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高等代数选讲笔记(7)——根子空间分解

高等代数选讲笔记(7)——根子空间分解

第七讲:根子空间分解

根子空间性质

回忆

T:UVλT 的一个特征值,G(λ,T)=Null(TλI)n,n=dimV

λ1,,λmT 的不同特征值,那么:
G(λ1,T)G(λ2,T)G(λm,T)V
我们将要证明实际上这是 =

记号

T:VV,对于任意:
p(x)=anxn+an1xn1++a0
定义:
p(T)=anTn+an1Tn1++a0I:VV
则:
p(T)q(T)=pq(T)=qp(T)=q(T)p(T)[p(T),q(T)]:=p(T)q(T)q(T)p(T)=0

性质 1

如果 T,S:VV[T,S]=0,那么 Null(S),Range(S)T 不变子空间。

证明
vNull(S),STv=TSv=0,TvNull(S)vRange(S),v=Su,Tv=TSu=STuRange(S)

定理

T:VVλ1,,λmT 不同特征值。

  1. V=G(λ1,T)G(λm,T)
  2. G(λi,T)T 不变子空间。
  3. (Tλi)|G(λi,T) 是幂零的。

其中 1 可写成:
V=λCG(λ,T)
证明

对于 2:
[T,(TλiI)n]=0
所以根据性质 1 可以推出 G(λi,T)=Null(TλiI)nT 不变的。

对于 3:
(Tλi)|nG(λi,T)=0
对于 1:

用归纳法证明,当 n=dimV=1 时显然成立。

假设命题在 dimV=1,2,,n1 时成立,当 dimV=n 时,令 λ1T 的一个特征值,那么:
V=G(λ1,T)U
其中:(见第六讲)
U=Range(Tλ1I)n
dimU<dimV,命题对 T|U:UU 成立(UT 不变子空间,由性质 1 得) U=G(λ2,T|U)G(λm,T|U) 因为 T|U 的特征值必定在 λ2,,λn 之中。 G(λi,T|U)G(λi,T)dimG(λi,T|U)dimG(λi,T)dim(G(λ1,T)G(λm,T))=dimG(λ1,T)+dimG(λm,T)dimG(λ1,T)+dimG(λ2,T|U)++dimG(λm,T|U)=dimV 因此得证。推论:存在 T 的一组基,其中每个向量都是根向量。

根子空间分解

特征值的重数

特征值 λ 的重数为 dim(G(λ,T))

推论:特征值重数之和 =dimV

分块对角矩阵

一个分块对角矩阵是下列形式的方阵:
(A1000A2000Am)
其中 A1,A2,,Am 均为方阵。

如果:
V=V1V2Vm
T 不变子空间的直和:
Ti=T|Vi:ViVi,TiAi
可以推广 Ti:VV

那么 T 对应的矩阵是:
(A1000A2000Am)
记号
T=T1+T2++Tm:VV

性质 2

λ1,λmT 的不同特征值,重数分别为 d1,,dm,那么存在 V 的一组基,使得 T 对应的矩阵形式如下:
(A1000A2000Am)
其中每个 Ai 是一个 di×di 的上三角矩阵,且对角线元素均为 λi

证明

定理 3 (TλiI)|G(λi,T) 是幂零算子。

存在 G(λi,T) 的一组基,使得 TλiI 的矩阵是严格上三角阵。

那么 T 的矩阵即为:
(λi0λi)
G(λi,T) 的基放在一起得 V 的一组基,T 的矩阵满足性质 2 中的形式,故得证。

应用:平方根

定理

NL(V) 是幂零算子,那么 I+N 有一个平方根。

证明:考虑 1+x 的泰勒级数:
1+x=a0+a1x+1+x=(a0+a1x+)2=a20+2a0a1x+(a21+2a0a2)x2+a0=1,a1=12,a2=18,
对于矩阵 T:(如果收敛)
I+T=a0I+a1T+a2T2+
如果 T 是幂零矩阵 N,则 Nn=0,因此:
I+N=a0I+a1N++an1Nn1
必定存在。

性质 3

TL(V) 可逆,那么 T 有一个平方根。

证明
T=T1++Tm,Ti=T|G(λi,T)
则:
Ti=λi(I+Ni)
(由于T 可逆,因此 λi0,可由性质 2 得出这种形式)

其中 Ni 是幂零算子。
Ri=Ti=λiI+NiR=R1+R2+RnR2=R21+R22++R2n=T1+T2+Tn=T(RiRj=0,ij)

特征多项式

T:VVλ1,,λmT 不同的特征值,重数为 d1,,dm

定义

T 的特征多项式为:
chT=(zλ1)d1(zλm)dm

性质

chT=det(zIT)

这里 T 是指其在某组基下的矩阵。

证明
[T]=(A1000A2000Am)Ai=(λi0λi)det(zIT)=(zλ1)d1(zλm)dm

Cayley-Hamilton 定理

chT(T)=0

证明
T=T1++Tm,Ti=T|G(λi,T)(TiλiI)di=0chT(Ti)=0chT(T)=chT(T1)+chT(T2)++chT(Tm)=0(p(T)=p(T1)+p(T2)++P(Tm))

最小多项式

首一多项式

最高阶系数为 1 的多项式。

如:
xn+an1xn1++a0

性质

TL(V),那么存在唯一最小阶的首一多项式 P 使得 P(T)=0

证明

n=dimV,那么 L(V) 的维数是 n2

那么 {1,T,T2,,Tn2} 必须线性相关。

m 为最小的整数,使得 {1,T,,Tm} 线性相关。

{1,T,,Tm1} 线性无关,Tm 可由 {1,T,,Tm1} 线性表出。
Tm+am1Tm1++a0I=0
定义 p(z)=zm+am1pz1++a0,则 p(T)=0

如果存在多项式 q 使得 degq<degp 且满足同样性质,则根据线性无关考察 q 可得矛盾。如果存在多项式 q 使得 degq=degp 且满足同样性质,则根据线性无关类似考察 pq 即可得 p=q。因此 p 是唯一的。

性质

如果 pT 的最小多项式,则:
q(T)=0p|q
证明:右推左显然。

左推右,考虑 q=fp+r,其中 degr<degp。则 q(T)=f(T)p(T)+r(T)=r(T)=0,因此 r=0,即 p|q推论:最小多项式整除特征多项式。

 

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风吹柳叶遮黄雀,薄翅不觉已落蝉。