抽象代数笔记——域论
Contents
域的特征
定义
对于域 $F$，考虑映射 $\varphi:\mathbb{Z}\to F,\quad n\mapsto n\cdot 1$ 为环同态，那么 $\text{ker}(\varphi)$ 为 $\mathbb{Z}$ 的理想，结合 $F$ 是域的条件，故 $\text{ker}(\varphi)=(0)$ 或 $p\mathbb{Z}$，其中 $p$ 为素数．
当 $\text{ker}(\varphi)=(0)$ 时，称域 $F$ 的特征(characteristic)为 $0$．这可以诱导出 $\mathbb{Q}$ 到 $F$ 的单同态．
当 $\text{ker}(\varphi)=p\mathbb{Z}$ 时，称域 $F$ 的特征为 $p$．这可以诱导出 $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 到 $F$ 的单同态．
将 $\mathbb{Q}$ 和所有 $\mathbb{F}_p$ 称为素域(prime fields)，任何一个域都包含唯一的一个子域使其同构于其中某个素域．
域的扩张
包含域 $F$ 的任意一个域 $E$ 都被称作 $F$ 的一个扩域(extension field)或者扩张，此时我们将其简记作 $E/F$．每个这样的 $E$ 都是一个 $F$ 上的线性空间，线性空间的加法与数乘就是 $E$ 作为域而已定义好的加法与乘法．线性空间的维数 $\text{dim}_F(E)$ 将被称作域扩张 $E/F$ 的次数(degree)或是 $E$ 在 $F$ 上的次数，并被记作 $[E:F]$．
定义 一个域扩张的次数若是有限的，则称其为一个有限扩张(finite extension)．
显而易见的是，域扩张 $E/F$ 是 $1$ 次的，当且仅当 $E=F$．
定理 (次数公式) 设 $L\supseteq E\supseteq F$ 为域扩张，那么 $L/F$ 是有限扩张的充要条件为 $L/E$ 与 $E/F$ 同为有限扩张．若它们为有限扩张，则有如下的次数公式
$$
[L:F]=[L:E][E:F]
$$
子集生成的子环和子域
定义 设环 $R$ 为环 $R^\prime$ 的子环，$S$ 为 $R^\prime$ 的子集．$R^\prime$ 中所有包含 $R\cup S$ 的子环之交称为 $R$ 与 $S$ 生成的 $R^\prime$ 的子环，记作 $R[S]$．若 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$，我们也将其直接记作 $R[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$．
事实上，子环 $R[S]$ 是由 $R^\prime$ 中如下形式的有限和构成：
$$
\sum a_{i_1,\cdots,i_n}\alpha_1^{i_1}\cdots\alpha_n^{i_n},\quad a_{i_1,\cdots,i_n}\in R,\quad\alpha_i\in S,\quad i_j\in\mathbb{N}.
$$
引理 设域 $F$ 是整环 $R$ 的一个子环．若 $R$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，那么它一定是一个域．
推论 设 $E/F$ 是一个有限扩张，$R$ 是 $E$ 的一个子环，且包含 $F$，则 $R$ 必定也是一个域．
定义 设域 $F$ 为域 $E$ 的子域，$S$ 为 $E$ 的子集．$E$ 中所有包含 $F\cup S$ 的子域之交称为 $F$ 与 $S$ 生成的 $E$ 的子域，记作 $ F(S)$．它是 $F[S]$ 在 $E$ 中的分式域．若 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$，我们也将其直接记作 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，并且称其为一个有限生成的域扩张(finitely generated field extension)．
于是，环 $F[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$ 是 $E$ 中所有可以写成这些 $\alpha_i$ 的以 $F$ 为系数的多项式的元素，而域 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是 $E$ 中所有的可以表示成两个这种多项式比值的元素．
引理表明，若 $F[S]$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，则 $F(S)$ 自身就是一个域，从而 $F(S)=F[S]$．
若存在 $\alpha\in E$ 使得 $E=F(\alpha)$，则称 $E/F$ 为一个单扩张(simple extension)，而 $\alpha$ 将被称为这个单扩张的一个本原元素(primitive element)．
代数元和超越元
定义
设有域扩张 $E/F$，而 $\alpha\in E$．于是我们有一个环同态
$$
\varphi:F[x]\to E,\quad f(x)\mapsto f(\alpha).
$$
这里会出现两个情形．
（1）映射 $\varphi$ 的核为 $(0)$，于是对于每个 $f\in F[x]$，
$$
f(\alpha)=0\Rightarrow f(x)=0\in F[x].
$$
在这种情形里，我们称 $\alpha$ 在 $F$ 上是超越的(transcendental)．此时，同态
$$
F[x]\to F[\alpha],\quad x\mapsto\alpha
$$
是一个环同构，并且它诱导出一个域的同构 $F(x)=\text{Quot}(F[x])\to F(\alpha)$．
（2）映射 $\varphi$ 的核不是 $(0)$，于是存在非零的 $g\in F[x]$ 使得 $g(\alpha)=0$．在这种情况下，我们称 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的(algebraic)．映射的核 $\{g\in F[x]:g(\alpha)=0\}$ 是 $F[x]$ 中的主理想，它是由某个次数最低的满足 $f(\alpha)$ 的首一多项式 $f$ 生成的．我们称这样的 $f$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式(minimal polynomial)．由 $f$ 次数最小性可以推出该多项式是不可约的．
最小多项式 $f$ 的次数将被称为代数元 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数．很明显 $\alpha\in E$ 在 $F$ 上的次数为 $1$ 的充要条件是 $\alpha\in F$．
我们同时注意到映射 $g(x)\mapsto g(\alpha)$ 诱导出环的同构 $F[x]/(f)\stackrel{\sim}{\rightarrow}F[\alpha]$．由于前者是一个域，因此后者也是一个域，从而我们有 $F(\alpha)=F[\alpha]$．
定理
- 若域 $F$ 的某个扩域中的元素 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的，那么域扩张的次数 $[F(\alpha):F]$ 等于 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数．
- 域 $F$ 的某个扩域中的元素 $\alpha$ 是代数的当且仅当域扩张的次数 $[F(\alpha):F]$ 是有限的．
- 设域扩张 $E/F$ 的次数为 $n$，而 $\alpha\in E$．那么 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的，且它在 $F$ 上的次数整除 $n$．
- 设有域扩张 $F\subseteq E\subseteq L$．若元素 $\alpha\in L$ 在 $F$ 上是代数的，那么它在 $E$ 上也是代数的．进一步，若 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数为 $d$，那么它在 $E$ 上的次数至多为 $d$．
推论 设域扩张 $E/F$ 的次数为某个素数 $p$．若 $\alpha\in E\setminus F$，则 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数为 $p$，并有 $E=F(\alpha)$．
定义 对于域扩张 $E/F$，若 $E$ 中所有元素都在 $F$ 上是代数的，则我们称 $E$ 在 $F$ 上是代数的，称 $E/F$ 为一个代数扩张．若 $E/F$ 不是一个代数扩张，则它是一个超越扩张．此时，$E$ 中至少存在一个 $F$ 上的超越元．
定理 域扩张 $E/F$ 是有限的，当且仅当 $E$ 在 $F$ 上可由有限个代数元生成．
推论 若域扩张 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)/F$ 是有限的，则 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=F[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$．
推论
- 若域扩张 $E/F$ 是代数的，而 $R$ 为 $E$ 的子环，且包含 $F$，那么 $R$ 一定是一个域．
- 若域扩张 $L/E$ 和 $E/F$ 都是代数的，那么 $L/F$ 也是代数的．
推论 由代数元生成的域扩张都是代数的．
定理 对于域扩张 $K/F$ 而言，集合 $E=\{g\in K:g\ 为\ F\ 上的代数元 \}$ 是一个域．
定义 上述命题中的 $E$ 被称作 $F$ 在 $K$ 中的代数闭包(algebraic closure)，将被记作 $\overline{F}^K$．
一个复数若在 $\mathbb{Q}$ 上是一个代数元或者超越元，则我们将相应地称之为一个代数数或者超越数．$\mathbb{Q}$ 上的一个有限的域扩张被称为一个代数数域(algebraic number field)．
同态和同构的一些性质
定义 设 $E$ 和 $E^\prime$ 都是域 $F$ 的扩张，那么一个 $E$ 到 $E^\prime$ 的映射 $\varphi$ 被称为一个 $F$ 同态(F-homomorphism)是指 $\varphi$ 是一个环同态，且对任意的 $c\in F$ 都有 $\varphi(c)=c$．特别地，当 $\varphi$ 为同构时，$\varphi$ 被称为 $F$ 同构(F-isomorphism)，称 $E$ 和 $E^\prime$ 是 $F$ 的等价扩张．若进一步地，若 $E=E^\prime$，则称 $\varphi$ 为 $F$ 自同构(F-automorphism)．
由于域 $E$ 与 $E^\prime$ 之间的 $F$ 同态总是一个 $F$ 上的线性空间之间的单射，故若 $E$ 与 $E^\prime$ 在 $F$ 上有相同的有限次数，那么每个这样的 $F$ 同态都会是一个 $F$ 同构．
定理 设 $F(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张，而 $K$ 是 $F$ 的另外一个扩域．
- 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的超越元．那么对于每个 $F$ 同态 $\varphi:F(\alpha)\to K$，$\varphi(\alpha)$ 必定为 $F$ 上的超越元，而映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
$$
\{F\ 同态\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{K\ 中在\ F\ 上的超越元\}.
$$ 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元，其最小多项式为 $f(x)$．那么对于每个 $F$ 同态 $\varphi:F(\alpha)\to K$，$\varphi(\alpha)\in K$ 都是 $f(x)$ 的一个根，而映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
$$
\{F\ 同态\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{f\ 在\ K\ 中的根\}.
$$
特别地，这样的 $F$ 同态的个数与 $f$ 在 $K$ 中不同的根的个数（必定有限）一致．
上面的结果可以作进一步地推广．
定理 设 $F(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张，而环同态 $\varphi_0:F\to K$ 将 $F$ 映射到另外一个域 $K$ 中．
- 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的超越元，那么映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
$$
\{同态\ \varphi_0\ 的延拓\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{K\ 中在\ \varphi_0(F)\ 上的超越元\}.
$$ 若 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元，其最小多项式为 $f(x)$．那么映射 $\varphi\mapsto\varphi(\alpha)$ 给出了一个一一对应
$$
\{同态\ \varphi_0\ 的延拓\ \varphi:F(\alpha)\to K\}\leftrightarrow\{\varphi_0(f)\ 在\ K\ 中的根\}.
$$
特别地，这样的延拓的个数与 $\varphi_0(f)$ 在 $K$ 中不同的根的个数（必定有限）一致．
推论 设 $K/F$ 为一个域扩张，$\varphi:K\to\widetilde{K}$ 为一个域同态，而 $\widetilde{F}=\varphi(F)$．
- 如果 $f(x)$ 是 $\alpha\in K$ 在 $F$ 上的最小多项式，则 $\widetilde{f}=\varphi(f)$ 是 $\widetilde{\alpha}=\varphi(\alpha)\in\widetilde{K}$ 在 $\widetilde{F}$ 上的最小多项式．
- 特别地，若 $\widetilde{K}$ 是 $F$ 的域扩张，而 $\varphi|_F=\text{id}_F$，则 $\alpha\in K$ 与 $\widetilde{\alpha}=\varphi(\alpha)\in\widetilde{K}$ 在 $F$ 上有相同的最小多项式．
分裂域
引理 若 $f$ 是域 $F$ 上的一个非常值的多项式，那么存在域扩张 $L/F$，使得 $f$ 在 $L$ 上有零点．
给定域 $F$ 上的一个多项式 $f(x)$，假定在某个域扩张 $K/F$ 中，$f(x)$ 可以被分解成一些一次因式的乘积：
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n),\quad\alpha_i\in K,\quad c\in F^*,
$$
那么我们称多项式 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂(splits)．
定义 扩域 $K/F$ 被称为多项式 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域(splitting field)，是指 $f(x)\in F[x]$，且 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂，但是在 $K$ 的任何包含 $F$ 的真子域上都不能分裂．
定理 设 $F$ 是一个域，而 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个非常值的首一多项式．那么存在扩域 $K/F$ 使得 $f(x)$ 在 $K$ 上分裂．特别地，$f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域存在．
命题 设 $f\in F[x]$ 是次数为 $n\in\mathbb{N}^*$ 的多项式，而 $E$ 是 $f$ 在 $F$ 上的一个分裂域．那么域扩张次数 $[E:F]$ 必然整除 $n!$．
接下来，我们说明分裂域在域同构的意义下是唯一的．
引理 设 $\sigma:F_1\to F_2$ 是一个域同构．设 $f_1\in F_1[x]$ 是一个不可约多项式，而 $f_2=\sigma(f_1)\in F_2[x]$（这显然也是一个不可约多项式）．假定 $f_i$ 在 $F_i$ 的某个扩域 $E_i$ 中有根 $\alpha_i,i=1,2$．那么 $\sigma$ 可以被唯一地扩充为域同构 $F_1(\alpha_1)\to F_2(\alpha_2)$，使得 $\alpha_1$ 被映射成为 $\alpha_2$．
定理 设 $\sigma:F_1\to F_2$ 是一个域同构．设 $f_1\in F_1[x]$ 是一个多项式，而 $f_2=\sigma(f_1)\in F_2[x]$．假定 $E_i$ 是 $f_i$ 在 $F_i$ 上的一个分裂域，$i=1,2$．那么 $\sigma$ 可以被延拓为 $E_1$ 到 $E_2$ 的同构．并且 $\sigma$ 的不同延拓的个数 $n_\sigma\leq [E_1:F_1]$，而且当且仅当 $f_1$ 中每一个不可约因子在 $E_1$ 中不同根的个数恰为此因子的次数时等号成立．
推论 设 $F$ 是一个域，而 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个非常值多项式，则 $f(x)$ 的任意两个分裂域 $E,\overline{E}$ 是 $F$ 同构的．特别地，当 $E$ 与 $\overline{E}$ 都是 $F$ 的同一扩域 $K$ 的子域时，即 $F\subseteq E\subseteq K$，$F\subseteq \overline{E}\subseteq K$，则 $E=\overline{E}$．
推论 设 $f(x)\in F[x]$ 的分裂域为 $E$，则 $E$ 中的不同的 $F$ 自同构的个数不超过 $[E:F]$，而且当且仅当 $f(x)$ 的不可约因子在 $E$ 内无重根时，此个数恰为 $[E:F]$．
推论 设 $K$ 为域 $F$ 的扩域，$E$ 是 $f(x)\in F[x]$ 的分裂域且 $E\subseteq K$，则对 $K$ 的任意 $F$ 自同构 $\sigma$ 有 $\sigma(E)=E$．
正规扩张
定义 给定代数扩张 $K/F$，如果对任意的 $\alpha\in K$，$\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式均在 $K$ 上分裂，则称 $K/F$ 为一个正规扩张(normal extension)．
命题 一个有限扩张 $E/F$ 是正规的，当且仅当它是 $F$ 上一个多项式的分裂域．
给定一个有限扩张 $E/F$，不妨设 $E=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，并设 $g_i$ 是 $\alpha_i$ 在 $F$ 上的最小多项式，而 $f=g_1\cdots g_n$．那么在 $F$ 的任意的包含 $E$ 的正规扩张上 $f$ 必然会分裂．若 $K$ 是 $f$ 在 $E$ 上的分裂域，那么 $K$ 也是 $f$ 在 $F$ 上的分裂域，并且包含所有的 $\alpha_i$，从而它在 $F$ 上是正规的，并且这个域包含于所有的包含 $E$ 的正规扩张 ．因此，$K/F$ 可视为包含域扩张 $E/F$ 的最小正规扩张，它被称作域扩张 $E/F$ 的正规闭包(normal closure)或者Galois闭包(Galois closure)．由分裂域的唯一性可知，这个闭包在 $E$ 同构的意义下是唯一的．若我们找出所有的 $F$ 上的在 $E$ 存在至少一个根的不可约多项式，那么上面的Galois闭包也可以等价地被刻画成在 $E$ 上添加了所有这些不可约多项式的根得到的域．
推论 给定有限的域扩张 $F\subseteq E\subseteq K$，若 $K/F$ 是正规扩张，那么任意一个 $F$ 同态 $\varphi:E\to K$ 都可以被延拓为 $K$ 上的一个 $F$ 自同构．
可分多项式
最大公因式本质上不会随域的扩张而改变．
定理 设 $f$ 与 $g$ 为 $F[x]$ 中的多项式，而 $K$ 是 $F$ 的一个扩域．若 $r(x)$ 是 $f$ 与 $g$ 在 $F[x]$ 中的最大公因式，那么它将也是 $f$ 与 $g$ 在 $K[x]$ 中的最大公因式．特别地，$F[x]$ 中不同的首一不可约多项式在 $F$ 的任何扩域中都不可能有公共的根．
由于重根次数并不依赖于分裂域的选择．设 $F$ 是一个域，对于非常值多项式 $f(x)\in F[x]$，设 $K$ 为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，那么 $f(x)$ 在 $K[x]$ 中有分解
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)^{m_1}\cdots(x-\alpha_t)^{m_t}.
$$
若 $m_i>1$，则 $\alpha_i$ 将被称为 $f$ 的一个重根(multiple root)，否则，我们称之为单根(simple root)．
定义 设 $F$ 是一个域，$f(x)\in F[x]$ 且
$$
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,
$$
则称 $F[x]$ 中多项式
$$
f^\prime(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
$$
为 $f(x)$ 的形式导数．
定理 设 $F$ 是一个域，而多项式 $f\in F[x]$ 的次数 $\text{deg}(f)>0$，那么 $f$ 在任何分裂域中的根都是单根的充要条件是 $f$ 和它的形式导数 $f^\prime$ 互素．
定义 设 $F$ 是一个域，若多项式 $f(x)\in F[x]$ 的每个不可约因式在其分裂域中只有单根，则称 $f(x)$ 为 $F$ 上的可分多项式(separable)．
推论 域 $F$ 上的不可约多项式是可分的当且仅当它的形式导数 $f^\prime\neq 0$．特别地，在特征为 $0$ 的任何域上，任意多项式都是可分的．
上述结果表明，特征为 $0$ 的情形是简单的．特征为素数 $p$ 的情形则要复杂一些．
定理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$．若 $f$ 是 $F$ 上的多项式，那么 $f^\prime=0$ 当且仅当存在 $g\in f[x]$ 使得 $f(x)=g(x^p)$．
定理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$．若 $f(x)\in F[x]$ 是为不可分的不可约多项式，$K$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则在 $K[x]$ 中 $f(x)$ 有分解
$$
f(x)=c(x-\alpha_1)^{p^e}(x-\alpha_2)^{p^e}\cdots(x-\alpha_r)^{p^e},
$$
其中，当 $i\neq j$ 时，$\alpha_i\neq\alpha_j$，$e\in\mathbb{N}^*$，并且
$$
h(x)=c(x-\alpha_1^{p^e})(x-\alpha_2^{p^e})\cdots(x-\alpha_r^{p^e})
$$
是 $F[x]$ 中可分的不可约多项式，并有 $f(x)=h(x^{p^e})$．
$r=\text{deg}(h)$，即 $f(x)$ 在其分裂域中不同根的个数，称为 $f(x)$ 的约化次数(reduced degree)，而 $e$ 被称为 $f(x)$ 相应于 $F$ 的幂指数(exponent)．
完备域
定义 设 $F$ 是一个域．
- 若 $\text{char}(F)=p>0$，那么Frobenius自同态 $x\mapsto x^p$ 是一个单同态．若它同时也是一个满同态，即若它也是 $F$ 的自同构，我们将称 $F$ 是一个完备域(perfect field)．故 $F$ 是一个完全域的充要条件是 $F$ 中的任何元素都是一个 $p$ 次幂元．
- 若 $\text{char}(F)=0$，我们也约定 $F$ 是一个完备域．
定理 有限域是完备域．
定理 完备域的代数扩张也是完备域．
可分扩张
定义 在域扩张 $E/F$ 中，若代数元 $\alpha\in E$ 在 $F$ 上的最小多项式是可分的，则也称 $\alpha$ 在 $F$ 上是可分的(separable)．若 $E$ 中任何元素在 $F$ 上都是可分的，则我们称 $E/F$ 是一个可分扩张(separable extension)．
定理 完备域上的任何代数扩张都是可分扩张．反过来，若域 $F$ 上的任何代数扩张（甚至是任何有限扩张）都是可分扩张，则 $F$ 一定是一个完备域．
推论 域 $F$ 是完备域的充分必要条件是 $F[x]$ 中每个多项式都是 $F$ 上的可分多项式．
定理 域 $F$ 上可分多项式 $f(x)$ 的分裂域 $K$ 是 $F$ 的可分扩张．
推论 设 $F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是域 $F$ 的代数扩张且 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $F$ 上的可分元素，则此扩张为 $F$ 上的可分扩张．
下面证明有限可分扩张一定是单代数扩张．为此先介绍本原元素的概念．
定义 设 $K$ 是域 $F$ 的有限扩张．若存在 $\alpha\in K$，使 $K=F(\alpha)$，则称 $\alpha$ 是 $K$ 对于 $F$ 的本原元素．
定理 设 $K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是域 $F$ 的代数扩张且 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $F$ 上的可分元素，则 $K$ 中有本原元素，即 $K$ 是 $F$ 的单代数扩张．
推论 一个域的有限可分扩张一定是单代数扩张．
下面证明可分扩张的可分扩张仍是可分扩张．
引理 设域 $F$ 的特征为素数 $p$，则 $F$ 的单代数扩张 $F(\alpha)$ 是可分扩张的充分必要条件为 $F(\alpha)=F(\alpha^p)$．
引理 设 $F(\alpha,\beta)$ 是域 $F$ 的代数扩张，$\alpha$ 是 $F$ 上的可分元素，$\beta$ 是 $F(\alpha)$ 上的可分元素，则 $F(\alpha,\beta)$ 是 $F$ 的可分扩张．
定理 设 $E$ 是域 $F$ 的代数扩张，$K$ 是一中间域，即 $F\subseteq K\subseteq E$，则 $E$ 是 $F$ 的可分扩张当且仅当 $K$ 是 $F$ 的可分扩张，并且 $E$ 是 $K$ 的可分扩张．
有限域
仅包含有限个元素的域被称为有限域(finite field)或者Galois域(Galois field)，以纪念它的发现者．
任何一个有限域 $F$ 的特征必为某个素数 $p$，即 $\mathbb{F}_p$ 是它的素子域．因此 $F$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的有限维线性空间，同构于某个 $\mathbb{F}_p^n$，从而 $F$ 上的元素个数为某个素数幂 $p^n$，其中 $p=\text{char}(F)$，而 $n=[F:\mathbb{F}_p]$．
若 $F$ 是含有 $q$ 个元素的有限域，那么它的乘法群 $F^\times$ 就有 $q-1$ 个元素，从而 $F$ 的任何非零元都是方程 $x^{q-1}-1=0$ 的根．这意味着 $F$ 中的任何元素都满足 $x^q-x=0$．这个方程在任何域里至多只可能有 $q$ 个不同的根．这说明 $F$ 中的所有元素为这个方程在 $F$ 的任何扩域里的全部的根，且这个方程只有单根．此时我们有
$$
x^q-x=\prod_{a\in F}(x-a),
$$
而这也说明 $F$ 是多项式 $x^q-x$ 在素域 $\mathbb{F}_p$ 上的一个分裂域．由分裂域的唯一性可知，在域同构的意义下，阶数为 $q$ 的域是唯一的．因此，对于任意的正整数 $q>1$，若存在阶为 $q$ 的域，则 $q$ 必为某个素数的幂，而这样的域在同构意义下是唯一的．
反过来，若 $q=p^n$，其中 $p$ 是素数，而 $n>1$，必然也存在阶数为 $q$ 的域，即 $x^q-x$ 关于 $\mathbb{F}_p$ 的分裂域．为了严格说明这一点，我们还确信这个分裂域恰有 $q$ 个元素．为此，我们注意到
- $\mathbb{F}_p$ 中的元素都是 $x^q-x$ 的根（Fermat小定理）；
- 由于 $(x^q-x,qx^{q-1}-1)=1$，故 $x^q-x$ 仅有单根；
- 若 $a^q=a,b^q=b$，那么 $(a+b)^q=a^q+b^q=a+b$，$(ab)^q=a^qb^q=ab$，并且若 $b\neq 0$，那么 $(b^{-1})^q=(b^q)^{-1}=b^{-1}$．
结合上述结论，我们得到
定理 对于每个素数 $p$ 以及正整数 $n\geq 1$，在同构意义下存在唯一一个恰有 $q=p^n$ 个元素的有限域，即 $x^q-x$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的分裂域，而这给出了所有的有限域．
引理 在任何一个域 $F$ 中，方程 $x^n=1$ 的根在乘法下构成一个循环群，而群的阶整除 $n$．
设 $F$ 是一个有限域，由上述引理得乘法群 $F^\times$ 是一个循环群．这个循环群的任何一个生成元都被称作有限域 $F$ 的一个本原元(primitive element)．若 $\zeta$ 是这样一个本原元，那么 $F^\times$ 的每个元素都可以表示成 $\zeta^a$ 的形式．特别地，$\zeta$ 可用来生成单扩张 $F/\mathbb{F}_p$．更进一步地，若 $F=\mathbb{F}_q$，其中 $q=p^n$，那么 $\zeta$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的次数必然为 $n$．
另外，有限域的有限扩张都是单扩张．严格来说，若 $E\supset F$ 都是有限域，那么 $E^\times$ 也是一个循环群．若 $\eta$ 是这个循环群的生成元，那么显然有 $E=F(\eta)$．
定理 设有限域 $E$ 包含有 $p^n$ 个元素，其中 $p$ 为素数．那么对于 $n$ 的每个因子 $m$，$E$ 都存在一个阶数为 $p^m$ 的子域．反过来，若 $E^\prime$ 是一个子域，那么 $E^\prime$ 的阶形如 $p^m$，其中 $m$ 是 $n$ 的因子．
定理 设 $q=p^n$ 是素数 $p$ 的幂，那么多项式 $x^q-x$ 是 $\mathbb{F}_p[x]$ 中所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式的乘积．
推论 若 $f$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的一个首一不可约多项式，那么 $f$ 是可分的，且 $f$ 在 $\mathbb{F}$ 上的分裂域的次数恰为 $\text{deg}(f)$．
定理 设 $q=p^n$ 是素数 $p$ 的幂，那么 $\text{Aut}(\mathbb{F}_q)$ 是一个次数为 $n$ 的循环群，由Frobenius自同态生成．
代数闭包与代数封闭域
定义 $F$ 是域，如果 $F[x]$ 中任意非常值的多项式在 $F$ 上都分裂，则称 $F$ 是代数封闭的(algebraically closed)．
定义 域 $K$ 若被称作是子域 $F$ 的代数闭包(algebraic closure)，是指 $K$ 自身是代数封闭的，且 $K/F$ 为代数扩张．
定理 代数封闭的域都是无限域．
定理 若 $K$ 是 $F$ 上的代数扩张，且每个 $F[x]$ 中的多项式都在 $K$ 上分裂，那么 $K$ 一定是代数封闭的，特别地，$K$ 是 $F$ 的代数闭包．
推论 设域 $K$ 是代数封闭的．对于 $K$ 的任意子域 $F$，$F$ 在 $K$ 中的代数闭包是 $F$ 的一个代数闭包．
我们已经定义了任意一个多项式的分裂域．更一般地，设 $\mathcal{F}$ 是一族域 $F$ 上的非常值多项式．一个 $F$ 上的扩域 $E$ 被称作 $\mathcal{F}$ 的分裂域，是指每个 $f\in\mathcal{F}$ 在 $E$ 中都分裂，而且 $E$ 关于该性质具有极小性．容易看出，扩域 $E$ 成为 $\mathcal{F}$ 的分裂域的充要条件是每个 $f\in\mathcal{F}$ 都在 $E$ 上分裂，且 $E$ 是由 $\mathcal{F}$ 中所有多项式在 $E$ 中的根生成的．另外，若这里的 $\mathcal{F}$ 是一个有限集合，比如说 $\mathcal{F}=\{f_1,\cdots,f_r\}$，那么我们也可以转为考虑多项式 $f=f_1\cdots f_r$ 来考虑．那么 $\{f_1,\cdots,f_r\}$ 在 $F$ 上的分裂域就是 $f$ 在 $F$ 上的分裂域．
与多项式的分裂域类似，$\mathcal{F}$ 的分裂域在同构意义下是唯一的．
定理 设 $\mathcal{F}$ 为一族域 $F$ 上的非常值多项式，那么 $\mathcal{F}$ 在 $F$ 上的任意两个分裂域都是 $F$ 同构的．
定理 对于任意一族域 $F$ 上的非常值多项式，都存在一个分裂域，并且这样的分裂域在同构的意义下是唯一的．
定理 设 $F$ 是一个域，那么 $F$ 上的所有非常值多项式构成的集合在 $F$ 上的分裂域 $K$ 是 $F$ 的代数闭包．
定理 任何一个域 $F$ 都存在代数闭包，并且代数闭包在同构意义下是唯一的．
域 $F$ 的代数闭包被记作 $\overline{F}$．
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