抽象代数笔记——域论
域的特征
定义
对于域 F，考虑映射 φ:Z→F,n↦n⋅1 为环同态，那么 ker(φ) 为 Z 的理想，结合 F 是域的条件，故 ker(φ)=(0) 或 pZ，其中 p 为素数．
当 ker(φ)=(0) 时，称域 F 的特征(characteristic)为 0．这可以诱导出 Q 到 F 的单同态．
当 ker(φ)=pZ 时，称域 F 的特征为 p．这可以诱导出 Fp=Z/pZ 到 F 的单同态．
将 Q 和所有 Fp 称为素域(prime fields)，任何一个域都包含唯一的一个子域使其同构于其中某个素域．
域的扩张
包含域 F 的任意一个域 E 都被称作 F 的一个扩域(extension field)或者扩张，此时我们将其简记作 E/F．每个这样的 E 都是一个 F 上的线性空间，线性空间的加法与数乘就是 E 作为域而已定义好的加法与乘法．线性空间的维数 dimF(E) 将被称作域扩张 E/F 的次数(degree)或是 E 在 F 上的次数，并被记作 [E:F]．
定义 一个域扩张的次数若是有限的，则称其为一个有限扩张(finite extension)．
显而易见的是，域扩张 E/F 是 1 次的，当且仅当 E=F．
定理 (次数公式) 设 L⊇E⊇F 为域扩张，那么 L/F 是有限扩张的充要条件为 L/E 与 E/F 同为有限扩张．若它们为有限扩张，则有如下的次数公式
[L:F]=[L:E][E:F]
子集生成的子环和子域
定义 设环 R 为环 R′ 的子环，S 为 R′ 的子集．R′ 中所有包含 R∪S 的子环之交称为 R 与 S 生成的 R′ 的子环，记作 R[S]．若 S={α1,⋯,αn}，我们也将其直接记作 R[α1,⋯,αn]．
事实上，子环 R[S] 是由 R′ 中如下形式的有限和构成：
∑ai1,⋯,inαi11⋯αinn,ai1,⋯,in∈R,αi∈S,ij∈N.
引理 设域 F 是整环 R 的一个子环．若 R 是 F 上的有限维线性空间，那么它一定是一个域．
推论 设 E/F 是一个有限扩张，R 是 E 的一个子环，且包含 F，则 R 必定也是一个域．
定义 设域 F 为域 E 的子域，S 为 E 的子集．E 中所有包含 F∪S 的子域之交称为 F 与 S 生成的 E 的子域，记作 F(S)．它是 F[S] 在 E 中的分式域．若 S={α1,⋯,αn}，我们也将其直接记作 F(α1,⋯,αn)，并且称其为一个有限生成的域扩张(finitely generated field extension)．
于是，环 F[α1,⋯,αn] 是 E 中所有可以写成这些 αi 的以 F 为系数的多项式的元素，而域 F(α1,⋯,αn) 是 E 中所有的可以表示成两个这种多项式比值的元素．
引理表明，若 F[S] 是 F 上的有限维线性空间，则 F(S) 自身就是一个域，从而 F(S)=F[S]．
若存在 α∈E 使得 E=F(α)，则称 E/F 为一个单扩张(simple extension)，而 α 将被称为这个单扩张的一个本原元素(primitive element)．
代数元和超越元
定义
设有域扩张 E/F，而 α∈E．于是我们有一个环同态
φ:F[x]→E,f(x)↦f(α).
这里会出现两个情形．
（1）映射 φ 的核为 (0)，于是对于每个 f∈F[x]，
f(α)=0⇒f(x)=0∈F[x].
在这种情形里，我们称 α 在 F 上是超越的(transcendental)．此时，同态
F[x]→F[α],x↦α
是一个环同构，并且它诱导出一个域的同构 F(x)=Quot(F[x])→F(α)．
（2）映射 φ 的核不是 (0)，于是存在非零的 g∈F[x] 使得 g(α)=0．在这种情况下，我们称 α 在 F 上是代数的(algebraic)．映射的核 {g∈F[x]:g(α)=0} 是 F[x] 中的主理想，它是由某个次数最低的满足 f(α) 的首一多项式 f 生成的．我们称这样的 f 为 α 在 F 上的最小多项式(minimal polynomial)．由 f 次数最小性可以推出该多项式是不可约的．
最小多项式 f 的次数将被称为代数元 α 在 F 上的次数．很明显 α∈E 在 F 上的次数为 1 的充要条件是 α∈F．
我们同时注意到映射 g(x)↦g(α) 诱导出环的同构 F[x]/(f)∼→F[α]．由于前者是一个域，因此后者也是一个域，从而我们有 F(α)=F[α]．
定理
- 若域 F 的某个扩域中的元素 α 在 F 上是代数的，那么域扩张的次数 [F(α):F] 等于 α 在 F 上的次数．
- 域 F 的某个扩域中的元素 α 是代数的当且仅当域扩张的次数 [F(α):F] 是有限的．
- 设域扩张 E/F 的次数为 n，而 α∈E．那么 α 在 F 上是代数的，且它在 F 上的次数整除 n．
- 设有域扩张 F⊆E⊆L．若元素 α∈L 在 F 上是代数的，那么它在 E 上也是代数的．进一步，若 α 在 F 上的次数为 d，那么它在 E 上的次数至多为 d．
推论 设域扩张 E/F 的次数为某个素数 p．若 α∈E∖F，则 α 在 F 上的次数为 p，并有 E=F(α)．
定义 对于域扩张 E/F，若 E 中所有元素都在 F 上是代数的，则我们称 E 在 F 上是代数的，称 E/F 为一个代数扩张．若 E/F 不是一个代数扩张，则它是一个超越扩张．此时，E 中至少存在一个 F 上的超越元．
定理 域扩张 E/F 是有限的，当且仅当 E 在 F 上可由有限个代数元生成．
推论 若域扩张 F(α1,⋯,αn)/F 是有限的，则 F(α1,⋯,αn)=F[α1,⋯,αn]．
推论
- 若域扩张 E/F 是代数的，而 R 为 E 的子环，且包含 F，那么 R 一定是一个域．
- 若域扩张 L/E 和 E/F 都是代数的，那么 L/F 也是代数的．
推论 由代数元生成的域扩张都是代数的．
定理 对于域扩张 K/F 而言，集合 E={g∈K:g 为 F 上的代数元} 是一个域．
定义 上述命题中的 E 被称作 F 在 K 中的代数闭包(algebraic closure)，将被记作 ¯FK．
一个复数若在 Q 上是一个代数元或者超越元，则我们将相应地称之为一个代数数或者超越数．Q 上的一个有限的域扩张被称为一个代数数域(algebraic number field)．
同态和同构的一些性质
定义 设 E 和 E′ 都是域 F 的扩张，那么一个 E 到 E′ 的映射 φ 被称为一个 F 同态(F-homomorphism)是指 φ 是一个环同态，且对任意的 c∈F 都有 φ(c)=c．特别地，当 φ 为同构时，φ 被称为 F 同构(F-isomorphism)，称 E 和 E′ 是 F 的等价扩张．若进一步地，若 E=E′，则称 φ 为 F 自同构(F-automorphism)．
由于域 E 与 E′ 之间的 F 同态总是一个 F 上的线性空间之间的单射，故若 E 与 E′ 在 F 上有相同的有限次数，那么每个这样的 F 同态都会是一个 F 同构．
定理 设 F(α) 是域 F 的一个单扩张，而 K 是 F 的另外一个扩域．
- 若 α 为 F 上的超越元．那么对于每个 F 同态 φ:F(α)→K，φ(α) 必定为 F 上的超越元，而映射 φ↦φ(α) 给出了一个一一对应
{F 同态 φ:F(α)→K}↔{K 中在 F 上的超越元}. 若 α 为 F 上的代数元，其最小多项式为 f(x)．那么对于每个 F 同态 φ:F(α)→K，φ(α)∈K 都是 f(x) 的一个根，而映射 φ↦φ(α) 给出了一个一一对应
{F 同态 φ:F(α)→K}↔{f 在 K 中的根}.
特别地，这样的 F 同态的个数与 f 在 K 中不同的根的个数（必定有限）一致．
上面的结果可以作进一步地推广．
定理 设 F(α) 是域 F 的一个单扩张，而环同态 φ0:F→K 将 F 映射到另外一个域 K 中．
- 若 α 为 F 上的超越元，那么映射 φ↦φ(α) 给出了一个一一对应
{同态 φ0 的延拓 φ:F(α)→K}↔{K 中在 φ0(F) 上的超越元}. 若 α 为 F 上的代数元，其最小多项式为 f(x)．那么映射 φ↦φ(α) 给出了一个一一对应
{同态 φ0 的延拓 φ:F(α)→K}↔{φ0(f) 在 K 中的根}.
特别地，这样的延拓的个数与 φ0(f) 在 K 中不同的根的个数（必定有限）一致．
推论 设 K/F 为一个域扩张，φ:K→˜K 为一个域同态，而 ˜F=φ(F)．
- 如果 f(x) 是 α∈K 在 F 上的最小多项式，则 ˜f=φ(f) 是 ˜α=φ(α)∈˜K 在 ˜F 上的最小多项式．
- 特别地，若 ˜K 是 F 的域扩张，而 φ|F=idF，则 α∈K 与 ˜α=φ(α)∈˜K 在 F 上有相同的最小多项式．
分裂域
引理 若 f 是域 F 上的一个非常值的多项式，那么存在域扩张 L/F，使得 f 在 L 上有零点．
给定域 F 上的一个多项式 f(x)，假定在某个域扩张 K/F 中，f(x) 可以被分解成一些一次因式的乘积：
f(x)=c(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn),αi∈K,c∈F∗,
那么我们称多项式 f(x) 在 K 上分裂(splits)．
定义 扩域 K/F 被称为多项式 f(x) 在 F 上的一个分裂域(splitting field)，是指 f(x)∈F[x]，且 f(x) 在 K 上分裂，但是在 K 的任何包含 F 的真子域上都不能分裂．
定理 设 F 是一个域，而 f(x) 是 F[x] 中的一个非常值的首一多项式．那么存在扩域 K/F 使得 f(x) 在 K 上分裂．特别地，f(x) 在 F 上的分裂域存在．
命题 设 f∈F[x] 是次数为 n∈N∗ 的多项式，而 E 是 f 在 F 上的一个分裂域．那么域扩张次数 [E:F] 必然整除 n!．
接下来，我们说明分裂域在域同构的意义下是唯一的．
引理 设 σ:F1→F2 是一个域同构．设 f1∈F1[x] 是一个不可约多项式，而 f2=σ(f1)∈F2[x]（这显然也是一个不可约多项式）．假定 fi 在 Fi 的某个扩域 Ei 中有根 αi,i=1,2．那么 σ 可以被唯一地扩充为域同构 F1(α1)→F2(α2)，使得 α1 被映射成为 α2．
定理 设 σ:F1→F2 是一个域同构．设 f1∈F1[x] 是一个多项式，而 f2=σ(f1)∈F2[x]．假定 Ei 是 fi 在 Fi 上的一个分裂域，i=1,2．那么 σ 可以被延拓为 E1 到 E2 的同构．并且 σ 的不同延拓的个数 nσ≤[E1:F1]，而且当且仅当 f1 中每一个不可约因子在 E1 中不同根的个数恰为此因子的次数时等号成立．
推论 设 F 是一个域，而 f(x) 是 F[x] 中的一个非常值多项式，则 f(x) 的任意两个分裂域 E,¯E 是 F 同构的．特别地，当 E 与 ¯E 都是 F 的同一扩域 K 的子域时，即 F⊆E⊆K，F⊆¯E⊆K，则 E=¯E．
推论 设 f(x)∈F[x] 的分裂域为 E，则 E 中的不同的 F 自同构的个数不超过 [E:F]，而且当且仅当 f(x) 的不可约因子在 E 内无重根时，此个数恰为 [E:F]．
推论 设 K 为域 F 的扩域，E 是 f(x)∈F[x] 的分裂域且 E⊆K，则对 K 的任意 F 自同构 σ 有 σ(E)=E．
正规扩张
定义 给定代数扩张 K/F，如果对任意的 α∈K，α 在 F 上的最小多项式均在 K 上分裂，则称 K/F 为一个正规扩张(normal extension)．
命题 一个有限扩张 E/F 是正规的，当且仅当它是 F 上一个多项式的分裂域．
给定一个有限扩张 E/F，不妨设 E=F(α1,⋯,αn)，并设 gi 是 αi 在 F 上的最小多项式，而 f=g1⋯gn．那么在 F 的任意的包含 E 的正规扩张上 f 必然会分裂．若 K 是 f 在 E 上的分裂域，那么 K 也是 f 在 F 上的分裂域，并且包含所有的 αi，从而它在 F 上是正规的，并且这个域包含于所有的包含 E 的正规扩张 ．因此，K/F 可视为包含域扩张 E/F 的最小正规扩张，它被称作域扩张 E/F 的正规闭包(normal closure)或者Galois闭包(Galois closure)．由分裂域的唯一性可知，这个闭包在 E 同构的意义下是唯一的．若我们找出所有的 F 上的在 E 存在至少一个根的不可约多项式，那么上面的Galois闭包也可以等价地被刻画成在 E 上添加了所有这些不可约多项式的根得到的域．
推论 给定有限的域扩张 F⊆E⊆K，若 K/F 是正规扩张，那么任意一个 F 同态 φ:E→K 都可以被延拓为 K 上的一个 F 自同构．
可分多项式
最大公因式本质上不会随域的扩张而改变．
定理 设 f 与 g 为 F[x] 中的多项式，而 K 是 F 的一个扩域．若 r(x) 是 f 与 g 在 F[x] 中的最大公因式，那么它将也是 f 与 g 在 K[x] 中的最大公因式．特别地，F[x] 中不同的首一不可约多项式在 F 的任何扩域中都不可能有公共的根．
由于重根次数并不依赖于分裂域的选择．设 F 是一个域，对于非常值多项式 f(x)∈F[x]，设 K 为 f(x) 在 F 上的分裂域，那么 f(x) 在 K[x] 中有分解
f(x)=c(x−α1)m1⋯(x−αt)mt.
若 mi>1，则 αi 将被称为 f 的一个重根(multiple root)，否则，我们称之为单根(simple root)．
定义 设 F 是一个域，f(x)∈F[x] 且
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0,
则称 F[x] 中多项式
f′(x)=nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯+a1
为 f(x) 的形式导数．
定理 设 F 是一个域，而多项式 f∈F[x] 的次数 deg(f)>0，那么 f 在任何分裂域中的根都是单根的充要条件是 f 和它的形式导数 f′ 互素．
定义 设 F 是一个域，若多项式 f(x)∈F[x] 的每个不可约因式在其分裂域中只有单根，则称 f(x) 为 F 上的可分多项式(separable)．
推论 域 F 上的不可约多项式是可分的当且仅当它的形式导数 f′≠0．特别地，在特征为 0 的任何域上，任意多项式都是可分的．
上述结果表明，特征为 0 的情形是简单的．特征为素数 p 的情形则要复杂一些．
定理 设域 F 的特征为素数 p．若 f 是 F 上的多项式，那么 f′=0 当且仅当存在 g∈f[x] 使得 f(x)=g(xp)．
定理 设域 F 的特征为素数 p．若 f(x)∈F[x] 是为不可分的不可约多项式，K 是 f(x) 在 F 上的分裂域，则在 K[x] 中 f(x) 有分解
f(x)=c(x−α1)pe(x−α2)pe⋯(x−αr)pe,
其中，当 i≠j 时，αi≠αj，e∈N∗，并且
h(x)=c(x−αpe1)(x−αpe2)⋯(x−αper)
是 F[x] 中可分的不可约多项式，并有 f(x)=h(xpe)．
r=deg(h)，即 f(x) 在其分裂域中不同根的个数，称为 f(x) 的约化次数(reduced degree)，而 e 被称为 f(x) 相应于 F 的幂指数(exponent)．
完备域
定义 设 F 是一个域．
- 若 char(F)=p>0，那么Frobenius自同态 x↦xp 是一个单同态．若它同时也是一个满同态，即若它也是 F 的自同构，我们将称 F 是一个完备域(perfect field)．故 F 是一个完全域的充要条件是 F 中的任何元素都是一个 p 次幂元．
- 若 char(F)=0，我们也约定 F 是一个完备域．
定理 有限域是完备域．
定理 完备域的代数扩张也是完备域．
可分扩张
定义 在域扩张 E/F 中，若代数元 α∈E 在 F 上的最小多项式是可分的，则也称 α 在 F 上是可分的(separable)．若 E 中任何元素在 F 上都是可分的，则我们称 E/F 是一个可分扩张(separable extension)．
定理 完备域上的任何代数扩张都是可分扩张．反过来，若域 F 上的任何代数扩张（甚至是任何有限扩张）都是可分扩张，则 F 一定是一个完备域．
推论 域 F 是完备域的充分必要条件是 F[x] 中每个多项式都是 F 上的可分多项式．
定理 域 F 上可分多项式 f(x) 的分裂域 K 是 F 的可分扩张．
推论 设 F(α1,⋯,αn) 是域 F 的代数扩张且 α1,⋯,αn 是 F 上的可分元素，则此扩张为 F 上的可分扩张．
下面证明有限可分扩张一定是单代数扩张．为此先介绍本原元素的概念．
定义 设 K 是域 F 的有限扩张．若存在 α∈K，使 K=F(α)，则称 α 是 K 对于 F 的本原元素．
定理 设 K=F(α1,⋯,αn) 是域 F 的代数扩张且 α1,⋯,αn 是 F 上的可分元素，则 K 中有本原元素，即 K 是 F 的单代数扩张．
推论 一个域的有限可分扩张一定是单代数扩张．
下面证明可分扩张的可分扩张仍是可分扩张．
引理 设域 F 的特征为素数 p，则 F 的单代数扩张 F(α) 是可分扩张的充分必要条件为 F(α)=F(αp)．
引理 设 F(α,β) 是域 F 的代数扩张，α 是 F 上的可分元素，β 是 F(α) 上的可分元素，则 F(α,β) 是 F 的可分扩张．
定理 设 E 是域 F 的代数扩张，K 是一中间域，即 F⊆K⊆E，则 E 是 F 的可分扩张当且仅当 K 是 F 的可分扩张，并且 E 是 K 的可分扩张．
有限域
仅包含有限个元素的域被称为有限域(finite field)或者Galois域(Galois field)，以纪念它的发现者．
任何一个有限域 F 的特征必为某个素数 p，即 Fp 是它的素子域．因此 F 是 Fp 上的有限维线性空间，同构于某个 Fnp，从而 F 上的元素个数为某个素数幂 pn，其中 p=char(F)，而 n=[F:Fp]．
若 F 是含有 q 个元素的有限域，那么它的乘法群 F× 就有 q−1 个元素，从而 F 的任何非零元都是方程 xq−1−1=0 的根．这意味着 F 中的任何元素都满足 xq−x=0．这个方程在任何域里至多只可能有 q 个不同的根．这说明 F 中的所有元素为这个方程在 F 的任何扩域里的全部的根，且这个方程只有单根．此时我们有
xq−x=∏a∈F(x−a),
而这也说明 F 是多项式 xq−x 在素域 Fp 上的一个分裂域．由分裂域的唯一性可知，在域同构的意义下，阶数为 q 的域是唯一的．因此，对于任意的正整数 q>1，若存在阶为 q 的域，则 q 必为某个素数的幂，而这样的域在同构意义下是唯一的．
反过来，若 q=pn，其中 p 是素数，而 n>1，必然也存在阶数为 q 的域，即 xq−x 关于 Fp 的分裂域．为了严格说明这一点，我们还确信这个分裂域恰有 q 个元素．为此，我们注意到
- Fp 中的元素都是 xq−x 的根（Fermat小定理）；
- 由于 (xq−x,qxq−1−1)=1，故 xq−x 仅有单根；
- 若 aq=a,bq=b，那么 (a+b)q=aq+bq=a+b，(ab)q=aqbq=ab，并且若 b≠0，那么 (b−1)q=(bq)−1=b−1．
结合上述结论，我们得到
定理 对于每个素数 p 以及正整数 n≥1，在同构意义下存在唯一一个恰有 q=pn 个元素的有限域，即 xq−x 在 Fp 上的分裂域，而这给出了所有的有限域．
引理 在任何一个域 F 中，方程 xn=1 的根在乘法下构成一个循环群，而群的阶整除 n．
设 F 是一个有限域，由上述引理得乘法群 F× 是一个循环群．这个循环群的任何一个生成元都被称作有限域 F 的一个本原元(primitive element)．若 ζ 是这样一个本原元，那么 F× 的每个元素都可以表示成 ζa 的形式．特别地，ζ 可用来生成单扩张 F/Fp．更进一步地，若 F=Fq，其中 q=pn，那么 ζ 在 Fp 上的次数必然为 n．
另外，有限域的有限扩张都是单扩张．严格来说，若 E⊃F 都是有限域，那么 E× 也是一个循环群．若 η 是这个循环群的生成元，那么显然有 E=F(η)．
定理 设有限域 E 包含有 pn 个元素，其中 p 为素数．那么对于 n 的每个因子 m，E 都存在一个阶数为 pm 的子域．反过来，若 E′ 是一个子域，那么 E′ 的阶形如 pm，其中 m 是 n 的因子．
定理 设 q=pn 是素数 p 的幂，那么多项式 xq−x 是 Fp[x] 中所有次数整除 n 的首一不可约多项式的乘积．
推论 若 f 是 Fp 上的一个首一不可约多项式，那么 f 是可分的，且 f 在 F 上的分裂域的次数恰为 deg(f)．
定理 设 q=pn 是素数 p 的幂，那么 Aut(Fq) 是一个次数为 n 的循环群，由Frobenius自同态生成．
代数闭包与代数封闭域
定义 F 是域，如果 F[x] 中任意非常值的多项式在 F 上都分裂，则称 F 是代数封闭的(algebraically closed)．
定义 域 K 若被称作是子域 F 的代数闭包(algebraic closure)，是指 K 自身是代数封闭的，且 K/F 为代数扩张．
定理 代数封闭的域都是无限域．
定理 若 K 是 F 上的代数扩张，且每个 F[x] 中的多项式都在 K 上分裂，那么 K 一定是代数封闭的，特别地，K 是 F 的代数闭包．
推论 设域 K 是代数封闭的．对于 K 的任意子域 F，F 在 K 中的代数闭包是 F 的一个代数闭包．
我们已经定义了任意一个多项式的分裂域．更一般地，设 F 是一族域 F 上的非常值多项式．一个 F 上的扩域 E 被称作 F 的分裂域，是指每个 f∈F 在 E 中都分裂，而且 E 关于该性质具有极小性．容易看出，扩域 E 成为 F 的分裂域的充要条件是每个 f∈F 都在 E 上分裂，且 E 是由 F 中所有多项式在 E 中的根生成的．另外，若这里的 F 是一个有限集合，比如说 F={f1,⋯,fr}，那么我们也可以转为考虑多项式 f=f1⋯fr 来考虑．那么 {f1,⋯,fr} 在 F 上的分裂域就是 f 在 F 上的分裂域．
与多项式的分裂域类似，F 的分裂域在同构意义下是唯一的．
定理 设 F 为一族域 F 上的非常值多项式，那么 F 在 F 上的任意两个分裂域都是 F 同构的．
定理 对于任意一族域 F 上的非常值多项式，都存在一个分裂域，并且这样的分裂域在同构的意义下是唯一的．
定理 设 F 是一个域，那么 F 上的所有非常值多项式构成的集合在 F 上的分裂域 K 是 F 的代数闭包．
定理 任何一个域 F 都存在代数闭包，并且代数闭包在同构意义下是唯一的．
域 F 的代数闭包被记作 ¯F．
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