
微积分笔记(53)——曲面积分(3)
曲面积分
Gauss 公式
再观察:Green 公式
已知:
(dx,dy)=ττds=(τ1,τ2)ds
所以:
(dy,–dx)=(τ2,−τ1)ds=nnds
代入 Green 公式可得第一型积分形式:
∮∂D(FF⋅ττ)ds=∬D(∂Q∂x–∂P∂y)dxdy∮∂D(FF⋅nn)ds=∬D(∂P∂x+∂Q∂y)dxdy
即将的推广
- 由平面区域 D 推广到曲面 S——Stokes 公式。
- 由 2 维区域推广到 3 维区域——Gauss 公式。
Gauss 公式(奥高公式,散度定理)
令 Ω⊆R3 为有界区域,其边界 ∂Ω 为定向封闭曲面外侧,又设 FF=(P,Q,R)=C1(Ω,R3)。
则:
∮∂Ω(FF⋅nn)dσ=∫Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dμ
也即:
∫∫◯∂ΩPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz
其中 ∮∂Ω,∫∫◯∂Ω 都表示沿封闭曲面 ∂Ω 的积分。
证明思路与 Green 公式类似——往证 P,Q,R 各自的积分等式。
Gauss 公式证明
仅证明:
∬∂ΩRdxdy=∭Ω∂R∂zdxdydz
证明:先设区域 Ω 有如下表示(沿 z 轴方向柱形区域):
Ω={(x,y,z):z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}
其中 D 为 xy 平面上有界区域,z1,z2∈C(D),且 z1≤z2。
这时边界曲面 ∂Ω=S1+S2+S3:
S1:z=z1(x,y),(x,y)∈D,法向朝下S2:z=z2(x,y),(x,y)∈D,法向朝上
在 S3 上法向量 nn=(cosα,cosβ,0) 且:
∬S3Rdxdy=0
所以:
∬∂ΩRdxdy=∬S1Rdxdy+∬S2Rdxdy=−∬DR(x,y,z1(x,y))dxdy+∬DR(x,y,z2(x,y))dxdy
下面直接计算验证公式。
三重积分化为累次积分:
∭Ω∂R∂zdxdydz=∬Ddxdy∫z2(x,y)z1(x,y)∂R∂zdz=∬D[R(x,y,z2(x,y))–R(x,y,z1(x,y))]dxdy=∬∂ΩRdxdy
这说明当 Ω 是沿 z 轴方向柱形区域时公式成立。
当 Ω 是一般有界区域时,可以将其分割成为有限多个沿 z 轴方向的柱形子区域:
Ω=k⋃i=1Ωi
在每个 Ωi 上有:
∬∂ΩiRdxdy=∭Ωi∂R∂zdxdydz
关于 i 求和得到:
k∑i=1∬∂ΩiRdxdy=k∑i=1∭Ωi∂R∂zdxdydz=∭Ω∂R∂zdxdydz
注意:位于 Ω 内部的 Ωi 的边界必成对出现,法向相反,这样位于 Ω 内部的 ∂Ωi 上曲面积分必两两抵消:
∴k∑i=1∬∂ΩiRdxdy=∬∂ΩRdxdy=∭Ω∂R∂zdxdydz ◻
理论应用
应用 1:
取 FF=gradu,u∈C2(Ω),则:
FF⋅nn=gradu⋅nn=Dnnu
因此:
∮∂Ω∂u∂nndσ=∫ΩΔudμ
其中 Δ 为 Laplace 算子:
Δ:=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2
应用 2:
取 FF=vgradu,u,v∈C2(D),则:
FF⋅nn=vgradu⋅nn=vDnnu
所以:
∮∂Dv∂u∂nnds=∫D(vΔu+∂v∂x∂u∂x+∂v∂y∂u∂y)dσ
推论:若 u 是 D 上调和函数(Δu=0),则取 u=v 得:
∮∂Du∂u∂nnds=∫D‖gradu‖2dσ
又若在 D 的边界上 u=0,则在 D 内 u=0。
应用 3:
对于 u,v∈C2(D),上面已导出:
∮∂Dv∂u∂nnds=∫D(vΔu+∂v∂x∂u∂x+∂v∂y∂u∂y)dσ
交换 u,v 的位置,得到:
∮∂Du∂v∂nnds=∫D(uΔv+∂u∂x∂v∂x+∂u∂y∂v∂y)dσ
二式相减得到 Green 第二公式:
∮∂D(v∂u∂nn–u∂v∂nn)ds=∫D(vΔu–uΔv)dσ
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