常微分方程笔记（3）——一阶微分方程组

常微分方程笔记（3）——一阶微分方程组

线性微分方程组

齐次线性微分方程组

$\DeclareMathOperator*{\tr}{tr} \def\bs#1{\boldsymbol{#1}}$定理 $n$ 阶齐次线性微分方程组

$$\frac{d\bs{y}}{dx}=\bs{A}(x)\bs{y}\label{32}$$
在 $(a,b)$ 上的解是 $n$ 维的线性空间, 其中 $\bs{A}(x)$ 是 $(a,b)$ 上的连续函数.

这里需要用到后文的Picard存在和唯一性定理来进行证明.

定义 已知方程的 $n$ 个解为

$$\bs{y}_1(x),\cdots,\bs{y}_n(x),\label{33}$$
则记
$$W(x)=\det(\bs{y}_1(x),\cdots,\bs{y}_n(x))$$
称为这 $n$ 个解的Wronsky行列式.

定理(Liouville公式)

$$W(x)=W(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^x\tr\bs{A}(x)dx\right).$$
定理 线性微分方程组的解组是线性无关的充要条件为
$$
W(x)\neq0\quad(a非齐次微分线性方程组

定理 若 $\bs{\Phi}(x)$ 是与

$$\frac{d\bs{y}}{dx}=\bs{A}(x)\bs{y}+\bs{f}(x)\label{34}$$
对应的齐次线性方程组的一个基解矩阵, $\bs{\varphi^*}(x)$ 为方程组的一个特解,则其任一解$\bs{y}=\bs{\varphi}(x)$可以表示为
$$\bs{\varphi}(x)=\bs{\Phi}(x)\bs{c}+\bs{\varphi^*}(x),$$
其中 $\bs{c}$ 是一个与 $\bs{\varphi}(x)$ 有关的常数列向量.

用常数变易法可以求出其一个特解为

$$\bs{\varphi^*}(x)=\bs{\Phi}(x)\int_{x_0}^x\bs{\Phi}^{-1}(s)f(s)ds.$$

记

$$U(x,s)=\bs{\Phi}(x)\bs{\Phi}^{-1}(s),$$
那么 $U(x,s)$ 满足以下性质:

1. $U(s,s)=I$;
2. $U(x,s)U(s,\tau)=U(x,\tau)$;
3. $U^{-1}(x,s)=U(s,x)$;
4. $\displaystyle\frac{dU(x,s)}{dx}=\bs{A}(x)U(x,s)$.

称具有上述性质的 $U(x,s)$ 为方程组的转移矩阵, 此时通解可表示为

$$\bs{y}=U(x,x_0)\bs{y}_0+\int_{x_0}^xU(x,s)\bs{f}(s)ds.$$

常系数线性微分方程组

考虑齐次常系数线性微分方程组

$$\frac{d\bs{y}}{dx}=\bs{A}\bs{y}.\label{41}$$

定理 $\bs{\Phi}(x)=\exp(x\bs{A})$ 是方程组的一个标准基解矩阵.

对于常系数非齐次线性方程组也可用常数变易法进行求解.

矩阵指数函数可以利用线性代数中Jordan标准型的知识进行求解.

首次积分

定义 假设函数 $\psi(x,y_1,\cdots,y_n)$ 在区域 $D$ 内有一阶连续偏导数, 它不是常数,如果它沿着方程组

$$\frac{dy_i}{dx}=f_i(x,y_1,\cdots,y_n)\quad(i=1,\cdots,n).\label{12}$$
的任一解 $y_i=\varphi_i(x)(i=1,\cdots,n,\alpha首次积分(其中 $C$ 为任意常数).

定理 假设函数 $\psi(x,y_1,\cdots,y_n)$ 在区域$D$内有一阶连续偏导数, 它不是常数, 那么 $\psi$ 为方程组的首次积分的充要条件为在区域 $D$ 内成立恒等式

$$\frac{\partial\psi}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial y_1}f_1+\cdots+\frac{\partial\psi}{\partial y_x}f_n=0.$$
定理 假若 $\psi_j(x,y_1,\cdots,y_n)(j=1,\cdots,n)$ 是方程组的 $n$ 个互相独立的首次积分, 即
$$\frac{D(\psi_1,\cdots,\psi_n)}{D(y_1,\cdots,y_n)}\neq0,$$
那么关系式组
$$\psi_j(x,y_1,\cdots,x_n)=C_j\quad(j=1,\cdots,n)\label{18}$$
确定的隐函数就是方程组的解, 从而上述关系式就是方程组的通积分.其中 $C_1,\cdots,C_n$ 是任意 $n$ 个常数.

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