常微分方程笔记（5）——存在和唯一性定理

常微分方程笔记（5）——存在和唯一性定理

前置知识

Gronwall不等式

定理 设 $u,\kappa,K$ 为定义在 $[0,T]$ 上的非负实值连续函数. 若对于 $t\in[0,T]$ 均满足

$$u(t)\leq K(t)+\int_0^t\kappa(s)u(s)ds.$$
那么存在Gronwall不等式
$$u(t)\leq K(t)+\int_0^t\kappa(s)K(s)\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right)ds.$$
特别地, 当 $K(t)=K$ 为常数时, 可简化为
$$u(t)\leq K\exp\left(\int_0^t\kappa(r)dr\right).$$

证明 定义

$$R(t)=\int_0^t\kappa(r)u(r)dr.$$
那么其导数 $R^\prime$ 满足
$$R^\prime(s)-\kappa(s)R(s)=\kappa(s)(u(s)-R(s))\leq \kappa(s)K(s).$$
从而
$$\frac{d}{ds}R(s)\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right)\leq \kappa(s)K(s)\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right),$$
积分得到
$$R(t)=R(t)-R(0)\leq \int_0^t\kappa(s)K(s)\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right)ds$$
此时两边加上 $K(t)$, 并利用条件 $u(t)\leq K(t)+R(t)$ 即可.

特别地, 当 $K(t)=K$ 为常数时, 直接计算得

$$\begin{aligned} &K+\int_0^t\kappa(s)K\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right)ds\\ =&K-K\int_0^t\frac{d}{ds}\exp\left(\int_s^t\kappa(r)dr\right)ds\\ =&K-K\left(\exp(0)-\exp\left(\int_0^t\kappa(r)dr\right)\right)\\ =&K\exp\left(\int_0^t\kappa(r)dr\right). \end{aligned}$$

Banach不动点定理

定义 设 $X$ 为度量空间, 映射 $f:X\to X$. 如果存在 $k\in(0,1)$ 使得对一切 $x,y\in X$, 成立

$$d(f(x),f(y))\leq kd(x,y),$$
那么就称 $f$ 是 $X$ 上的一个压缩映射.

定理 设 $X$ 为完备度量空间, $f$ 是 $X$ 上的一个压缩映射, 则存在唯一的 $x\in X$, 满足 $f(x)=x$.

定理 设 $X$ 为完备度量空间, $g$ 是 $X$ 上的一个映射, 若存在正整数 $n$, 使得 $g^n$ 是$X$上的一个压缩映射,则存在唯一的 $x\in X$, 满足 $g(x)=x$.

定义 设 $X=C(I)$ 是闭区间 $I$ 上的连续函数全体组成的线性空间. 当 $f\in C(I)$ 时, 规定

$$\|f\|=\sup_{x\in I}|f(x)|.$$
此时 $(X,\|\cdot\|)$ 为Banach空间.

定义 对 $X=C(I)$, 有时需要采用如下的范数:

$$\|f\|_1=\sup_{x\in I}\{e^{-M|x-x_0|}|f(x)|\},$$
其中 $M>0$ 为一常数, $x_0\in I$. 此时 $(X,\|\cdot\|_1)$ 为Banach空间.

Ascoli-Arzelà定理

引理 设 $A$ 为 $[a,b]$ 的稠密子集. 设函数列 $\{f_n\}$ 在 $A$ 上等度连续且收敛, 则 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛.

定理 设函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上等度连续且一直有界, 则 $\{f_n\}$ 具有一致收敛的子列.

Picard存在和唯一性定理

定义 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内满足

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2|,$$
其中常数 $L>0$. 则称 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内对 $y$ 满足Lipschitz条件.

显然, 若区域 $D$ 为紧集, $f(x,y)$ 对 $y$ 有连续的偏导数, 则在区域 $D$ 内对 $y$ 满足Lipschitz条件.

定理 设初值问题

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\quad (1)$$
其中 $f(x,y)$ 在矩形区域
$$R:\quad |x-x_0|\leq a,\quad |y-y_0|\leq b$$
上连续, 而且对 $y$ 满足Lipschitz条件. 则 $(1)$ 在区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上有且仅有一个解,其中常数
$$h=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},\quad M>\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|.$$

Peano存在性定理

定理 设初值问题

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\quad (2)$$
其中 $f(x,y)$ 在矩形区域
$$R:\quad |x-x_0|\leq a,\quad |y-y_0|\leq b$$
上连续. 则 $(2)$ 在区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上至少有一个解, 其中常数
$$h=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},\quad M>\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|.$$

Osgood唯一性定理

定义 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内满足

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq F(|y_1-y_2|),$$
其中连续函数 $F(r)$, 满足 $F(r)>0$ 对 $r>0$ 成立, $F(0)=0$, 且瑕积分
$$\int_0^{1}\frac{dr}{F(r)}=+\infty,$$
则称 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内对 $y$ 满足Osgood条件.

定理 设初值问题

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\quad (3)$$
在区间 $I$ 上有解, 其中 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续, 并对 $y$ 满足Osgood条件. 则 $(3)$ 在区间 $I$ 上有且仅有一个解.

解的延伸

定理 设 $P_0$ 为区域 $G$ 内任一点, 并设 $\Gamma$ 为微分方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\quad (4)$$
经过 $P_0$ 点的任一条积分曲线, 其中 $f(x,y)$ 在区域 $G$ 内连续. 则积分曲线 $\Gamma$ 将在区域 $G$ 内延伸到边界, 即对任意有界闭区域 $G_1(P_0\in G_0\subset G)$, 积分曲线将延伸到 $G_1$ 之外.

推论 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $G$ 内连续, 且对 $y$ 满足局部Lipschitz条件, 则微分方程 $(4)$ 经过 $G$ 内任一点 $P_0$ 存在唯一的积分曲线 $\Gamma$, 并且 $\Gamma$ 在 $G$ 内延伸到边界.

定理 设微分方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\quad (5)$$
其中 $f(x,y)$ 在条形区域
$$S:\quad \alpha < x < \beta,\quad -\infty < y < +\infty$$ 内连续, 而且满足不等式 $$|f(x,y)|\leq A(x)|y|+B(x),$$ 其中 $A(x)\geq0$ 和 $B(x)\geq0$ 在区间 $\alpha < x < \beta$ 上是连续的. 则微分方程 $(5)$ 的每一个解都以区间 $\alpha < x < \beta$ 为最大存在区间.

比较定理

定理(第一比较定理) 设函数 $f(x,y)$ 与 $F(x,y)$ 都在平面区域$G$内连续且满足不等式

$$f(x,y) < F(x,y),\quad (x,y)\in G;$$ 又设函数 $y=\varphi(x)$ 与 $y=\Phi(x)$ 在区间 $a < x < b$ 上分别为初值问题 $$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$$ 与 $$\frac{dy}{dx}=F(x,y),\quad y(x_0)=y_0$$ 的解, 其中 $(x_0,y_0)\in G$, 则有 $$\begin{cases} \varphi(x) < \Phi(x),\quad x_0 < x < b;\\ \varphi(x)>\Phi(x),\quad a < x < x_0. \end{cases}$$ 定理(第二比较定理) 设函数 $f(x,y)$ 与 $F(x,y)$ 都在平面区域 $G$ 内连续且满足不等式
$$f(x,y)\leq F(x,y),\quad (x,y)\in G;$$
又设函数 $y=\varphi(x)$ 与 $y=\Phi(x)$ 在区间 $a < x < b$ 上分别为初值问题 $$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0\quad(6)$$ 与 $$\frac{dy}{dx}=F(x,y),\quad y(x_0)=y_0\quad(7)$$ 的解, 其中 $(x_0,y_0)\in G$, 并且 $y=\varphi(x)$ 是 $(6)$ 的右行最小解和左行最大解(或者 $y=\Phi(x)$ 是 $(7)$ 的右行最大解和左行最小解),则有 $$\begin{cases} \varphi(x)\leq \Phi(x),\quad x_0 < x < b;\\ \varphi(x)\geq\Phi(x),\quad a < x < x_0. \end{cases}$$

解对初值和参数的连续性和可微性定理

解对初值的连续依赖性

定理(解对初值的连续依赖定理) 设 $f(x,y)$ 于区域 $G$ 内连续且关于 $y$ 满足局部Lipschitz条件,$(x_0,y_0)\in G$, $y=\varphi(x,x_0,y_0)$ 是方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\quad(8)$$
的满足初值条件 $y(x_0)=y_0$ 的解, 它于区间 $a\leq x\leq b$ 上有定义, 其中 $a\leq x_0\leq b$, 那么, 对任意给定的 $\varepsilon>0$, 必能找到正数 $\delta=\delta(\varepsilon,a,b)$, 使得当
$$(\bar{x}_0-x_0)^2+(\bar{y}_0-y_0)^2\leq \delta^2$$
时, 方程 $(8)$ 的满足条件 $y(\bar{x}_0)=\bar{y}_0$ 的解 $y=\varphi(x,\bar{x}_0,\bar{y}_0)$ 在区间 $a\leq x\leq b$ 上也有定义,并且
$$|\varphi(x,\bar{x}_0,\bar{y}_0)-\varphi(x,x_0,y_0)| < \varepsilon,\quad a\leq x\leq b.$$ 定理(解对初值的连续性定理) 若函数 $f(x,y)$ 在区域 $G$ 内连续, 且关于 $y$ 满足局部Lipschitz条件, 则方程 $(8)$ 的解 $y=\varphi(x,x_0,y_0)$ 作为 $x,x_0,y_0$ 在它的存在范围内是连续的.

定理(解对初值和参数的连续依赖定理) 设 $f(x,y,\lambda)$ 于区域 $G_\lambda$ 内连续, 且在 $G_\lambda$ 内关于 $y$ 一致地($L$ 的选取与 $\lambda$ 无关)满足局部Lipschitz条件, $(x_0,y_0,\lambda_0)\in G_\lambda$, $y=\varphi(x,x_0,y_0,\lambda_0)$ 是方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y,\lambda)\quad(9)$$
的满足条件 $y(x_0)=y_0,\lambda=\lambda_0$ 的解, 它于区间 $a\leq x\leq b$ 上有定义, 其中 $a\leq x_0\leq b$, 那么, 对任意给定的 $\varepsilon>0$, 必能找到正数 $\delta=\delta(\varepsilon,a,b)$, 使得当
$$(\bar{x}_0-x_0)^2+(\bar{y}_0-y_0)^2+({\lambda}-\lambda_0)^2\leq \delta^2$$
时, 方程 $(9)$ 的满足条件 $y(\bar{x}_0)=\bar{y}_0$ 的解 $y=\varphi(x,\bar{x}_0,\bar{y}_0,\lambda)$ 在区间 $a\leq x\leq b$ 上也有定义,并且
$$|\varphi(x,\bar{x}_0,\bar{y}_0,\lambda)-\varphi(x,x_0,y_0,\lambda_0)| < \varepsilon,\quad a\leq x\leq b.$$ 定理(解对初值和参数的连续性定理) 设 $f(x,y,\lambda)$ 于区域 $G_\lambda$ 内连续, 且在 $G_\lambda$ 内关于 $y$ 一致地($L$ 的选取与 $\lambda$ 无关)满足局部Lipschitz条件, 则方程 $(9)$ 的解 $y=\varphi(x,x_0,y_0,\lambda)$ 作为 $x,x_0,y_0,\lambda$ 的函数在它的存在范围内是连续的.

解对初值的可微依赖性

定理(解对初值的可微性定理) 若函数 $f(x,y)$ 以及 $\displaystyle\frac{df}{dy}$ 在区域 $G$ 内连续, 则方程 $(8)$ 的解 $y=\varphi(x,x_0,y_0)$ 作为 $x,x_0,y_0$ 的函数在它的存在范围内是连续可微的.

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