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Brouwer区域不变性定理

Brouwer区域不变性定理

定理1(Brouwer不动点定理)f:BnBn 为定义在单位球 Bn:={xRn:x1} 上的连续函数, 那么 fBn 上至少有一个不动点, 即存在 xRn, 使得 f(x)=x.

定理2(Brouwer区域不变性定理)URn 中的开集, 设 f:URn 为连续单射, 那么 f(U) 也为开集.

为了证明Brouwer区域不变性定理, 只需要证明如下定理:

定理3f:BnRn 为连续单射,则 f(0)f(Bn) 的内部.

注意到 f:Bnf(Bn) 为紧Hausdorff空间之间的连续双射, 因此是同胚. 特别地, f1:f(Bn)Bn 是连续的. 由Tietze扩张定理, 存在连续函数 G:RnRnf1 的扩张.

Gf(Bn) 上有零点, 即 f(0), 接下来用Brouwer不动点定理来说明这个零点是稳定的.

引理˜G:f(Bn)Rn 为满足对任意 yf(Bn), 有 G(y)˜G(y)1 成立的连续函数, 那么 ˜Gf(Bn) 上至少存在一个零点.

证明 考虑 F(x)=x˜G(f(x))=G(f(x))˜G(f(x)). 由条件得 supxBnF(x)1, 从而 F(Bn)Bn, 因此由Brouwer不动点定理, FBn 上存在不动点, 即 ˜Gf(Bn) 上至少存在一个零点.

接下来用反证法证明定理3成立, 假设 f(0) 不在 f(Bn) 的内部, 我们将构造一个 G 的微扰在 f(Bn) 上无零点, 从而由引理导出矛盾.

G 的连续性, 取 ϵ>0 充分小, 使得对任意 yRnyf(0)2ϵG(y)0.1 成立.

另一方面, 由于 f(0) 不是 f(Bn) 的内点, 从而存在 cRn 满足 cf(0)<ϵ 且不在 f(Bn) 中. 考虑对 f 作平移变换, 可以不妨设 c=0, 那么 0f(Bn), f(0)<ϵ, 并且 G(y)0.1,yϵ.

Σ:=Σ1Σ2, 其中 Σ1:={yf(Bn):yϵ}Σ2:={yRn:y=ε}.根据定义 Σ 紧但是不包含 f(0). 关键地, 考虑连续映射 Φ:f(Bn)Σ 定义为 Φ(y):=max(ϵy,1)y.
根据定义, GΣ1 上是非零的, 由于 Σ1 为紧致集, 则存在 0<δ<0.1 使得对任意 yΣ1, 有 G(y)δ.由Weierstrass逼近定理, 存在多项式 P:RnRn 使得 P(y)G(y)<δ,yΣ.
特别地, PΣ1 上无零点. 由于 P 光滑且 Σ2 为零测集, 故 P(Σ2) 为零测集, 故可对 P 作一个微扰, 使得其在 Σ2 上也无零点.现在考虑函数 ˜G:f(Bn)Rn 定义为 ˜G(y):=P(Φ(y)).
这是连续函数, 并且恒不为零. 结合 (2)(3) 得到 G(y)˜G(y)<δ
对满足 y>ϵyf(Bn) 成立. 另一方面, 若 yϵ, 结合 (1)(2) 得到
G(y),G(Φ(y))0.1

并且由 (3) 可得
G(y)˜G(y)0.2+δ.

综上所述
G(y)˜G(y)0.2+δ0.3,yf(Bn),

但是 ˜G 无零点, 从而由引理导出矛盾.

参考资料:
网页链接为Brouwer fixed point and in variance of domain, and Hilbert fifth problem.
如果网页无法访问, 可以下载该博文的PDF:Brouwer fixed point and in variance of domain, and Hilbert fifth problem.

 

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