Brouwer区域不变性定理
定理1(Brouwer不动点定理) 设 $f:B^n\to B^n$ 为定义在单位球 $B^n:=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x\|\leq 1\}$ 上的连续函数, 那么 $f$ 在 $B^n$ 上至少有一个不动点, 即存在 $x\in\mathbb{R}^n$, 使得 $f(x)=x$.
定理2(Brouwer区域不变性定理) 设 $U$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 设 $f:U\to\mathbb{R}^n$ 为连续单射, 那么 $f(U)$ 也为开集.
为了证明Brouwer区域不变性定理, 只需要证明如下定理:
定理3 设 $f:B^n\to\mathbb{R}^n$ 为连续单射，则 $f(0)$ 在 $f(B^n)$ 的内部.
注意到 $f:B^n\to f(B^n)$ 为紧Hausdorff空间之间的连续双射, 因此是同胚. 特别地, $f^{-1}:f(B^n)\to B^n$ 是连续的. 由Tietze扩张定理, 存在连续函数 $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 为 $f^{-1}$ 的扩张.
$G$ 在 $f(B^n)$ 上有零点, 即 $f(0)$, 接下来用Brouwer不动点定理来说明这个零点是稳定的.
引理 设 $\widetilde{G}:f(B^n)\to\mathbb{R}^n$ 为满足对任意 $y\in f(B^n)$, 有 $\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq 1$ 成立的连续函数, 那么 $\widetilde{G}$ 在 $f(B^n)$ 上至少存在一个零点.
证明 考虑 $F(x)=x-\widetilde{G}(f(x))=G(f(x))-\widetilde{G}(f(x))$. 由条件得 $\sup_{x\in B^n}\|F(x)\|\leq 1$, 从而 $F(B^n)\subset B^n$, 因此由Brouwer不动点定理, $F$ 在 $B^n$ 上存在不动点, 即 $\widetilde{G}$ 在 $f(B^n)$ 上至少存在一个零点.
接下来用反证法证明定理3成立, 假设 $f(0)$ 不在 $f(B^n)$ 的内部, 我们将构造一个 $G$ 的微扰在 $f(B^n)$ 上无零点, 从而由引理导出矛盾.
由 $G$ 的连续性, 取 $\epsilon>0$ 充分小, 使得对任意 $y\in\mathbb{R}^n$ 且 $\|y-f(0)\|\leq 2\epsilon$ 有 $\|G(y)\|\leq 0.1$ 成立.
另一方面, 由于 $f(0)$ 不是 $f(B^n)$ 的内点, 从而存在 $c\in\mathbb{R}^n$ 满足 $\|c-f(0)\|<\epsilon$ 且不在 $f(B^n)$ 中. 考虑对 $f$ 作平移变换, 可以不妨设 $c=0$, 那么 $0\not\in f(B^n)$, $\|f(0)\|<\epsilon$, 并且
$$
\|G(y)\|\leq 0.1,\quad\forall\|y\|\leq \epsilon.\tag{1}
$$
设 $\Sigma:=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, 其中 $\Sigma_1:=\{y\in f(B^n):\|y\|\geq \epsilon\}$ 且 $\Sigma_2:=\{y\in\mathbb{R}^n:\|y\|=\varepsilon\}$.根据定义 $\Sigma$ 紧但是不包含 $f(0)$. 关键地, 考虑连续映射 $\Phi:f(B^n)\to\Sigma$ 定义为
$$
\Phi(y):=\max\left(\frac{\epsilon}{\|y\|},1\right)y.\tag{2}
$$根据定义, $G$ 在 $\Sigma_1$ 上是非零的, 由于 $\Sigma_1$ 为紧致集, 则存在 $0<\delta<0.1$ 使得对任意 $y\in\Sigma_1$, 有 $\|G(y)\|\geq\delta$.由Weierstrass逼近定理, 存在多项式 $P:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 使得
$$
\|P(y)-G(y)\|<\delta,\quad\forall y\in\Sigma.\tag{3}
$$
特别地, $P$ 在 $\Sigma_1$ 上无零点. 由于 $P$ 光滑且 $\Sigma_2$ 为零测集, 故 $P(\Sigma_2)$ 为零测集, 故可对 $P$ 作一个微扰, 使得其在 $\Sigma_2$ 上也无零点.现在考虑函数 $\widetilde{G}:f(B^n)\to\mathbb{R}^n$ 定义为
$$
\widetilde{G}(y):=P(\Phi(y)).
$$
这是连续函数, 并且恒不为零. 结合 $(2)$ 和 $(3)$ 得到
$$
\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|<\delta
$$
对满足 $\|y\|>\epsilon$ 的 $y\in f(B^n)$ 成立. 另一方面, 若 $\|y\|\leq \epsilon$, 结合 $(1)$ 和 $(2)$ 得到
$$
\|G(y)\|,\|G(\Phi(y))\|\leq 0.1
$$
并且由 $(3)$ 可得
$$
\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq0.2+\delta.
$$
综上所述
$$
\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq0.2+\delta\leq 0.3,\quad\forall y\in f(B^n),
$$
但是 $\widetilde{G}$ 无零点, 从而由引理导出矛盾.
参考资料:
网页链接为Brouwer fixed point and in variance of domain, and Hilbert fifth problem.
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