常微分方程笔记（1）——基本概念和相关术语

常微分方程笔记（1）——基本概念和相关术语

定义 关于自变量 $x$, 与这个自变量的未知函数 $y=y(x)$, 和它的导数 $y^\prime=y^\prime(x)$ 以及直到 $n$ 阶导数 $y^{(n)}=y^{(n)}(x)$ 在内的方程

$$\begin{equation} F(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n)})=0\quad(1) \end{equation}$$
称为常微分方程(Ordinary Differential Equation), 其中导数实际出现的最高阶数 $n$ 称为常微分方程 $(1)$ 的阶(order).

在常微分方程 $(1)$ 中如果右端函数 $F$ 对未知函数 $y$ 和它的各阶导数 $y^\prime,\cdots,y^{(n)}$ 的全体而言是一次的, 则称它是线性常微分方程,否则称为非线性常微分方程.

定义 设函数 $h(x)$ 在区间 $J$ 上连续, 且有直到 $n$ 阶的导数. 如果把 $y= h(x)$ 及其相应的各阶导数代入方程 $(1)$, 得到关于 $x$ 的恒等式,即

$$\begin{equation} F(x, h(x), h^{\prime}(x),\cdots, h^{(n)}(x))=0 \end{equation}$$
对一切 $x\in J$ 都成立, 则称 $y= h(x)$ 为微分方程 $(1)$ 在区间 $J$ 上的一个解, 称区间 $J$ 是解 $y= h(x)$ 的定义区间.

若解得为 $\Phi(x,y)=0$, 其确定的隐函数 $y= h(x)$ 是方程 $(1)$ 的解, 则称 $\Phi(x,y)$ 是方程 $(1)$ 的积分(integral).

解或积分在 $xy$ 平面上的几何表示是平面曲线, 称其为方程 $(1)$ 的积分曲线(integral curve).

考虑一阶微分方程

$$\begin{equation} \frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad(2) \end{equation}$$
其中 $f(x,y)$ 是平面区域 $G$ 内的连续函数. 在区域内每一点 $P(x,y)$, 作一个以 $f(P)$ 为斜率的直线段 $l(P)$ 以标明积分曲线在该点的切线方向. 称 $l(P)$ 为微分方程 $(2)$ 在 $P$ 点的线素(line element), 而称区域 $G$ 联同上述全体线素为微分方程 $(2)$ 的方向场(direction field).

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