1}{R_1 + R_2} i_{in}(t)
$$
即可得到分流系数。

小结

  • 串联总电阻等于串联分电阻之和,串联电阻上的分压系数为该电阻阻值比总电阻阻值。

$$
v_m(t) = \gamma_{vm} v_{in}(t) = \frac{R_m}{R_{in}} v_{in}(t)
$$

  • 并联总电导等于并联分电导之和,并联电导上的分流系数为该电导导值比总电导导值。

$$
i_m(t) = \gamma_{im} i_{in}(t) = \frac{G_m}{G_{in}} i_{in}(t)
$$

电容分压分流

电容分压电路

65
$$
v_{in}(t) = V_{S0} U(t) \\
i(t) = C_{in} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v_{in} (t) = C_{in} V_{S0} \delta (t) \\
v_1(t) = v_1(0^-) + \frac{1}{C_1} \int_{0^-}^t i(\tau) \mathrm{d} \tau \\
= \frac{C_{in} V_{S0}}{C_1} U(t) \\
= \frac{C_2}{C_1 + C_2} v_{in}(t) \\
v_2(t) = \frac{C_1}{C_1 + C_2} v_{in}(t)
$$
即得出了分压系数。

实际上,容易发现,任意初始电压都是如此分压。

电容有初始电压

66
$$
v_{in0}(t) = (V_{S0} – V_{10} – V_{20}) U(t) \\
v_{10}(t) = \frac{C_2}{C_1 + C_2} v_{in0}(t) \\
v_{20}(t) = \frac{C_1}{C_1 + C_2} v_{in0}(t) \\
v_1(t) = v_{10}(t) + V_{10} U(t) \\
v_2(t) = v_{20}(t) + V_{20} U(t)
$$

叠加定理

  • 表述 1:对于线性电路,如果电路中有多个源同时激励,则总响应为分响应之和。
    • 分响应:单独一个源起作用,其他源不起作用。
    • 源不起作用,就是将源置零,也就是恒压源短路处理,恒流源开路处理。
  • 表述 2:对于线性电路,如果电路有多个源同时激励,则总响应可以表述为这些激励源的线性叠加形式。

小结

  • 串联电容可以实现分压功能,分压系数为:

$$
\gamma_{vCm} = \frac{\dfrac{1}{C_m}}{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{C_k}}
$$

  • 对偶地,并联电感可以实现分流功能,分流系数为:

$$
\gamma_{iLm} = \frac{\dfrac{1}{L_m}}{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{L_k}}
$$

有初值电容电感分压分流:把初值等效为源,用叠加定理处理。

电容分流电路

67
$$
C_{in} = C_1 + C_2 \\
v(t) = \frac{1}{C_{in}} \int_{-\infty}^t i_{in}(\tau) \mathrm{d} \tau \\
i_1(t) = C_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v(t) = \frac{C_1}{C_1 + C_2} i_{in}(t) \\
i_2(t) = C_2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v(t) = \frac{C_2}{C_1 + C_2} i_{in}(t)
$$
即可得到分流系数。

利用对偶电路便可得出电感分压电路的分压系数。

小结

  • 并联电容可以实现分流功能,分流系数为:

$$
\gamma_{iCm} = \frac{C_m}{\sum\limits_{k = 1}^n C_k}
$$

  • 对偶地,串联电感可以实现分压功能,分压系数为:

$$
\gamma_{vLm} = \frac{L_m}{\sum\limits_{k = 1}^n L_k}
$$

阻容分压电路

纯阻、纯容、纯感串并联电路的分压分流关系(分压系数、分流系数)和激励信号形态无关,但RC、RL、RLC混合器件串并联电路的分压分流关系和激励信号形态(和时间)有关。

RC 串联电路:直流电压源激励

68

由于 RC 是线性时不变元件,不会产生新的频率分量,因此当直流激励时,电路中就只有一个直流(零频)分量。
直流信号可理解为是在 $t = -\infty$ 时加载的,经过无穷长时间后,电容初始电压(另一个源,叠加定理)的作用已经消失(指数衰减为 $0$ 了),因而直流分析不考虑初值问题。
$$
v_{in}(t) = V_{S0} \\
v_R(t) = V_{R0} \\
v_c(t) = V_{C0}
$$
直流激励只能是直流响应!
$$
i(t) = i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v_C(t) = 0
$$
直流情况下,电容相当于开路!
$$
v_R(t) = i_R(t) R = i(t) R = 0 \\
v_C(t) = v_{in}(t) – v_R(t) = V_{S0}
$$
电阻分压为 $0$,电容(直流开路)获得了全部的直流分压。

RC 串联电路:阶跃电压源激励

69

由于是线性电路,根据叠加定理,电阻分压和电容分压由两个源共同决定,第一个源为外加激励源 $v_S(t) = V_{S0}$,第二个源为电容初始电压 $V_0$ 的等效源,为了简单起见,首先假设 $V_0 = 0$,只考虑外加激励源单独作用的分压关系。
$$
v_{in}(t) = V_{S0} U(t) \\
v_{in}(t) = Ri(t) + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i(\lambda) \mathrm{d} \lambda \ \ \ (t \ge 0) \\
i(t) + \frac{1}{RC} \int_{-\infty}^t i(\lambda) \mathrm{d} \lambda = \frac{V_{S0}}{R} U(t) \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} i(t) + \frac{1}{RC} i(t) = \frac{V_{S0}}{R} \delta (t) \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} i(t) + \frac{1}{\tau} i(t) = \frac{V_{S0}}{R} \delta (t) \\
\tau = RC
$$
称 $\tau$ 为时间常数。

求解微分方程可得:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left ( e^{\frac{t}{\tau}} i(t) \right ) = \frac{V_{S0}}{R} e^{\frac{t}{\tau}} \delta (t) \\
e^{\frac{t}{\tau}} i(t) = \int_{-\infty}^t \frac{V_{S0}}{R} e^{\frac{\lambda}{\tau}} \delta (t) \mathrm{d} \lambda = \frac{V_{S0}}{R} U(t) \\
i(t) = \frac{V_{S0}}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} U(t)
$$
RC 电路的特征函数:指数衰减函数。

其中冲激函数的取样特性:
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t) \mathrm{d} t \\
= f(0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \mathrm{d} t = f(0)
$$

零状态响应

$V_0 = 0$,电容初始状态为 $0$ 的分析,称此时的响应为零状态响应
$$
v_R(t) = i(t)R = V_{S0} e^{-\frac{t}{\tau}} U(t) \\
v_C(t) = v_{in}(t) – v_R(t) \\
= V_{S0} \left( 1 – e^{-\frac{t}{\tau}} \right ) U(t)
$$
可知 RC 分压是时间的函数,故称之为动态电路。

70

电容的信号特性

直流开路,高频短路。
$$
i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v_C(t) = C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} V_0 = 0 \\
v_C(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i(\tau) \mathrm{d} \tau = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t I_0 \cos \omega \tau \mathrm{d} \tau = \frac{I_0}{\omega C} \sin \omega t \to 0 (\omega \to \infty)
$$

信号的微分值和频率成正比,微分值很大代表高频,微分值很小代表低频。

阶跃响应看通带

71

电容充电曲线

工程上认为 $5\tau$ 时间后,电容充电结束,进入稳态。

电容电压不能突变,电容电压瞬间为 $0$,电容瞬间阻抗为零(电容高频短路),回路初始电流为 $\frac{V_{S0}}{R}$,该电流对电容充电,短时内电容电压线性上升,导致回路电流降低,充电电流减小,充电速率(斜率)下降,最终呈现出指数衰减规律:当电容电压等于输入电压时,回路电流为零,不再对电容充电,电容电压稳定在输入电压上:$5 \tau$ 时间后,阶跃信号可理解为看不到跳变了,只看到直流,电容直流开路,全部直流电压加载到电容上。

零输入响应

73

等效电路分析

72

可以发现电容放电。

工程上一般认为 $5 \tau$ 后,电容电压趋于稳态值。

开关闭合瞬间,电容电压全部加载到电阻上,形成放电电流 $\frac{V_0}{R}$,该电流对电容放电,短时内电容电压线性下降,导致加载到电阻上的电压随之下降,放电电流降低,放电速率(斜率)下降,最终呈现出指数衰减规律:当电容电压下降为零时,放电电流为零,电容不再放电。

全响应 $=$ 零状态响应 $+$ 零输入响应

74

由于是线性电路,根据叠加定理,总响应等于分响应之和,因此全响应等于零状态响应和零输入响应之和。
$$
t \ge 0 : \\
v_R(t) = (V_{S0} – V_0) e^{-\frac{t}{\tau}} U(t) \\
v_C(t) = V_{S0} \left (1 – e^{-\frac{t}{\tau}} \right ) U(t) + V_0 e^{-\frac{t}{\tau}} U(t) \\
t < 0 : \\ v_R(t) = 0 \\ v_C(t) = V_0 $$ 对应曲线为:75

RL 并联电路:阶跃电流源激励

76
$$
i_R(t) = (I_{S0} – I_0) e^{-\frac{t}{\tau}} U(t) \\
i_L(t) = (I_{S0} – I_0) \left ( 1 – e^{-\frac{t}{\tau}} \right ) U(t) + I_0 \\
\tau = GL
$$

零响应状态:电感充磁

$$
i_L(t) = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^t v_L(t) \mathrm{d} t = \frac{1}{L} = \int_0^t v_L(t) \mathrm{d} t
$$

77

电感电流不能突变,电感电流瞬间为 $0$,电感瞬间阻抗为无穷(电感高频开路),结点初始电压为 $I_{S0} R$,该电压对电感充磁,短时内电感电流线性上升,导致电阻分流变小,结点电压下降,充磁电压下降,充磁速率(斜率)下降,最终呈现出指数衰减规律:当电感电流等于输入电流时,电阻分流为 $0$,电阻电压即结点电压为零,不再对电感充磁,电感电流稳定在输入电流上:$5 \tau$ 时间后,阶跃信号可理解为看不到跳变了,只看到直流,电感直流短路,全部直流电电流加载到电感上。

零输入相应:电感放磁

78

开关断开瞬间,电感电流全部加载到电阻上,形成放磁电压 $-I_0 R$,该电压对电感放磁,短时内电感电流线性下降,导致加载到电阻上的电流随之下降,放磁电压降低,放磁速率(斜率)下降,最终呈现出指数衰减规律:当电感电流下降为零时,放磁电压为零,电感不再放磁。

小结

  • 电容具有直流开路,高频短路的信号特性;对偶地,电感具有直流短路,高频开路的信号特性。
  • 对于一阶 RC 电路或一阶 RL 电路,描述电路的特征参量为时间常数 $\tau$。
    • $\tau = RC;\tau = GL$
  • RC 分压电路:直流激励时,电容开路,获得所有直流分压,电阻分压为 $0$;阶跃信号 $V_{S0} U(t)$ 激励时,电容瞬间短路($t = 0$),所有电压 $V_{S0}$ 全部加载电阻上,等待足够长时间($t > 5 \tau$)后,电容直流开路,所有电压 $V_{S0}$ 全部加载电容上,因此电容电压存在一个由 $0$ 变化到 $V_{S0}$、电阻电压存在一个由 $V_{S0}$ 变化到 $0$ 的变化过程,这个变化过程是指数衰减过程,指数衰减时间常数为 $\tau$。
  • 当电容或电感有初值时,这些初值就是电路内蕴的源。由于 RC、RL 电路为线性电路,根据叠加定理,电路总响应为零状态响应和零输入响应之和。
    • 对于一阶 RC 电路,零状态响应为电容充电过程,零输入响应为电容放电过程。

 

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