曲线积分和曲面积分

by zhaochen20

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第四章 算法笔记

将曲线或曲面上对点的限制带入积分函数

一、曲线

概述：${\mathrm{d}{l }{ }}$ 只有一种处理方式，单位切向量${\overrightarrow{ \tau }}$ 也只有一种可行的处理方式，二型曲线积分有两种处理方式。

（一）如何处理${\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ }}$与${\mathrm{d}l{ }}$

回顾：在上半学期，我们学习过两类曲线的切向量方法，分别是利用曲线的参数方程（曲线的参数方程只有一个参数），以及使用两个平面的法向量差积。看上去，我们的单位切向量$\overrightarrow{ \tau }$ 将有两种处理方式。然而，由于我们只学习了$\mathrm{d}l{ } =\sqrt{{{x_t}^{\prime}}^{2}+ {{y_t}^{\prime}}^{2}+{{z_t}^{\prime}}^{2}}dt$，所以这导致了我们处理单位切向量$\overrightarrow{ \tau }$ 也只能用参数方程。

（二）曲线积分

1. 第一型曲线积分公式（处理$\mathrm{dl}{ }$）

$$\mathrm{d}l{ } =\sqrt{{{x_t}^{\prime}}^{2}+ {{y_t}^{\prime}}^{2}+{{z_t}^{\prime}}^{2}}dt$$

$$\int_{L}^{}f(x,y,z)dl= \int_{L_t}^{}f(x_t,y_t,z_t)\sqrt{{{x_t}^{\prime}}^{2}+ {{y_t}^{\prime}}^{2}+{{z_t}^{\prime}}^{2}}dt$$

2. 第二型曲线积分公式

$\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ } =\overrightarrow{ \tau }\mathrm{d}l{ }$

(1) 对单位切向量$\overrightarrow{ \tau }$的处理

$$\overrightarrow{ \tau }= \frac{\left ({x’_t},{y’_t},{z’_t}\right ) }{\sqrt{{x’_t}^{2}+ {y’_t}^{2}+{z’_t}^{2}} }$$

(2) 对$\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ }$的处理

$$\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ } =\overrightarrow{ \tau }\mathrm{d}l{ }={\left ({x’_t},{y’_t},{z’_t}\right )}\mathrm{d}t{ }=\left (dx,dy,dz\right )$$

(3) 对$\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l }{ }$的处理

对于$V=(P,Q,R)$，$P=P(x,y,z)=P(t)$，$Q=Q(x,y,z)=Q(t)$，$R=R(x,y,z)=R(t)$，则有：

$$\int_{L^{+}} \overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ } =\int_{L^{+}} \overrightarrow{ v }\cdot \overrightarrow{ \tau }\mathrm{d}l{ }=\int_{L_t^{+}}({p_t\cdot{{x_t}^{\prime}}+q_t\cdot{{y_t}^{\prime}}+r_t\cdot{{z_t}^{\prime}} })\mathrm{d}t{ }=\int_{L^{+}} pdx+qdy+rdz$$

将该公式拆开来看，则有：

(4) 参数化法

$$\int_{L^{+}} \overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ }=\int_{L_t^{+}}({p_t\cdot{{x_t}^{\prime}}+q_t\cdot{{y_t}^{\prime}}+r_t\cdot{{z_t}^{\prime}} })\mathrm{d}t{ }$$

将二型积分转化到了 $t$ 轴上的有向积分，注意参数 $t$ 的范围与方向。t的范围需要完全描绘出 $L$ ，并且每一个 $t$ 对应 $L$ 上唯一的一个点。（这是其实是函数性的要求。但是一般参数方程是满足函数性（也就是这种一一对应性），不满足函数性的往往是投影法。如果不满足一一对应，则应拆开来投影。）

(5) 一维投影法

$$\int_{L^{+}} \overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{l }{ }=\int_{L^{+}} pdx+qdy+rdz$$

将二型曲线积分转化到了 $x$ 轴、 $y$ 轴 、$z$ 轴上的有向积分，注意参数 $x、y、z$ 的范围与方向，其实这一方法和参数化为 $t$ 的本质完全相同。同样注意应当满足函数性，投影法往往不容易满足函数性，这是投影法经常要拆开的原因，无法一步到位。但是一般而言，投影法的计算会简单些。

二、曲面

概述：$\mathrm{d}{s}{ }$ 有两种处理方式，单位法向量$\overrightarrow{ n }$ 也有两种种可行的处理方式，二型曲面积分有两种处理方式。

（一）如何处理$\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ }$与$\mathrm{d}s{ }$

$\mathrm{d}s{ }$ 的处理与 $\mathrm{d}{l }{ }$ 不同，因为你很难通过 $x,y,z$ 直接表达曲线的切线，往往需要借助参数方程，故而导致$\overrightarrow{ \tau }$ 与 $\mathrm{d}{l }{ }$ 都只有一种表达方式，不过这种表达方式能够转换为投影罢了 。但是$F(x,y,z)=const$ 的曲面，本身表达单位法向量$\overrightarrow{ n }$ 就有两种方式，参数方程与显函数直接求导，$\mathrm{d}s{ }$ 也有对应的表达方式，进而产生了三种计算方式。

（二） 曲面积分

1. 第一型曲面积分公式（处理$\mathrm{d}s{ }$）

(1) 使用参数方程

$x,y,z$ 均是 $u,v$ 的函数。

$$ds=\left \| r^{\prime}_{u}\times r^{\prime}_{v} \right \| du\cdot dv\\ $$

$$ds=\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}du\cdot dv\\ A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}，B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}，C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$$

$$ds=\sqrt{E\cdot F-G^{2}}du\cdot dv\\ E= {r^{\prime}_{u}}^{2},F= {r^{\prime}_{v}}^{2},G={r^{\prime}_{u}}\cdot {r^{\prime}_{v}}$$

$(8),(9),(10)$ 是完全等价的三种形式，从计算的快捷角度，$(10)$ 式最为优化。

(2) 使用显函数

$Z=f(x,y)$，则有：

$$ds=\sqrt{1+{f’_x}^{2}+{f’_y}^{2}}dx\cdot dy$$

2. 第二型曲面积分公式

$\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ } =\overrightarrow{n }ds$

此处单位法向量 $\overrightarrow{n }$ 与单位切向量$\overrightarrow{ \tau }$也有不同，前文提到过直接表达曲线的切向量需要用参数方程，但是直接表达曲面的法向量既可以用参数方程，还可以用显函数。从而给出下式：

(1) 对单位法向量$\overrightarrow{ n }$ 的处理

a. 使用参数方程

$x,y,z$ 均是 $u,v$ 的函数。

$$\overrightarrow{n }=\frac{ r^{\prime}_{u}\times r^{\prime}_{v}}{\left \| r^{\prime}_{u}\times r^{\prime}_{v} \right \|}$$

b. 使用显函数

$Z=f(x,y)$，则有：

$$\overrightarrow{n }=\frac{({f’_x},{f’_y},-1)}{\sqrt{1+{f’_x}^{2}+{f’_y}^{2}}}$$
注意到两个式子均需考虑$\overrightarrow{n }$ 与曲面正向的夹角。

(2) 对$\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ }$ 的处理

$$\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ }=\overrightarrow{n}ds= \left ( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right )\\ du \cdot dv=(dy\wedge dz,dz\wedge dx,dx\wedge dy)$$

(3) 对$\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}{ }$的处理

对于$V=(P,Q,R)$，$P=P(x,y,z)=P(u,v)$，$Q=Q(x,y,z)=Q(u,v)$，$R=R(x,y,z)=R(u,v)$，则有：

$$\int_{s^{+}} \overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ } =\int_{s^{+}}\overrightarrow{ v }\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}s=\int_{s_{u,v}^{+}}({p_{u,v}\cdot \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+q_{u,v}\cdot\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+r_{u,v}\cdot\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} })\mathrm{d}u \cdot dv{ }$$
$(15)$将二型积分投影到$uov$平面上积分，注意参数 $u，v$ 的范围与法向量的方向。$u,v$ 的范围需要完全描绘出 $S$ ，并且每一对 $u,v$ 对应 $S$ 上唯一的一个点。（同上文，一般参数方程是满足函数性（也就是这种一一对应性），不满足函数性的往往是投影法。如果不满足一一对应，则应拆开来投影。）

对于此参数形式的法向量的方向，直观上很难直接把握。但是我们完全可以用特殊点来尝试，比如：

$$\text { 椭球面 } \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \text { 的内侧}:\\ \mathrm{r}_{\varphi}^{\prime} \times \mathrm{r}_{\theta}^{\prime}=\left(b c \sin ^{2} \varphi \cos \theta, a c \sin ^{2} \varphi \sin \theta, a b \sin \varphi \cos \varphi\right)$$
这个式子当然很难直接看出夹角，但是我们带入$\varphi=\frac{\Pi}{2} ,\Theta =0$ 之后，$\mathrm{r}_{\varphi}^{\prime} \times \mathrm{r}_{\theta}^{\prime}=(bc,0,0)$，从而可以得出曲面的法向量在某一点与x轴正向平行，再结合曲面的正向是椭球面的内侧，可以看出这个法向量要取负号。

对于$V=(P,Q,R)$，$z=f(x,y)$，$P=P(x,y,z)=P(x,y)$，$Q=Q(x,y,z)=Q(x,y)$，$R=R(x,y,z)=R(x,y)$，则有：

$$\int_{s^{+}} \overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{s}{ } =\int_{s^{+}}\overrightarrow{ v }\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}s=\int_{s_{x,y}^{+}}({p_{x,y}}\cdot f’_x+q_{x,y}\cdot f’_y-r_{x,y})\mathrm{d}x \cdot dy$$
这个式子注意 $x,y$ 的范围和法向量的方向，不再赘述。

$$\int_{s_{u,v}^{+}}({p_{u,v}\cdot \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+q_{u,v}\cdot\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+r_{u,v}\cdot\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} })\mathrm{d}u \cdot dv{ }=\int_{s}pdy\wedge dz+qdz\wedge dx+rdx\wedge dy$$

投影法讨论的已经很多了，参见下一节的笔记。一般的经验表明，二型曲线积分往往用参数方程，而二型曲面积分往往用投影。

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