
微积分笔记(13)——带 Peano 余项的 Taylor 公式
Taylor 公式——带 Peano 余项(续)
Taylor 公式证明
注意到 P(k)n(0)=f(n)(x0),k=0,1,2,⋯,n。
应用 L’Hospital 法则 n−1 次。
limΔx→0f(x0+Δx)–Pn(Δx)Δxn=limΔx→0f′(x0+Δx)–P′n(Δx)nΔxn−1⋮=limΔx→0f(n−1)(x0+Δx)–fn−1(x0)–fn(x0)Δxn!Δx=1n!limΔx→0[f(n−1)(x0+Δx)–fn−1(x0)Δx−f(n)(x0)]=0 ◻
Maclaurin 展开(x0=0)
若 f(n)(0) 存在,则:
f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)
应用
一些常见初等函数的 Maclaurin 展开。
ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+o(xn)sinx=x–x33!+x55!–⋯+(−1)mx2m+1(2m+1)!+o(x2m+2)cosx=1–x22!+x44!–⋯+(−1)mx2m(2m)!+o(x2m+1)11+x=1–x+x2–x3+⋯+(−1)nxn+o(xn)ln(1+x)=x–x22+x33–⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)(1+x)a=1+ax+a(a–1)2!x2+⋯+a(a–1)⋯(a–n+1)n!xn+o(xn)
问题
已知 f(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+⋯+an(x–x0)n+o((x–x0)n),是否 ak=f(k)(x0)k!,k=0,1,2,⋯,n?
唯一性:设 f(n)(x0) 存在,则上述展开为 Taylor 展开,即 ak=f(k)(x0)k!,k=0,1,2,⋯,n。
证明:由 f(n)(x0) 存在,取 Pn(x–x0) 为 f 的 n 阶 Taylor 多项式(在 x0 点),记 Qn(x–x0)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+⋯+an(x–x0)n,则:
Pn(x–x0)–Qn(x–x0)=o((x−x0)n)⇒Pn(x–x0)=Qn(x–x0) ◻
间接展开
ex2+2x=e(x+1)2–1=e−1(1+(x+1)21!+(x+1)42!+⋯+(x+1)2nn!+o((x+1)2n))1x2+3x=13(1x–1x+3)=13((n∑k=0(−1)k(x−1)k+o((x−1)n))−(14n∑k=0(−1)k(x−14)k+o((x−14)n)))=13n∑k=0(−1)k(1–14k+1)(x–1)k+o((x–1)n)tanx=sinxcosx=x–x33!+x55!+o(x6)1–x22!+x44!+o(x5)=x+x33+215x5+o(x5)
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