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微积分笔记(13)——带 Peano 余项的 Taylor 公式

微积分笔记(13)——带 Peano 余项的 Taylor 公式

Taylor 公式——带 Peano 余项(续)

Taylor 公式证明

注意到 P(k)n(0)=f(n)(x0),k=0,1,2,,n

应用 L’Hospital 法则 n1 次。
limΔx0f(x0+Δx)Pn(Δx)Δxn=limΔx0f(x0+Δx)Pn(Δx)nΔxn1=limΔx0f(n1)(x0+Δx)fn1(x0)fn(x0)Δxn!Δx=1n!limΔx0[f(n1)(x0+Δx)fn1(x0)Δxf(n)(x0)]=0 

Maclaurin 展开(x0=0

f(n)(0) 存在,则:
f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+o(xn)

应用

一些常见初等函数的 Maclaurin 展开。
ex=1+x1!+x22!++xnn!+o(xn)sinx=xx33!+x55!+(1)mx2m+1(2m+1)!+o(x2m+2)cosx=1x22!+x44!+(1)mx2m(2m)!+o(x2m+1)11+x=1x+x2x3++(1)nxn+o(xn)ln(1+x)=xx22+x33+(1)n1xnn+o(xn)(1+x)a=1+ax+a(a1)2!x2++a(a1)(an+1)n!xn+o(xn)

问题

已知 f(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+o((xx0)n),是否 ak=f(k)(x0)k!,k=0,1,2,,n

唯一性:设 f(n)(x0) 存在,则上述展开为 Taylor 展开,即 ak=f(k)(x0)k!,k=0,1,2,,n

证明:由 f(n)(x0) 存在,取 Pn(xx0)fn 阶 Taylor 多项式(在 x0 点),记 Qn(xx0)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n,则:
Pn(xx0)Qn(xx0)=o((xx0)n)Pn(xx0)=Qn(xx0) 

间接展开

ex2+2x=e(x+1)21=e1(1+(x+1)21!+(x+1)42!++(x+1)2nn!+o((x+1)2n))1x2+3x=13(1x1x+3)=13((nk=0(1)k(x1)k+o((x1)n))(14nk=0(1)k(x14)k+o((x14)n)))=13nk=0(1)k(114k+1)(x1)k+o((x1)n)tanx=sinxcosx=xx33!+x55!+o(x6)1x22!+x44!+o(x5)=x+x33+215x5+o(x5)

 

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