
微积分笔记(41)——多变量函数的微分学(4)
多变量函数的微分学
多元函数的多项式逼近
回忆
用一元多项式逼近一元函数,也就是利用 Taylor 公式。
现在希望用 n 元多项式逼近 n 元函数。
多项式逼近问题
- 设 n 元函数 f(x) 可微,则:
f(a+Δx)=f(a)+n∑i=1Dif(a)Δxi+o(‖Δx‖) 若上面 f(x) 在 a 点有 m+1 阶连续偏导数,是否有 m 次多项式 Pm(x),使得:
f(a+Δx)=Pm(Δx)+o(‖Δx‖m)
若答案肯定,如何求 Pm(x)。
方法(将 n 元函数化为 1 元函数情况)
设 f∈Cm+1(Br(a)),a∈Rn,r>0,∀Δx∈Rn,‖Δx‖<r,定义: φ(t)=f(a+tΔx)∈Cm+1[0,1]
Taylor 公式(C2 函数的多项式逼近)
设 f∈C2(Br(a)),a∈Rn,r>0,则 ∀‖Δx‖<r,∃θ∈(0,1): f(a+Δx)=f(a)+n∑i=1∂f(a)∂xiΔxi+12n∑i,j=1∂2f(a+θΔx)∂xi∂xjΔxiΔxj
多元函数的极值问题
极值问题
求函数的极大极小值,最大最小值,是 Taylor 公式的一个应用。
极值(局部最值)
设 f:D→R,a∈D∘:
- f(a) 是极大值:∃r>0,∀‖x–a‖<r,f(x)≤f(a)。
- f(a) 是极小值:∃r>0,∀‖x–a‖<r,f(x)≥f(a)。
(严格极值定义略)
若 f(a) 是极大值或极小值,则称 a 为极大值点或极小值点。
极值必要条件
- 设 f 在 a 点达到极值且 Duf 存在,则 Du(a)=0;
- 若 f 在 a 点达到极值且可微,则 Jf(a)=0,也即 Dif(a)=0,i=1,2,⋯,n。
驻点-临界点
若函数 Jf(a)=0,则称 a 称 f 的驻点(也称临界点)。
注:
- 在有些文献中,不可微点也被称为临界点。
- 可微函数仅在驻点达到极值,但反之不比成立。
对于 f(x,y)=x2–y2,原点是驻点,但是原点并非极值点。
极值的充分条件
如果 a 是 f(x) 的驻点,则根据 Taylor 公式,可知 a 是否极值点由 Hesse 矩阵 Hf 的性质决定。
如果 ∃r>0,f∈C2(Br(a)),则:
- 若 Hf 正定,则 f(a) 为严格极小值。
- 若 Hf 负定,则 f(a) 为严格极大值。
- 若 Hf 不定,则 f(a) 不是极值。
证明:如前观察,已知 Hf(a) 正定,其特征值全部大于 0,由连续性可知 x=a 附近 Hf(x) 也正定,由此导出第一条。
第二条与第一条完全平行。
对于第三条,论证基于:
f(a+Δx)=f(a)+12(Δx)THf(a)Δx+o(‖Δx‖2)
已知矩阵 Hf(a) 不定:∃u,v∈Rn,‖u‖=‖v‖=1:
uTHf(a)u>0>vTHf(a)v
特别有:
f(a+tu)=f(a)+t22(uTHf(a)u)+o(t2)f(a+tv)=f(a)+t22(vTHf(a)v)+o(t2)
因此当 t 充分小时:
f(a+tu)>f(a)>f(a+tv)
即 f(a) 不是极值。◻
2 元函数的极值判别
设 a 是 f(x,y) 的驻点且 ∃r>0,f∈C2(Br(a)),记:
A=∂2f∂x2(a),B=∂2f∂x∂y(a),C=∂2f∂y2(a)
则:
- AC–B2>0,A>0,则 f(a) 为严格极小值;
- AC–B2>0,A<0,则 f(a) 为严格极大值。
- AC–B2<0,则 f(a) 不是极值。
证明略。
注:关于 Hesse 矩阵的性质,还有半定的情况,此时定理失效。
反例如 f1(x,y)=x4–y4,f2(x,y)=x4+y4。
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