微积分笔记（43）——空间曲面

wzf2000
2020年4月12日

微积分笔记（43）——空间曲面

空间曲面

空间曲面的表示

曲面显式表示

设 $f : D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个区域，空间点集合（函数 $f$ 的图像）：
$$
S = \{(x, y, z) | (x, y) \in D, z = f(x, y)\} =: G(f)
$$
称为 $\mathbb{R}^3$ 空间中的一个曲面，$z = f(x, y)$ 称为曲面 $S$ 的显式表示。

曲面隐式表示

设 $F : \Omega \to \mathbb{R}, \Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 是一个区域，空间点集（函数 $F$ 的等值面）：
$$
S = \{(x, y, z) \in \Omega | F(x, y, z) = 0 \}
$$
也称为是 $\mathbb{R}^3$ 空间中的一个曲面，$F = 0$ 称为曲面 $S$ 的隐式表示。

曲面的参数表示

设 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^3, D \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个区域，则集合（函数 $\pmb{f}$ 的值域）：
$$
S = \{ (x, y, z) | (x, y, z) = \pmb{f}(u, v), (u, v) \in D \} =: \pmb{f}(D)
$$
称为 $\mathbb{R}^3$ 空间中的一个曲面，$\pmb{f}(u, v)$ 称为曲面 $S$ 的参数表示。

回忆：空间曲线。

设 $\pmb{f} : [a, b] \to \mathbb{R}^3$，则：
$$
L = \{ (x, y, z) | (x, y, z) = \pmb{f}(t), t \in [a, b] \} =: \pmb{f}([a, b])
$$
称为是 $\mathbb{R}^3$ 空间中的一条曲线，$\pmb{f}(t)$ 称为曲线 $L$ 的参数表示。

空间曲面的法向与切平面

显式曲面切平面（回忆）

设曲面 $S$ 有显式表示 $z = f(x, y)$，令 $z_0 = f(x_0, y_0)$，则 $P = (x_0, y_0, z_0) \in S$，且 $S$ 在 $P$ 点的切平面方程（如果 $f$ 可微）：
$$
z = z_0 + D_x f(x_0, y_0)(x - x_0) + D_y f(x_0, y_0)(y - y_0)
$$
该曲面法向量：
$$
\mathbf{n} = \pm(D_x f(x_0, y_0), D_y f(x_0, y_0), -1)
$$
切平面方程还可以写成向量内积形式：
$$
\left\langle \mathbf{n}, \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right\rangle = 0
$$
其中向量 $\mathbf{r} = (x, y, z), \mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$。

隐式曲面切平面与法向

设曲面 $S$ 有隐式表示 $F(x, y, z) = 0$，取 $P = (x_0, y_0, z_0) \in S$，即 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，不妨令 $F \in C^1$ 且 $D_z F(x_0, y_0, z_0) \not = 0$，则 $P$ 点附近有 $S$ 的显式表示 $z = z(x, y)$（隐函数），切平面方程为：
$$
z = z_0 + D_x z(x_0, y_0) (x - x_0) + D_y z(x_0, y_0) (y - y_0)
$$
其中：
$$
D_x z = - D_x F /D_z F, D_y z = - D_y F / D_z F
$$
代入切平面方程整理得：
$$
D_x F(P) (x - x_0) + D_y F(P) (y - y_0) + D_z F(P) (z - z_0) = 0
$$
写成向量内积形式：
$$
\left\langle \mathbf{n}, \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right\rangle = 0, \mathbf{n} = \pm \mathrm{grad} \, F(P)
$$
其中 $\mathbf{n}$ 为切平面的法向。

参数曲面的切平面与法向

设曲面 $S$ 有参数表示 $\mathbf{r} = \pmb{r}(u, v), (u, v) \in D$——平面区域，写成分量形式 $x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)$，任取 $(x_0, y_0) \in D$，对应 $P = (x_0, y_0, z_0) \in S$，其中 $x_0 = x(u_0, v_0), y_0 = y(u_0, v_0), z_0 = z(u_0, v_0)$。

$S$ 上 $u-$ 曲线：$\mathbf{r} = \pmb{r}(u, v_0)$，其切向 $D_u \pmb{r}(u, v_0)$。

$S$ 上 $v-$ 曲线：$\mathbf{r} = \pmb{r}(u_0, v)$，其切向 $D_v \pmb{r}(u_0, v)$。

都落在 $S$ 切平面内。

所以 $S$ 在 $P$ 点切平面的法向量 $\mathbf{n} \perp D_u \pmb{r}(u_0, v_0), D_v \pmb{r}(u_0, v_0)$。

综上：
$$
\mathbf{n} /\!/ D_u \pmb{r}(u_0, v_0) \times D_v \pmb{r}(u_0, v_0)
$$
（$3$ 维欧式空间向量积）

进一步假设：
$$
D_u \pmb{r}(u_0, v_0) \times D_v \pmb{r}(u_0, v_0) \not = \mathbf{0}
$$
（两向量不共线）

则可取 $S$ 在 $P$ 点法向 $：\mathbf{n} = D_u \pmb{r}(u_0, v_0) \times D_v \pmb{r}(u_0, v_0)$。

得到切平面方程（向量内积形式）：
$$
\left\langle D_u \pmb{r}(u_0, v_0) \times D_v \pmb{r}(u_0, v_0), \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right\rangle = 0
$$
上式为 $3$ 向量混合积，利用行列式表示即得切平面方程：
$$
\begin{vmatrix}
x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\
D_u x(u_0, v_0) & D_u y(u_0, v_0) & D_u z(u_0, v_0) \\
D_v x(u_0, v_0) & D_v y(u_0, v_0) & D_v z(u_0, v_0)
\end{vmatrix}
= 0
$$
向量积相关略。

记 $D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} = (A, B, C)$，其中：
$$
A =
\begin{vmatrix}
D_u y & D_u z \\
D_v y & D_v z
\end{vmatrix},
B =
\begin{vmatrix}
D_u z & D_u x \\
D_v z & D_v x
\end{vmatrix},
C =
\begin{vmatrix}
D_u x & D_u y \\
D_v x & D_v y
\end{vmatrix}
$$
则范数（长度）为：
$$
\| D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} \| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}
$$
记号：曲面第一基本量。
$$
E := \left\langle D_u \pmb{r}, D_u \pmb{r} \right\rangle, F := \left\langle D_u \pmb{r}, D_v \pmb{r} \right\rangle, G := \left\langle D_v \pmb{r}, D_v \pmb{r} \right\rangle
$$
则有：
$$
\| D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} \| = \sqrt{EG - F^2} \\
(\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \|^2 = \| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 - \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle^2)
$$

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