微积分笔记（46）——多重积分（2）

微积分笔记（46）——多重积分（2）

多重积分

矩形区域上积分的计算

问题

给定 $f \in R(D), D = [a, b] \times [c, d]$：

$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma =?$$

计算方法

1. 根据定义，可以取 $D$ 的均匀分割，选 $f$ 的特别值点，但仍需要做大量运算——工作量很大，适合计算机程序化完成，数值计算/近似。
2. 利用几何意义——偶尔为之（实际上反过来情况更多）。
3. 化为累次积分（$2$ 次一重积分）——利用下面 Fubini 定理。

累次积分方法

令 $D = [a, b] \times [c, d], f \in C(D)$，记 $I = \displaystyle \int_D f \, \mathrm{d} \sigma$：

1. 固定 $x \in [a, b]$，作为 $y$ 的函数 $f(x, y) \in C[c, d]$，令 $u(x) = \displaystyle \int_c^d f(x, y) \, \mathrm{d} y$，易证 $u \in C[a, b]$，记 $A = \displaystyle \int_a^b u(x) \, \mathrm{d} x$。
2. 同理有 $v(y) = \displaystyle \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x \in C[c, d]$，记 $B = \displaystyle \int_c^d v(y) \, \mathrm{d} y$。

Fubini 定理

设 $f \in C(D)$，则 $I = A = B$：

$$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_c^d f(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_c^d \, \mathrm{d} y \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
其中规定积分记号：
$$\int_a^b \, \mathrm{d} x \int_c^d f(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y) \, \mathrm{d} y \right) \, \mathrm{d} x$$
证明：取矩形的均匀分割：$T = \pi_x \times \pi_y$：
$$\pi_x :x_i = a + i \Delta x, i = 0, 1, 2, \cdots, n, \Delta x = \frac{b – a}{n} = \| \pi_x \| \\ \pi_y :y_j = c + j \Delta y, j = 0, 1, 2, \cdots, m, \Delta y = \frac{d – c}{m} = \| \pi_y \|$$
得到 $D$ 的 $nm$ 个子矩形：
$$D_{ij} = [x_{i – 1}, x_i] \times [y_{j – 1}, y_j], i = 1, 2, \cdots, n, j = 1, 2, \cdots, m$$
每个矩形面积为 $\sigma(D_{ij}) = \Delta x \Delta y$，进一步取 $(x_i, y_j) \in D_{ij}$，得 Riemann 和式：
$$\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m f(x_i, y_j) \Delta x \Delta y \to I = \int_D f \, \mathrm{d} \sigma (n, m \to \infty)$$
下面利用：
$$\sum_{i = 1}^m f(x_i, y_j) \Delta y \to \int_c^d f(x_i, y) \, \mathrm{d} y \\ \sum_{i = 1}^n \varphi(x_i) \Delta x \to \int_a^b u(x) \, \mathrm{d} x$$
已知 $f \in C(D), \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，只要 $\| T \| = \Delta x + \Delta y < \delta$： $$I - \varepsilon < \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m f(x_i, y_j) \Delta y \Delta x < I + \varepsilon \tag{1}$$ 注意其中： $$\lim_{m \to \infty} \sum_{j = 1}^m f(x_i, y_j) \Delta y = \int_c^d f(x_i, y) \, \mathrm{d} y = u(x_i), i = 1, 2, \cdots, n$$ 在 $(1)$ 中关于 $m$ 取极限，由极限保序性导出： $$I - \varepsilon \le \sum_{i = 1}^n u(x_i) \Delta x \le I + \varepsilon$$ 再令 $n \to \infty$ 得： $$I - \varepsilon \le A \le I + \varepsilon$$ 从而 $I = A$，同理可得 $I = B$。$\square$注：条件 $f \in C(D)$ 可以减弱到 $f \in R(D)$，但需要附加关于单变量的可积性条件，证明也要复杂不少。

推论：设 $f(x, y) = f_1(x)f_2(y)$，其中 $f_1 \in C[a, b], f_2 \in C[c, d]$，令 $d = [a, b] \times [c, d]$，则 $f \in C(D)$ 且：

$$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \left[\int_a^b f_1(x) \, \mathrm{d} x \right] \left[\int_c^d f_2(y) \, \mathrm{d} y \right]$$
注：分离变量形式函数的二重积分等于单变量函数积分的乘积。

一般有界区域上的二重积分

问题

对于有界区域 $D \subseteq \mathbb{R}^2, f : D \to \mathbb{R}$，如何定义积分？

方法

引入延拓函数：

$$f_D(x, y) := \begin{cases} f(x, y) & f(x, y) \in D \\ 0 & f(x, y) \not \in D \end{cases}$$
以及 $D_M = [-M, M] \times [-M, M] \supseteq D$。

如果 $f_D \in R(D_M)$，则称 $f \in R(D)$，定义在 $f$ 在 $D$ 上的积分值：

$$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma := \int_{D_M} f_D \mathrm{d} \sigma$$
注：

1. 函数 $f$ 可积与否以及积分值大小都与 $M$ 选取无关。
2. 有界区域 $D$ 也可以换成一般平面有界点集。

二重积分的性质

线性性质、保序性质、有界性质容易得到。

区域可加性：设 $D_1, D_2 \subseteq \mathbb{R}^2$ 有界，$D_1 \cap D_2$ 是零面积集，则 $f \in R(D_1 \cup D_2)$ 当且仅当 $f \in R(D_1)$ 且 $f \in R(D_2)$，这时成立：

$$\int_{D_1 \cup D_2} f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_1} f \, \mathrm{d} \sigma + \int_{D_2} f \, \mathrm{d} \sigma$$
证明：取 $D_M \supseteq D_1 \cup D_2$，则 $f \in R(D_1 \cup D_2) \Leftrightarrow f_{D_1 \cup D_2} \in R(D_M)$。

比较 $f_{D_1 \cup D_2}$ 与 $f_{D_1} + f_{D_2}$ 仅在零面积集 $D_1 \cap D_2$ 上不相等，所以：

$$\int_{D_M} f_{D_1 \cup D_2} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} (f_{D_1} + f_{D_2}) \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} f_{D_1} \, \mathrm{d} \sigma + \int_{D_M} f_{D_2} \, \mathrm{d} \sigma$$
依照积分值的定义，这就是要证的积分等式。$\square$

定理

设 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 有界且 $\partial D$ 是零面积集，则 $C(D) \subseteq R(D)$。

证明：设 $f \in C(D)$，则 $D_{is}(f_D) \subseteq \partial D$ 是零面积集，由 Lebesgue 定理，$f(D) \in R(D_M)$，因此 $f \in R(D)$。$\square$

注：有界区域 $D$ 的边界若是分段连续曲线，就是零面积集。

计算方法

设 $D = \{(x, y) | y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b\}$，其中 $y_1, y_2 \in C[a, b]$ 且 $y_1 \le y_2$，令 $f \in C(D)$，则：

$$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} f_D \, \mathrm{d} \sigma = \int_{-M}^M \, \mathrm{d} x \int_{-M}^M f_D(x, y) \, \mathrm{d} y$$
注意 $-M < a < b < M$，而在 $x < a$ 或 $x > b$ 时 $f_D(x, y) = 0$。

此外固定 $x \in [a, b], -M < y_1(x) \le y_2(x) < M$，而 $y < y_1(x)$ 或 $y > y_2(x)$ 时 $f_D(x, y) = 0$，代入上面积分式：

$$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f_D(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y$$

1. 若 $D = \{(x, y) | y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b\}$，其中 $y_1, y_2 \in C[a, b]$ 且 $y_1 \le y_2$，则：
   

   $$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y$$
   注意：上式中 $\displaystyle \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y$ 是 $x$ 的函数，可以继续对 $x$ 积分，若写成 $\displaystyle \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 没有意义——积分限依赖于积分变量？

2. 若 $D = \{(x, y) | x_1(y) \le x \le x_2(y), c \le y \le d\}$，其中 $x_1, x_2 \in C[c, d]$ 且 $x_1 \le x_2$，则：
   

   $$\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_c^d \, \mathrm{d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$

 微积分 笔记