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高等代数习题(一)

高等代数习题(一)

题目An 阶可逆实对称矩阵, 且 A 的所有 n1 阶主子式均为零. 证明: A 至少有一个 n2 阶主子式非零, 而且所有非零的 n2 阶主子式都与 |A| 异号.

证明

引理1 实对称矩阵的特征值都是实数.

证明λC 是实对称阵 A 的一个特征值.
记一个数 x 的共轭为 ¯x, 则只需证明 λ=¯λ.
对于一个向量 v, 用 ¯v 表示对其每个分量取共轭所得的向量, 矩阵同理.
Av=λv, 其中 v 是非零向量.
λ¯vTv=¯vTAv=vT¯Av=¯λvT¯v=¯λ¯vTv.
因此 (λ¯λ)¯vTv=0.
¯vTv=ni=1¯xixi=ni=1|xi|2>0.
λ=¯λ.

引理2n 阶方阵 A=(ai,j)n×n 的特征多项式为
ϕ(λ)=ni=1(λλi)=nk=0(1)kσkλnk.


其中 σ1,σ2,,σn 为关于 λ1,λ2,,λn 的基本对称多项式. 特别地, σ0=1.

则对任意的 k=1,2,,n, 有
σk=1j1<j2<<jknA(j1 j2  jkj1 j2  jk),

A 的所有 k 阶主子式之和. 特别地, σn=|A|.

引理3ARr×r,BRr×s,CRs×r,DRs×s, 并且方阵 A 可逆, 则
|ABCD|=|AB0DCA1B|=|A||DCA1B|.

回到原题.

引理1, 设 A 的特征值分别为 λ1,λ2,,λnR.

由于 A 可逆, 故 |A|0, 即 λi0,1in.

由题设及引理2,
ni=11λi=σn1|A|=0.

假设 A 的所有 n2 阶主子式均为零, 那么
1i<jn1λiλj=σn2|A|=0.

从而 0<ni=11λ2i=(ni=11λi)22(1i<jn1λiλj)=0,
矛盾. 因此至少有一个 n2 阶主子式非零.对于 A 的非零 n2 阶主子式, 通过依次进行列交换和行交换, 不妨设其为 A(1 2  n21 2  n2).考虑对称方阵 A 的分块, A=(PαβαTan1,n1an1,nβTan1,nan,n).
其中, P=(a1,1a1,n2an2,1an2,n2),α=(a1,n1a2,n1an2,n1),β=(a1,na2,nan2,n).
P 可逆, |P|0.

由于 A 的所有 n1 阶主子式均为零, 使用引理3,
0=|PααTan1,n1|=|P|(an1,n1αTP1α),0=|PββTan,n|=|P|(an,nβTP1β).

因此,
an1,n1αTP1α=0,an,nβTP1β=0.

使用引理3计算 |A|.

注意到
(αTβT)P1(αβ)=(αTP1ααTP1ββTP1αβTP1β)=(an1,n1αTP1βαTP1βan,n).

从而
|A|=|P||(an1,n1an1,nan1,nan,n)(an1,n1αTP1βαTP1βan,n)|=|P|(an1,nαTP1β)2.

因此 |P||A| 异号.

 

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