Brouwer区域不变性定理

MatrixBi
2020年8月20日

定理1(Brouwer不动点定理) 设 $f:B^n\to B^n$ 为定义在单位球 $B^n:=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x\|\leq 1\}$ 上的连续函数, 那么 $f$ 在 $B^n$ 上至少有一个不动点, 即存在 $x\in\mathbb{R}^n$ , 使得 $f(x)=x$ .

定理2(Brouwer区域不变性定理) 设 $U$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 设 $f:U\to\mathbb{R}^n$ 为连续单射, 那么 $f(U)$ 也为开集.

为了证明Brouwer区域不变性定理, 只需要证明如下定理:

定理3 设 $f:B^n\to\mathbb{R}^n$ 为连续单射，则 $f(0)$ 在 $f(B^n)$ 的内部.

注意到 $f:B^n\to f(B^n)$ 为紧Hausdorff空间之间的连续双射, 因此是同胚. 特别地, $f^{-1}:f(B^n)\to B^n$ 是连续的. 由Tietze扩张定理, 存在连续函数 $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 为 $f^{-1}$ 的扩张.

$G$ 在 $f(B^n)$ 上有零点, 即 $f(0)$ , 接下来用Brouwer不动点定理来说明这个零点是稳定的.

引理设 $\widetilde{G}:f(B^n)\to\mathbb{R}^n$ 为满足对任意 $y\in f(B^n)$ , 有 $\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq 1$ 成立的连续函数, 那么 $\widetilde{G}$ 在 $f(B^n)$ 上至少存在一个零点.

证明考虑 $F(x)=x-\widetilde{G}(f(x))=G(f(x))-\widetilde{G}(f(x))$ . 由条件得 $\sup_{x\in B^n}\|F(x)\|\leq 1$ , 从而 $F(B^n)\subset B^n$ , 因此由Brouwer不动点定理, $F$ 在 $B^n$ 上存在不动点, 即 $\widetilde{G}$ 在 $f(B^n)$ 上至少存在一个零点.

接下来用反证法证明定理3成立, 假设 $f(0)$ 不在 $f(B^n)$ 的内部, 我们将构造一个 $G$ 的微扰在 $f(B^n)$ 上无零点, 从而由引理导出矛盾.

由 $G$ 的连续性, 取 $\epsilon>0$ 充分小, 使得对任意 $y\in\mathbb{R}^n$ 且 $\|y-f(0)\|\leq 2\epsilon$ 有 $\|G(y)\|\leq 0.1$ 成立.

另一方面, 由于 $f(0)$ 不是 $f(B^n)$ 的内点, 从而存在 $c\in\mathbb{R}^n$ 满足 $\|c-f(0)\|<\epsilon$ 且不在 $f(B^n)$ 中. 考虑对 $f$ 作平移变换, 可以不妨设 $c=0$ , 那么 $0\not\in f(B^n)$ , $\|f(0)\|<\epsilon$ , 并且

$\|G(y)\|\leq 0.1,\quad\forall\|y\|\leq \epsilon.\tag{1}$ 设

$\Sigma:=\Sigma_1\cup\Sigma_2$ , 其中

$\Sigma_1:=\{y\in f(B^n):\|y\|\geq \epsilon\}$ 且

$\Sigma_2:=\{y\in\mathbb{R}^n:\|y\|=\varepsilon\}$ .根据定义

$\Sigma$ 紧但是不包含

$f(0)$ . 关键地, 考虑连续映射

$\Phi:f(B^n)\to\Sigma$ 定义为

$\Phi(y):=\max\left(\frac{\epsilon}{\|y\|},1\right)y.\tag{2}$ 根据定义,

$G$ 在

$\Sigma_1$ 上是非零的, 由于

$\Sigma_1$ 为紧致集, 则存在

$0<\delta<0.1$ 使得对任意

$y\in\Sigma_1$ , 有

$\|G(y)\|\geq\delta$ .由Weierstrass逼近定理, 存在多项式

$P:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 使得

$\|P(y)-G(y)\|<\delta,\quad\forall y\in\Sigma.\tag{3}$ 特别地,

$P$ 在

$\Sigma_1$ 上无零点. 由于

$P$ 光滑且

$\Sigma_2$ 为零测集, 故

$P(\Sigma_2)$ 为零测集, 故可对

$P$ 作一个微扰, 使得其在

$\Sigma_2$ 上也无零点.现在考虑函数

$\widetilde{G}:f(B^n)\to\mathbb{R}^n$ 定义为

$\widetilde{G}(y):=P(\Phi(y)).$ 这是连续函数, 并且恒不为零. 结合

$(2)$ 和

$(3)$ 得到

$\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|<\delta$ 对满足

$\|y\|>\epsilon$ 的

$y\in f(B^n)$ 成立. 另一方面, 若

$\|y\|\leq \epsilon$ , 结合

$(1)$ 和

$(2)$ 得到

$\|G(y)\|,\|G(\Phi(y))\|\leq 0.1$
并且由

$(3)$ 可得

$\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq0.2+\delta.$
综上所述

$\|G(y)-\widetilde{G}(y)\|\leq0.2+\delta\leq 0.3,\quad\forall y\in f(B^n),$
但是

$\widetilde{G}$ 无零点, 从而由引理导出矛盾.

参考资料:
网页链接为Brouwer fixed point and in variance of domain, and Hilbert fifth problem.
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