
微积分笔记(45)——多重积分(1)
多重积分
平面矩形区域上的二重积分
曲顶柱体的体积
设 D⊆R2 是一个有界区域,f:D→R,f≥0:
Ω={(x,y,z)|(x,y)∈D,0≤z≤f(x,y)}
称为 R3 中的曲顶柱体,其体积 V=?
问题:σ 如何定义?
方法:分割为小柱体得到近似体积,分割加细,精度提高。
- 有限分割:D=k⋃i=1Di,记 σ(Di) 为 Di 的面积,i=1,2,⋯,k。
- 叠加得曲顶柱体的近似体积:V≈∑if(ξi)σ(Di)。
- 分割无限加密,误差消失:V=lim∑if(ξi)σ(Di)。
二重积分概念
令 D=[a,b]×[c,d],f:D→R(不必非负):
- 将矩形 D 有限分割:T=πx×πy:
πx:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b宽度记为 ‖πx‖。 πy:c=y0<y1<y2<⋯<ym=d宽度记为 ‖πy‖。将 D 分割为 k=nm 个小矩形,任意编号之后得到: D=k⋃i=1Di 构造和式:
k∑i=1f(ξi)σ(Di),ξi∈Di,i=1,2,⋯,k定义 f 在 D 上的二重积分:
∬Df(x,y)dσ:=lim‖T‖→0k∑i=1f(ξi)σ(Di)
如果极限存在的话。其中 ‖T‖=‖πx‖+‖πy‖ 称为分割 T 的“直径”。
极限的含义:
存在 A∈R 使得 ∀ε>0,∃δ>0,对于任意如上的矩形分割 T,只要分割直径 ‖T‖<δ,都有: |k∑i=1f(ξi)σ(Di)−A|<ε
∬Df(x,y)dσ=A
或:
∫Dfdσ=A
即 f 在 D 上的二重积分。
注:如果已知二重积分存在,根据矩形分割的任意性,可以选最方便的分割(比如均匀分割)来计算二重积分值 A。
回忆:若区间均匀分割,则 ‖πx‖=b–an,‖πy‖=d–cm。
二重积分的性质
线性性质:设 f,g∈R(D),α,β∈R,则 αf+βg∈R(D),且:
∫D(αf+βg)dσ=α∫Dfdσ+β∫Dgdσ
证明略。
保号性质:设 f∈R(D) 且 f≥0,则:
∫Dfdσ≥0
证明略。
推论:
- (保序)设 f,g∈R(D) 且 f≥g,则:
∫Dfdσ≥∫Dgdσ 设 f,|f|∈R(D),则:
|∫Dfdσ|≤∫D|f|dσ设 f∈R(D) 且 m≤f(x,y)≤M,则:
mσ(D)≤∫Dfdσ≤Mσ(D)
有界性质:若 f∈R(D) 则 f 在 D 上有界(与一维证明类似)。
二重积分的可积性
Riemann 可积性分析(Riemann 和的极限)
固定 D=[a,b]×[c,d],f:D→R 有界。
Riemann 和记号:令 T 是前面引入的 D 的矩形分割,记:
S(T,ξ)=∑if(ξi)σ(Di)
其中 ξ={ξi} 表示关于分割 T 的小矩形组中任取的一组点集。
Darboux 和记号:令 T 同上,定义上-下和:
¯S(T)=∑iMiσ(Di),S_(T)=∑imiσ(Di)
其中:
Mi=supf(Di),mi=inff(Di),i=1,2,⋯,k
引理 1:
S_(T)≤S(T,ξ)≤¯S(T)
考虑不同分割得到的上下和,可得:
引理 2:设 T′ 为分割 T 的加细,则:
S_≤S_(T′)≤¯S(T′)≤¯S(T)
这说明随着分割加细,下和越来越大,上和越来越小。
引理 3:设 T1 和 T2 是 D 的任意两个矩形分割,则:
S_(T1)≤¯S(T2)
这说明任意分割得到的下和不超过任意分割得到的上和。
综上,上下和都是有界的,因此都有上下确界。
Darboux 上下积分
定义:
I_:=supTS_(T),¯I:=infT¯S(T)
分别称为 f 在 D 上的下积分与上积分。
由引理 3 可得:
引理 4:设 T1 和 T2 是 D 的任意两个矩形分割,则:
S_(T1)≤I_≤¯I≤¯S(T2)
反证即可。
Darboux 定理
I_=¯I
当且仅当 ∀ε>0,∃ 分割 T,使得 0≤¯S(T)–S_(T)<ε。证明:类似引理 4 证明,∀ε>0,存在分割 T1 与 T2 使得:
I_–ε2<S_(T1)≤¯S(T2)<¯I+ε2
Riemann 定理
f∈R(D) 的充分必要条件:∀ε>0,∃δ>0,对于任意分割 T,只要满足 ‖T‖<δ,则 0≤¯S(T)−S_(T)<ε。必要性:利用引理 1,留作课后练习。充分性:首先 Darboux 定理导出: I_=¯I=A
Riemann-Darboux 定理
f∈R(D) 的充分必要条件:
I_=¯I
这时:
∫Dfdσ=I_=¯I
只证明必要性(充分性太繁):记:
A=∫Dfdσ
∀ε>0,∃δ>0,任取分割 T 满足 ‖T‖<δ,则 |S(T,ξ)−A|<ε′=ε4。 ∴A−ε′<S(T,ξ)<A+ε′
二重积分:可积函数类
连续函数都是可积函数
定理 1:C(D)⊆R(D)。
证明:回忆 D 为平面列紧集,连续函数在 D 上一致连续。
令 f∈C(D),则 ∀ε>0,∃δ>0,∀ξ1,ξ2∈D,‖ξ1–ξ2‖<δ: |f(ξ1)−f(ξ2)|<ε
2 维零测集
E⊆R2 满足以下条件:∀ε>0,存在一列闭矩形 {Di}∞i=1,使得 E⊆∞⋃i=1Di 并且 ∞∑i=1σ(Di)<ε,则称 E 为 2 维零测集。零面积集:
E⊆R2 满足以下条件:∀ε>0,存在有限个闭矩形 {Di}mi=1,使得 E⊆m⋃i=1Di 并且 ∞∑i=1σ(Di)<ε。注:如果 E 是 2 维零测集/零面积集,则由“面积公理”:
σ(E)≤∑iσ(Di)<ε,∀ε>0
所以也记 σ(E)=0——无论 E 是 2 维零测集还是零面积集。
推论:零面积集是 2 维零测集(反之不必成立)。
比如 D 中“有理点”全体构成二维零测集,但非零面积集。
2 维零测集:
- 至多可数点集;
- 2 维零测集的子集;
- 至多可数个 2 维零测集的并集。
零面积集:
- 有限点集;
- 零面积集的子集;
- 有限多个零面积集的并集。
除此之外:
- 平面上任意有限长直线段是零面积集;
- 平面上任意有限长折线是零面积集;
- 平面上任意有限长光滑曲线是 2 维零测集。
间断点集
设 f:D→R:
Dis(f):={(x,y)∈D|f 在 (x,y) 点不连续}
称为 f 的间断点。
Lebesgue 定理
设 D=[a,b]×[c,d],f:D→R 有界,则 f 在 D 上 Riemann 可积当且仅当 f 的间断点是 2 维零测集,也即 f∈R(D)⇔σ(Dis(f))=0。
证明略。
推论:
- 若 f 有界且间断点是零面积集,则 f 是 Riemann 可积的。
记 D0={(x,y)∈D|f(x,y)≠0}。
设 f 有界且 D0 是零面积集,则 f 可积,且:
∫Dfdσ=0
证明:只须注意 Dis(f)⊆D0(f)∪∂D 即可。◻设 f,g 都在 D 上有界且仅在零面积集上不相等,若 f∈R(D),则必有 g∈R(D),且:
∫Dfdσ=∫Dgdσ
更多实例:
- 若 f∈R(D),则 |f|∈R(D);
- 若 f,g∈R(D),则 fg∈R(D);
- 若 f,g∈R(D) 且 1/g 有界,则 f/g∈R(D)。
积分中值定理
设 f∈C(D),则 ∃(x0,y0)∈D 使得:
∫Dfdσ=f(x0,y0)σ(D)
因此:
f(x0,y0)=1σ(D)∫Df(x,y)dσ
称为 f 在 D 上的平均值。
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