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微积分笔记(45)——多重积分(1)

微积分笔记(45)——多重积分(1)

多重积分

平面矩形区域上的二重积分

曲顶柱体的体积

DR2 是一个有界区域,f:DR,f0
Ω={(x,y,z)|(x,y)D,0zf(x,y)}


称为 R3 中的曲顶柱体,其体积 V=

问题σ 如何定义?

方法:分割为小柱体得到近似体积,分割加细,精度提高。

  1. 有限分割:D=ki=1Di,记 σ(Di)Di 的面积,i=1,2,,k
  2. 叠加得曲顶柱体的近似体积:Vif(ξi)σ(Di)
  3. 分割无限加密,误差消失:V=limif(ξi)σ(Di)

二重积分概念

D=[a,b]×[c,d],f:DR(不必非负):

  1. 将矩形 D 有限分割:T=πx×πy
    πx:a=x0<x1<x2<<xn=b
    宽度记为 πxπy:c=y0<y1<y2<<ym=d
    宽度记为 πy。将 D 分割为 k=nm 个小矩形,任意编号之后得到: D=ki=1Di

  2. 构造和式:
    ki=1f(ξi)σ(Di),ξiDi,i=1,2,,k

  3. 定义 fD 上的二重积分:
    Df(x,y)dσ:=limT0ki=1f(ξi)σ(Di)


    如果极限存在的话。

    其中 T=πx+πy 称为分割 T 的“直径”。

极限的含义

存在 AR 使得 ε>0,δ>0,对于任意如上的矩形分割 T,只要分割直径 T<δ,都有: |ki=1f(ξi)σ(Di)A|<ε

其中 ξiDi 任取,i=1,2,,k记号fR(D) 称为函数在 D 上 Riemann 可积,记:
Df(x,y)dσ=A

或:
Dfdσ=A

fD 上的二重积分。

:如果已知二重积分存在,根据矩形分割的任意性,可以选最方便的分割(比如均匀分割)来计算二重积分值 A

回忆:若区间均匀分割,则 πx=ban,πy=dcm

二重积分的性质

线性性质:设 f,gR(D),α,βR,则 αf+βgR(D),且:
D(αf+βg)dσ=αDfdσ+βDgdσ


证明略。

保号性质:设 fR(D)f0,则:
Dfdσ0


证明略。

推论

  1. (保序)设 f,gR(D)fg,则:
    DfdσDgdσ

  2. f,|f|R(D),则:
    |Dfdσ|D|f|dσ

  3. fR(D)mf(x,y)M,则:
    mσ(D)DfdσMσ(D)

有界性质:若 fR(D)fD 上有界(与一维证明类似)。

二重积分的可积性

Riemann 可积性分析(Riemann 和的极限)

固定 D=[a,b]×[c,d],f:DR 有界。

Riemann 和记号:令 T 是前面引入的 D 的矩形分割,记:
S(T,ξ)=if(ξi)σ(Di)


其中 ξ={ξi} 表示关于分割 T 的小矩形组中任取的一组点集。

Darboux 和记号:令 T 同上,定义上-下和:
¯S(T)=iMiσ(Di),S_(T)=imiσ(Di)


其中:
Mi=supf(Di),mi=inff(Di),i=1,2,,k

引理 1
S_(T)S(T,ξ)¯S(T)

考虑不同分割得到的上下和,可得:

引理 2:设 T 为分割 T 的加细,则:
S_S_(T)¯S(T)¯S(T)


这说明随着分割加细,下和越来越大,上和越来越小。

引理 3:设 T1T2D 的任意两个矩形分割,则:
S_(T1)¯S(T2)


这说明任意分割得到的下和不超过任意分割得到的上和。

综上,上下和都是有界的,因此都有上下确界。

Darboux 上下积分

定义:
I_:=supTS_(T),¯I:=infT¯S(T)


分别称为 fD 上的下积分与上积分。

由引理 3 可得:

引理 4:设 T1T2D 的任意两个矩形分割,则:
S_(T1)I_¯I¯S(T2)


反证即可。

Darboux 定理

I_=¯I

当且仅当 ε>0, 分割 T,使得 0¯S(T)S_(T)<ε证明:类似引理 4 证明,ε>0,存在分割 T1T2 使得:
I_ε2<S_(T1)¯S(T2)<¯I+ε2

TT1T2 的联合加细,则由引理 3 下和更大,上和更小: I_ε2<S_(T)¯S(T)<¯I+ε2
必要性:上下积分相等即得。充分性:由引理 4,: 0¯II_¯S(T)S_(T)<ε
其中 ε>0 任意,因此 I_=¯I

Riemann 定理

fR(D) 的充分必要条件:ε>0,δ>0,对于任意分割 T,只要满足 T<δ,则 0¯S(T)S_(T)<ε。必要性:利用引理 1,留作课后练习。充分性:首先 Darboux 定理导出: I_=¯I=A

其次结合引理 1 和引理 4: S_(T)A¯S(T)
便得: |S(T,ξ)A|¯S(T)S_(T)<ε
根据 Riemann 可积的定义 fR(D) 且: Dfdσ=A  

Riemann-Darboux 定理

fR(D) 的充分必要条件:
I_=¯I


这时:
Dfdσ=I_=¯I

只证明必要性(充分性太繁):记:
A=Dfdσ

ε>0,δ>0,任取分割 T 满足 T<δ,则 |S(T,ξ)A|<ε=ε4Aε<S(T,ξ)<A+ε
ξi 在分割 T 之下选取的任意性: AεS_(T)¯S(T)A+ε
因此: 0¯S(T)S_(T)2ε<ε
据此可应用 Darboux 定理得: I_=¯I   

二重积分:可积函数类

连续函数都是可积函数

定理 1C(D)R(D)

证明:回忆 D 为平面列紧集,连续函数在 D 上一致连续。

fC(D),则 ε>0,δ>0,ξ1,ξ2D,ξ1ξ2<δ|f(ξ1)f(ξ2)|<ε

取矩形分割 T 如前,满足 T<δ,则每个 Di 的直径都小于 δ。因此 ξ1,ξ2Di,|f(ξ1)f(ξ2)|<ε。由此导出: 0Mimi<ε,i=1,2,,k¯S(T)S_(T)=i(Mimi)σ(Di)<εiσ(Di)=εσ(D)
应用 Riemann 定理得 fR(D)

2 维零测集

ER2 满足以下条件:ε>0,存在一列闭矩形 {Di}i=1,使得 Ei=1Di 并且 i=1σ(Di)<ε,则称 E2 维零测集。零面积集

ER2 满足以下条件:ε>0,存在有限个闭矩形 {Di}mi=1,使得 Emi=1Di 并且 i=1σ(Di)<ε:如果 E2 维零测集/零面积集,则由“面积公理”:
σ(E)iσ(Di)<ε,ε>0


所以也记 σ(E)=0——无论 E2 维零测集还是零面积集。

推论:零面积集是 2 维零测集(反之不必成立)。

比如 D 中“有理点”全体构成二维零测集,但非零面积集。

2 维零测集:

  1. 至多可数点集;
  2. 2 维零测集的子集;
  3. 至多可数个 2 维零测集的并集。

零面积集:

  1. 有限点集;
  2. 零面积集的子集;
  3. 有限多个零面积集的并集。

除此之外:

  1. 平面上任意有限长直线段是零面积集;
  2. 平面上任意有限长折线是零面积集;
  3. 平面上任意有限长光滑曲线是 2 维零测集。

间断点集

f:DR
Dis(f):={(x,y)D|f 在 (x,y) 点不连续}


称为 f 的间断点。

Lebesgue 定理

D=[a,b]×[c,d],f:DR 有界,则 fD 上 Riemann 可积当且仅当 f 的间断点是 2 维零测集,也即 fR(D)σ(Dis(f))=0

证明略。

推论

  1. f 有界且间断点是零面积集,则 f 是 Riemann 可积的。

  2. D0={(x,y)D|f(x,y)0}

    f 有界且 D0 是零面积集,则 f 可积,且:
    Dfdσ=0


    证明:只须注意 Dis(f)D0(f)D 即可。

  3. f,g 都在 D 上有界且仅在零面积集上不相等,若 fR(D),则必有 gR(D),且:
    Dfdσ=Dgdσ

更多实例

  1. fR(D),则 |f|R(D)
  2. f,gR(D),则 fgR(D)
  3. f,gR(D)1/g 有界,则 f/gR(D)

积分中值定理

fC(D),则 (x0,y0)D 使得:
Dfdσ=f(x0,y0)σ(D)


因此:
f(x0,y0)=1σ(D)Df(x,y)dσ

称为 fD 上的平均值。

 

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