微积分笔记（12）——微分和 Taylor 公式

微积分笔记（12）——微分和 Taylor 公式

Taylor 定理（公式）

问题

给定 $f : (a,b) \to \mathbb{R}$，$x_0 \in (a,b)$。寻求多项式 $P(x)$ 在 $x_0$ 点附近近似 $f(x)$。

微分

定义

若存在 $\lambda \in \mathbb{R}$，使得 $f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) = \lambda \Delta x + o(\Delta x)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 点可微，并记为：

$$\mathrm{d} f(x_0) = \lambda \Delta x$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 点的微分。

含义

在 $x_0$ 点附近，$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + \lambda \Delta x$。

$$\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) – \lambda \Delta x}{\Delta x} = 0$$

定理

$f$ 在 $x_0$ 点可微 $\Leftrightarrow f$ 在 $x_0$ 点可导，这时 $\mathrm{d} f(x_0) = f^{\prime}(x_0) \Delta x$。

注 1：取 $x = x_0 + \Delta x$，则可微定义改写为：

$$f(x) – f(x_0) = \lambda (x – x_0) + o(x – x_0) \\ f(x) \approx f(x_0) + \lambda (x – x_0)$$
注 2：注意到 $\mathrm{d} x = x^{\prime} \Delta x = \Delta x$，今后约定微分记号 $\mathrm{d} f(x) = f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$。

注 3：应用 Leibniz 记号：$y = f(x)$，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f^{\prime} (x)$，从而

$$\mathrm{d} y = \mathrm{d} f(x) = f^{\prime} (x) \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \mathrm{d} x$$

微分的四则运算

设 $u,v$ 都可微，则：

1. $\mathrm{d} (u \pm v) = \mathrm{d} u \pm \mathrm{v}$
2. $\mathrm{d} (uv) = u \mathrm{d} v + v \mathrm{d} u$
3. $\mathrm{d} (\dfrac{u}{v}) = \dfrac{v \mathrm{d} u – u \mathrm{d} v}{v^2}(v \not = 0)$

证明略。

复合函数的微分

设 $y = f(x),x = \varphi (t)$ 是 $2$ 个可微函数，且 $f \circ \varphi (t) = f(\varphi (t))$ 有意义，则：

$$\mathrm{d} (f \circ \varphi) (t) = f^{\prime}(\varphi (t)) \varphi^{\prime} (t) \mathrm{d} t$$
注：已知 $\mathrm{d} y = f^{\prime} (x) \mathrm{d} x,\mathrm{d} x = \varphi^{\prime} (t) \mathrm{d} t$ 是两个独立的微分。当 $y = f(\varphi (t))$ 有意义时：
$$\mathrm{d} y = f^{\prime} (x) \varphi^{\prime} (t) \mathrm{d} t = f^{\prime} (x) \mathrm{d} x$$
无论 $x$ 是自变量还是中间变量，$y = f^{\prime} (x) \mathrm{d} x$ 永远成立。——一阶微分的形式不变性。

Taylor 公式——带 Peano 余项

问题模型

给定 $f : (a,b) \to \mathbb{R},x_0 \in (a,b)$，寻找 $2$ 次多项式 $P(x) = a + bx + cx^2$ 使得 $f(x_0 + \Delta x) – P(\Delta x) = o(\Delta x^2)$。

令 $\Delta x = 0$，$f(x_0) = P(0) = a$。

$$\dfrac{f(x_0 + \Delta x) – P(\Delta x)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) – b \Delta x – c \Delta x^2}{\Delta x} \\ \to f^{\prime} (x_0) – b = 0, b = f^{\prime} (x_0) \\ \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – P(\Delta x)}{\Delta x^2} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) – f^{\prime} (x_0) \Delta x – c \Delta x^2}{\Delta x^2} \\ \dfrac{f^{\prime} (x_0 + \Delta x) – f^{\prime}(x_0) – 2c \Delta x}{2 \Delta x} \\ \to \dfrac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2} – c = 0, c = \dfrac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2}$$
令 $P(x) = f(x_0) + f^{\prime} (x_0) x + \dfrac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2} x^2$，则 $f(x_0 + \Delta x) – P(\Delta x) = o(\Delta x^2)$。

Taylor 公式

若 $f$ 在 $x_0$ 点 $n$ 阶可导，则有多项式 $P_n(x) = f(x_0) + f^{\prime} (x_0) x + \dfrac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2!} x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)} (x_0)}{n!} x^n$，使得 $f(x_0 + \Delta x) = P_n(\Delta x) + o(\Delta x^n)$。

注：$P_n(x)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 点的 $n$ 次 Taylor 多项式。

结论也可写成：

$$f(x) = P_n(x – x_0) + o((x – x_0)^n)$$
称为 $f$ 在 $x_0$ 点的 $n$ 阶 Taylor （多项式）展开式，其中 $o((x – x_0)^n)$ 称为展开的 Peano 余项。

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