微积分笔记（45）——多重积分（1）

wzf2000
2020年5月4日

微积分笔记（45）——多重积分（1）

多重积分

平面矩形区域上的二重积分

曲顶柱体的体积

设 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个有界区域，$f : D \to \mathbb{R}, f \ge 0$：
$$
\Omega = \{(x, y, z) | (x, y) \in D, 0 \le z \le f(x, y) \}
$$
称为 $\mathbb{R}^3$ 中的曲顶柱体，其体积 $V = $？

问题：$\sigma$ 如何定义？

方法：分割为小柱体得到近似体积，分割加细，精度提高。

1. 有限分割：$D = \bigcup\limits_{i = 1}^k D_i$，记 $\sigma(D_i)$ 为 $D_i$ 的面积，$i = 1, 2, \cdots, k$。
2. 叠加得曲顶柱体的近似体积：$V \approx \sum\limits_{i} f(\xi_i) \sigma(D_i)$。
3. 分割无限加密，误差消失：$V = \lim \sum\limits_{i} f(\xi_i) \sigma(D_i)$。

二重积分概念

令 $D = [a, b] \times [c, d], f : D \to \mathbb{R}$（不必非负）：

1. 将矩形 $D$ 有限分割：$T = \pi_x \times \pi_y$：
   $$
   \pi_x : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b $$ 宽度记为 $\| \pi_x \|$。 $$ \pi_y : c = y_0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_m = d $$ 宽度记为 $\| \pi_y \|$。将 $D$ 分割为 $k = nm$ 个小矩形，任意编号之后得到： $$ D = \bigcup_{i = 1}^k D_i $$

2. 构造和式：
   $$
   \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \sigma(D_i), \xi_i \in D_i, i = 1, 2, \cdots, k
   $$

3. 定义 $f$ 在 $D$ 上的二重积分：
   $$
   \iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma := \lim_{\|T\| \to 0} \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \sigma(D_i)
   $$
   如果极限存在的话。

   其中 $\| T \| = \| \pi_x \| + \| \pi_y \|$ 称为分割 $T$ 的“直径”。

极限的含义：

存在 $A \in \mathbb{R}$ 使得 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0$，对于任意如上的矩形分割 $T$，只要分割直径 $\| T \| < \delta$，都有： $$ \left | \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \sigma(D_i) - A \right | < \varepsilon $$ 其中 $\xi_i \in D_i$ 任取，$i = 1, 2, \cdots, k$。记号：$f \in R(D)$ 称为函数在 $D$ 上 Riemann 可积，记：
$$
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma = A
$$
或：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = A
$$
即 $f$ 在 $D$ 上的二重积分。

注：如果已知二重积分存在，根据矩形分割的任意性，可以选最方便的分割（比如均匀分割）来计算二重积分值 $A$。

回忆：若区间均匀分割，则 $\| \pi_x \| = \dfrac{b - a}{n}, \| \pi_y \| = \dfrac{d - c}{m}$。

二重积分的性质

线性性质：设 $f, g \in R(D), \alpha, \beta \in \mathbb{R}$，则 $\alpha f + \beta g \in R(D)$，且：
$$
\int_{D} (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d} \sigma = \alpha \int_D f \, \mathrm{d} \sigma + \beta \int_D g \, \mathrm{d} \sigma
$$
证明略。

保号性质：设 $f \in R(D)$ 且 $f \ge 0$，则：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma \ge 0
$$
证明略。

推论：

1. （保序）设 $f, g \in R(D)$ 且 $f \ge g$，则：
   $$
   \int_D f \, \mathrm{d} \sigma \ge \int_D g \, \mathrm{d} \sigma
   $$

2. 设 $f, |f| \in R(D)$，则：
   $$
   \left|\int_D f \, \mathrm{d} \sigma\right| \le \int_D |f| \, \mathrm{d} \sigma
   $$

3. 设 $f \in R(D)$ 且 $m \le f(x, y) \le M$，则：
   $$
   m \sigma(D) \le \int_D f \, \mathrm{d} \sigma \le M \sigma(D)
   $$

有界性质：若 $f \in R(D)$ 则 $f$ 在 $D$ 上有界（与一维证明类似）。

二重积分的可积性

Riemann 可积性分析（Riemann 和的极限）

固定 $D = [a, b] \times [c, d], f : D \to \mathbb{R}$ 有界。

Riemann 和记号：令 $T$ 是前面引入的 $D$ 的矩形分割，记：
$$
S(T, \xi) = \sum_i f(\xi_i) \sigma(D_i)
$$
其中 $\xi = \{\xi_i\}$ 表示关于分割 $T$ 的小矩形组中任取的一组点集。

Darboux 和记号：令 $T$ 同上，定义上-下和：
$$
\overline{S}(T) = \sum_i M_i \sigma(D_i), \underline{S}(T) = \sum_i m_i \sigma(D_i)
$$
其中：
$$
M_i = \sup f(D_i), m_i = \inf f(D_i), i = 1, 2, \cdots, k
$$
引理 1：
$$
\underline{S}(T) \le S(T, \xi) \le \overline{S}(T)
$$
考虑不同分割得到的上下和，可得：

引理 2：设 $T'$ 为分割 $T$ 的加细，则：
$$
\underline{S} \le \underline{S}(T') \le \overline{S}(T') \le \overline{S}(T)
$$
这说明随着分割加细，下和越来越大，上和越来越小。

引理 3：设 $T_1$ 和 $T_2$ 是 $D$ 的任意两个矩形分割，则：
$$
\underline{S} (T_1) \le \overline{S}(T_2)
$$
这说明任意分割得到的下和不超过任意分割得到的上和。

综上，上下和都是有界的，因此都有上下确界。

Darboux 上下积分

定义：
$$
\underline{I} := \sup_{T} \underline{S}(T), \overline{I} := \inf_{T} \overline{S}(T)
$$
分别称为 $f$ 在 $D$ 上的下积分与上积分。

由引理 3 可得：

引理 4：设 $T_1$ 和 $T_2$ 是 $D$ 的任意两个矩形分割，则：
$$
\underline{S}(T_1) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(T_2)
$$
反证即可。

Darboux 定理

$$
\underline{I} = \overline{I}
$$

当且仅当 $\forall \varepsilon > 0, \exists$ 分割 $T$，使得 $0 \le \overline{S}(T) - \underline{S}(T) < \varepsilon$。证明：类似引理 4 证明，$\forall \varepsilon > 0$，存在分割 $T_1$ 与 $T_2$ 使得：
$$
\underline{I} - \frac{\varepsilon}{2} < \underline{S}(T_1) \le \overline{S}(T_2) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2} $$ 令 $T$ 是 $T_1$ 与 $T_2$ 的联合加细，则由引理 3 下和更大，上和更小： $$ \underline{I} - \frac{\varepsilon}{2} < \underline{S}(T) \le \overline{S}(T) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2} $$ 必要性：上下积分相等即得。充分性：由引理 4,： $$ 0 \le \overline{I} - \underline{I} \le \overline{S}(T) - \underline{S}(T) < \varepsilon $$ 其中 $\varepsilon > 0$ 任意，因此 $\underline{I} = \overline{I}$。$\square$

Riemann 定理

$f \in R(D)$ 的充分必要条件：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，对于任意分割 $T$，只要满足 $\| T \| < \delta$，则 $0 \le \overline{S}(T) - \underline{S}(T) < \varepsilon$。必要性：利用引理 1，留作课后练习。充分性：首先 Darboux 定理导出： $$ \underline{I} = \overline{I} = A $$ 其次结合引理 1 和引理 4： $$ \underline{S}(T) \le A \le \overline{S}(T) $$ 便得： $$ |S(T, \xi) - A| \le \overline{S}(T) - \underline{S}(T) < \varepsilon $$ 根据 Riemann 可积的定义 $f \in R(D)$ 且： $$ \int_D f \, \mathrm{d} \sigma = A \ \ \square $$

Riemann-Darboux 定理

$f \in R(D)$ 的充分必要条件：
$$
\underline{I} = \overline{I}
$$
这时：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \underline{I} = \overline{I}
$$
只证明必要性（充分性太繁）：记：
$$
A = \int_D f \, \mathrm{d} \sigma
$$
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，任取分割 $T$ 满足 $\| T \| < \delta$，则 $|S(T, \xi) - A| < \varepsilon' = \frac{\varepsilon}{4}$。 $$ \therefore A - \varepsilon' < S(T, \xi) < A + \varepsilon' $$ 由 $\xi_i$ 在分割 $T$ 之下选取的任意性： $$ A - \varepsilon' \le \underline{S}(T) \le \overline{S}(T) \le A + \varepsilon' $$ 因此： $$ 0 \le \overline{S}(T) - \underline{S}(T) \le 2 \varepsilon' < \varepsilon $$ 据此可应用 Darboux 定理得： $$ \underline{I} = \overline{I} \ \ \ \square $$

二重积分：可积函数类

连续函数都是可积函数

定理 1：$C(D) \subseteq R(D)$。

证明：回忆 $D$ 为平面列紧集，连续函数在 $D$ 上一致连续。

令 $f \in C(D)$，则 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \xi_1, \xi_2 \in D, \| \xi_1 - \xi_2 \| < \delta$： $$ |f(\xi_1) - f(\xi_2)| < \varepsilon $$ 取矩形分割 $T$ 如前，满足 $\| T \| < \delta$，则每个 $D_i$ 的直径都小于 $\delta$。因此 $\forall \xi_1, \xi_2 \in D_i, | f(\xi_1) - f(\xi_2)| < \varepsilon$。由此导出： $$ 0 \le M_i - m_i < \varepsilon, i = 1, 2, \cdots, k \\ \therefore \overline{S}(T) - \underline{S}(T) = \sum_i (M_i - m_i)\sigma(D_i) <\varepsilon \sum_{i} \sigma(D_i) = \varepsilon \sigma(D) $$ 应用 Riemann 定理得 $f \in R(D)$。$\square$

$2$ 维零测集

$E \subseteq \mathbb{R}^2$ 满足以下条件：$\forall \varepsilon > 0$，存在一列闭矩形 $\{D_i\}_{i = 1}^\infty$，使得 $E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^\infty D_i$ 并且 $\sum\limits_{i = 1}^\infty \sigma(D_i) < \varepsilon$，则称 $E$ 为 $2$ 维零测集。零面积集：

$E \subseteq \mathbb{R}^2$ 满足以下条件：$\forall \varepsilon > 0$，存在有限个闭矩形 $\{D_i\}_{i = 1}^m$，使得 $E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^m D_i$ 并且 $\sum\limits_{i = 1}^\infty \sigma(D_i) < \varepsilon$。注：如果 $E$ 是 $2$ 维零测集/零面积集，则由“面积公理”：
$$
\sigma(E) \le \sum_i \sigma(D_i) < \varepsilon, \forall \varepsilon > 0
$$
所以也记 $\sigma(E) = 0$——无论 $E$ 是 $2$ 维零测集还是零面积集。

推论：零面积集是 $2$ 维零测集（反之不必成立）。

比如 $D$ 中“有理点”全体构成二维零测集，但非零面积集。

$2$ 维零测集：

1. 至多可数点集；
2. $2$ 维零测集的子集；
3. 至多可数个 $2$ 维零测集的并集。

零面积集：

1. 有限点集；
2. 零面积集的子集；
3. 有限多个零面积集的并集。

除此之外：

1. 平面上任意有限长直线段是零面积集；
2. 平面上任意有限长折线是零面积集；
3. 平面上任意有限长光滑曲线是 $2$ 维零测集。

间断点集

设 $f : D \to \mathbb{R}$：
$$
D_{is}(f) := \{(x, y) \in D | f \text{ 在 } (x, y) \text{ 点不连续}\}
$$
称为 $f$ 的间断点。

Lebesgue 定理

设 $D = [a, b] \times [c, d], f : D \to \mathbb{R}$ 有界，则 $f$ 在 $D$ 上 Riemann 可积当且仅当 $f$ 的间断点是 $2$ 维零测集，也即 $f \in R(D) \Leftrightarrow \sigma(D_{is}(f)) = 0$。

证明略。

推论：

1. 若 $f$ 有界且间断点是零面积集，则 $f$ 是 Riemann 可积的。

2. 记 $D_0 = \{(x, y) \in D | f(x, y) \not = 0\}$。

   设 $f$ 有界且 $D_0$ 是零面积集，则 $f$ 可积，且：
   $$
   \int_D f \, \mathrm{d} \sigma = 0
   $$
   证明：只须注意 $D_{is} (f) \subseteq D_0(f) \cup \partial D$ 即可。$\square$

3. 设 $f, g$ 都在 $D$ 上有界且仅在零面积集上不相等，若 $f \in R(D)$，则必有 $g \in R(D)$，且：
   $$
   \int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_D g \, \mathrm{d} \sigma
   $$

更多实例：

1. 若 $f \in R(D)$，则 $|f| \in R(D)$；
2. 若 $f, g \in R(D)$，则 $fg \in R(D)$；
3. 若 $f, g \in R(D)$ 且 $1 / g$ 有界，则 $f / g \in R(D)$。

积分中值定理

设 $f \in C(D)$，则 $\exists (x_0, y_0) \in D$ 使得：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = f(x_0, y_0) \sigma(D)
$$
因此：
$$
f(x_0, y_0) = \frac{1}{\sigma(D)} \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma
$$
称为 $f$ 在 $D$ 上的平均值。

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