wzf2000 离散数学笔记（10）——环和域
Contents
代数结构（代数系统）
代数系统的同态与同构
同态核
设 $f$ 是从 $\langle X,\star \rangle$ 到 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同态映射，$e_\star$ 和 $e_\oplus$ 分别为其单位元，定义其同态核为 $\ker f = \{x \in X | f(x) = e_\oplus \}$。
定理：设 $f$ 是从群 $\langle X,\star \rangle$ 到群 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同态映射，则 $f$ 的同态核 $K$ 是 $X$ 的子群。
同态性质的保持
代数系统 $\langle X,\star \rangle$ 和 $\langle Y,\oplus \rangle$ ，$X \backsim Y$，$f : X \to Y$ 是同态映射，如果 $\langle X,\star \rangle$ 中 $\star$ 满足交换、结合、有单位元、有零、每个元素可逆，则 $\langle f(X),\oplus \rangle$ 中 $\oplus$ 也满足上述性质。
注意，同态性质的保持只是单向的。
环与域
环
给定代数系统 $\langle R,+,\cdot \rangle$，若 $R$ 上二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 满足：
- $\langle R,+ \rangle$ 是交换群。
- $\langle R,\cdot \rangle$ 是半群。
- $\cdot$ 对 $+$ 可分配。
则称 $\langle R,+,\cdot \rangle$ 是个环。
环的运算法则
设 $\langle R,+,\cdot \rangle$ 是环，$a,b,c \in R$，符号的约定：
- 对 $+$：单位元由 $0$ 表示（称为零元），$a$ 的逆元用 $-a$ 表示（称为负元）。
对 $\cdot$：单位元由 $1$ 表示（若单位元存在），$a$ 的逆元用 $a^{-1}$ 表示（若 $a$ 的逆元存在）。
$a + (-b) = a - b$。
运算法则：
- $a + (-a) = (-a) + a = 0$。
- $0 + a = a + 0 = a$。
- $-(-a) = a$。
- $a + b = c \Leftrightarrow a = c + (-b) = c - b$。
- $-(a + b) = - a - b,-(a - b) = - a + b$。
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$。（$0 = a \cdot 0 - a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) - a \cdot 0 = a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0$）
- $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$。（$a \cdot b + (-a) \cdot b = (a - a) \cdot b = 0$）
- $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$。
- $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c,(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$。
零因子
设 $\langle R,+,\cdot \rangle$ 是环，$a,b \in R$，且 $a \not = 0,b \not = 0$，但有 $a \cdot b = 0$，则称 $a$ 是 $R$ 的一个左零因子，$b$ 是 $R$ 的一个右零因子。若 $a$ 既是左零因子，又是右零因子，则称 $a$ 为 $R$ 的一个零因子。
定理：$\langle R,+,\cdot \rangle$ 中无左（右）零因子，当且仅当对运算 $\cdot$ 满足可消去性。
环的分类
定义：设 $\langle R,+,\cdot \rangle$ 是环：
- 若 $\langle R,\cdot \rangle$ 是幺群（独异点），则称它是含幺环。
- 若 $\langle R,\cdot \rangle$ 是交换半群，则称它是可交换环。
- $R \not = \{0\}$，若 $R$ 是交换含幺环，且无零因子，则称它是整环，即满足：
- $\langle R,+ \rangle$ 是交换群。
- $\langle R,\cdot \rangle$ 是可交换幺群。
- $\cdot$ 对 $+$ 可分配。
- 无零因子。
- $R$ 至少有两个元素，令 $R^* = R - \{0\}$，若 $\langle R^*,\cdot \rangle$ 是群，则称它是除环。
环的同态与同构
设 $R$ 与 $R'$ 是环，$f$ 是 $R \to R'$ 的映射，若对 $\forall a,b \in R$，有：
$$
f(a + b) = f(a) + f(b) \\
f(ab) = f(a)f(b)
$$
则 $f$ 称为由 $R$ 到 $R'$ 的一个同态（映射）。
若 $f$ 是单射，则称 $f$ 是一个单同态。
若 $f$ 是满射，则称 $f$ 是一个满同态，并记 $R \sim R'$。
若 $f$ 是双射，则称 $f$ 是一个同构，并记 $R \stackrel{\sim}{=} R'$。
定义：设 $f$ 是环 $R$ 到 $R'$ 的一个同态，则集合：
$$
\ker f = f^{-1}(0') = \{ x \in R | f(x) = 0' \}
$$
称为 $f$ 的同态核。
定理：
域
设 $\langle F,+,\cdot \rangle$是个代数系统，$F$ 至少有两个元素，如果 $F$ 上二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 满足：
- $\langle F,+ \rangle$ 是交换群。
- $\langle F - \{0\},\cdot \rangle$ 是交换群。
- $·$ 对 $+$ 可分配。
称 $\langle F,+,\cdot \rangle$ 是个域。
定理 1：设 $\langle F,+,\cdot \rangle$是域，则 $F$ 中无零因子。
定理 2：域必是整环。
证明：因为域是可交换含幺环，又无零因子，所以也是整环。
整环与域的区别：只差可逆性。
定理 3：一个有单位元 $1$ 的有限整环必是域。
格
格的定义
$\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 是偏序集，如果任何 $a,b \in A$，使得 $\{a,b\}$ 都有下确界和上确界，则称 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 是格。
平凡格
所有全序都是格，称为平凡格。
由格诱导的代数系统
设 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 是格，在 $A$ 上定义二元运算 $\lor$ 和 $\land$ 为：
$$
\forall a,b \in A \\
a \lor b = \{a,b\} \text{ 的上确界} \\
a \land b = \{a,b\} \text{ 的下确界}
$$
称 $\langle A,\lor,\land \rangle$ 是由格 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 诱导的代数系统。
子格
设 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 是格，$\langle A,\lor,\land \rangle$ 是由格 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 诱导的代数系统。
$B$ 是 $A$ 的非空子集，如果 $\lor$ 和 $\land$ 在 $B$ 上封闭，则称 $\langle B,\preccurlyeq \rangle$ 是 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$ 的子格。
格的对偶原理
设 $P$ 是对任何格都为真的命题，如果将 $P$ 中的 $\preccurlyeq$ 换成 $\succcurlyeq$，$\land$ 与 $\lor$ 互换，就得到命题 $P'$，称 $P'$ 为 $P$ 的对偶命题，则 $P'$ 对任何格也是为真的命题。
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