
Brouwer区域不变性定理
定理1(Brouwer不动点定理) 设 f:Bn→Bn 为定义在单位球 Bn:={x∈Rn:‖x‖≤1} 上的连续函数, 那么 f 在 Bn 上至少有一个不动点, 即存在 x∈Rn, 使得 f(x)=x.
定理2(Brouwer区域不变性定理) 设 U 为 Rn 中的开集, 设 f:U→Rn 为连续单射, 那么 f(U) 也为开集.
为了证明Brouwer区域不变性定理, 只需要证明如下定理:
定理3 设 f:Bn→Rn 为连续单射,则 f(0) 在 f(Bn) 的内部.
注意到 f:Bn→f(Bn) 为紧Hausdorff空间之间的连续双射, 因此是同胚. 特别地, f−1:f(Bn)→Bn 是连续的. 由Tietze扩张定理, 存在连续函数 G:Rn→Rn 为 f−1 的扩张.
G 在 f(Bn) 上有零点, 即 f(0), 接下来用Brouwer不动点定理来说明这个零点是稳定的.
引理 设 ˜G:f(Bn)→Rn 为满足对任意 y∈f(Bn), 有 ‖G(y)−˜G(y)‖≤1 成立的连续函数, 那么 ˜G 在 f(Bn) 上至少存在一个零点.
证明 考虑 F(x)=x−˜G(f(x))=G(f(x))−˜G(f(x)). 由条件得 supx∈Bn‖F(x)‖≤1, 从而 F(Bn)⊂Bn, 因此由Brouwer不动点定理, F 在 Bn 上存在不动点, 即 ˜G 在 f(Bn) 上至少存在一个零点.
接下来用反证法证明定理3成立, 假设 f(0) 不在 f(Bn) 的内部, 我们将构造一个 G 的微扰在 f(Bn) 上无零点, 从而由引理导出矛盾.
由 G 的连续性, 取 ϵ>0 充分小, 使得对任意 y∈Rn 且 ‖y−f(0)‖≤2ϵ 有 ‖G(y)‖≤0.1 成立.
另一方面, 由于 f(0) 不是 f(Bn) 的内点, 从而存在 c∈Rn 满足 ‖c−f(0)‖<ϵ 且不在 f(Bn) 中. 考虑对 f 作平移变换, 可以不妨设 c=0, 那么 0∉f(Bn), ‖f(0)‖<ϵ, 并且 ‖G(y)‖≤0.1,∀‖y‖≤ϵ.
‖G(y)‖,‖G(Φ(y))‖≤0.1
并且由 (3) 可得
‖G(y)−˜G(y)‖≤0.2+δ.
综上所述
‖G(y)−˜G(y)‖≤0.2+δ≤0.3,∀y∈f(Bn),
但是 ˜G 无零点, 从而由引理导出矛盾.
参考资料:
网页链接为Brouwer fixed point and in variance of domain, and Hilbert fifth problem.
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