wzf2000 高等代数选讲笔记（9）——Jordan 标准型的计算与应用
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第九讲：Jordan 标准型的计算与应用
Jordan 标准型与最小多项式
Jordan 块的最小多项式
$$
(J_{\lambda, n} - \lambda I)^{n - 1} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
\not = 0 \\
(J_{\lambda, n} - \lambda I)^n = 0
$$
因此 $J_{\lambda, n}$ 的最小多项式即为其特征多项式 $(z - \lambda)^n$。
Jordan 标准型与最小多项式
任意线性算子 $T$ 的最小多项式为：
$$
(z - \lambda_1)^{r_1} \cdots (z - \lambda_m)^{r_m}
$$
其中 $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ 为 $T$ 的不同特征值，$r_i$ 是 $\lambda_i$ 对应的最大 Jordan 块的阶数。
问题：如果特征多项式等于最小多项式，那么 $T$ 满足什么性质？
如何找到 Jordan 标准型
Jordan 块的计算
$T$ 是线性算子，$\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ 是其不同的特征值，令 $\lambda$ 为其中一特征值，考虑 $T|_{G(\lambda, T)}$。
$$
\mathrm{Null} \, (T - \lambda I) \subseteq \mathrm{Null} \, (T - \lambda I)^2 \subseteq \cdots
$$
因此其维数也满足递增关系。
设 $d_i = \dim \mathrm{Null} \, (T - \lambda I)^i$，并且设 $d_0 = 0$。
则 $d_0 \le d_1 \le d_2 \le \cdots$。
则：
$$
d : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \\
\quad \quad i \mapsto d_i
$$
是一个映射。
由之前结论可知，如果 $d_{i + 1} = d_i$，则 $d_{i + 1} = d_{i + 2} = \cdots$。
那么这两个性质是否能给出这个映射的所有性质呢？
考虑 $0, 1, 3, 4, 4, \cdots$ 数列，其并不是一个 $d_n$ 数列。
设 $e_i = d_{i} - d_{i - 1}$，再设 $b_i$ 为 $i$ 阶 Jordan 块的数量。
则 $e_i = b_i + b_{i + 1} + \cdots $，故 $b_i = e_i - e_{i + 1}$。
性质
令 $d : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ 是一个增函数，使得 $d_0 = 0, d_n = d_{n + 1} = \cdots = n$，且：
$$
2 d_i - d_{i - 1} - d_{i + 1} \ge 0, i = 1, 2, \cdots
$$
（$d$ 是凸函数）
那么存在 $N : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$，其幂次矩阵满足：
$$
d_i = \mathrm{Null} \, (N^i), i = 0, 1, \cdots
$$
且 $N$ 的 $i$ 阶 Jordan 块的数量为 $b_i = 2d_i - d_{i - 1} - d_{i + 1}$。
凭借这个性质就可以比较找到任意线性算子的 Jordan 标准型。
Jordan 型的应用
计算 $A^n$
如果 $A = PDP^{-1}$，则 $A^n = P D^n P^{-1}$。
如果 $A = P J P^{-1}$，则 $A^n = P J^n P^{-1}$。
只需计算 $J_{\lambda, m}^n$。
$$
J_{\lambda, m}^n = (\lambda I + J_{0, m})^n \\
= \lambda^n I + \binom{n}{1} \lambda^{n - 1} J_{0, m} + \binom{n}{2} \lambda^{n - 2} J_{0, m}^2 + \cdots + \binom{n}{m - 1} \lambda^{n - m + 1} J_{0, m}^{m - 1} \\
=
\begin{pmatrix}
\lambda^n & \binom{n}{1} \lambda^{n - 1} & \binom{n}{2} \lambda^{n - 2} & \cdots & \binom{n}{m - 1} \lambda^{n - m + 1} \\
& \lambda^n & \binom{n}{1} \lambda^{n - 1} & \cdots & \binom{n}{m - 2} \lambda^{n - m + 2} \\
& & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{m - 3} \lambda^{n - m + 3} \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & \lambda^n
\end{pmatrix}
$$
数列通项
对于线性递推数列，可得其变换矩阵，设为 $A$。
则之后只需计算 $A^n$ 即可，同上。
最后可以不计算 $P$，得到带参数的 $a_n$ 通项，再通过初值条件求解，即可得到 $a_n$ 通项。
比如 $a_n = 4a_{n - 1} - 4a_{n - 2}$，可得 $a_n = c_1 2^n + c_2 n 2^n$，再根据 $a_1, a_2$ 可求解 $c_1, c_2$。
一般地：
$$
a_n = c_1 a_{n - 1} + c_2 a_{n - 2} + \cdots + c_l a_{n - l} \\
\Rightarrow \lambda^l - c_1 \lambda^{l - 1} - c_2 \lambda^{l - 2} - \cdots - c_l = 0
$$
设 $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ 为不同的特征值，$d_1, \cdots, d_m$ 为对应的重数。
则：
$$
a_n = b_{1, 1}\lambda_1^n + b_{1, 2}n \lambda_1^n + \cdots + b_{1, d_1} n^{d_1 - 1} \lambda_1^n \\
+ b_{2, 1}\lambda_2^n + b_{2, 2}n \lambda_2^n + \cdots + b_{2, d_2} n^{d_2 - 1} \lambda_2^n \\
\vdots \\
+ b_{m, 1}\lambda_m^n + b_{m, 2}n \lambda_m^n + \cdots + b_{m, d_m} n^{d_m - 1} \lambda_m^n
$$
代入初值计算 $b_{i, j}$ 即可。
如何找到 Jordan 基
幂零循环阵，$v, Nv, \cdots, N^{m - 1} v$（$N^m v = 0$）是其一组基。
也等价于：
$$
A \sim J \\
A = P J P^{-1}
$$
求 $P$。
令 $N_1 \ge N_2 \ge \cdots \ge N_k$ 为特征值为 $\lambda$ 的 Jordan 块的阶数。
$$
v_1 \in \mathrm{Null} \, (A - \lambda I)^{N_1} \backslash \mathrm{Null} \, (A - \lambda I)^{N_1 - 1}, C(v_1) = \mathrm{span} \{N^{N_1 - 1} v_1, \cdots, Nv_1, v_1\} \\
v_2 \in \mathrm{Null} \, (A - \lambda I)^{N_2} \backslash \mathrm{Null} \, (A - \lambda I)^{N_2 - 1}, v_2 \not \in C(v_1) \\
\vdots \\
v_k \to (N^{v_k - 1} v_k, \cdots, N v_k, v_k)
$$
则其一组 Jordan 基为：
$$
N^{N_1 - 1} v_1, \cdots, v_1, \cdots, N^{N_k - 1} v_k, \cdots, v_k
$$
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