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高等代数习题(一)
题目 设 A 为 n 阶可逆实对称矩阵, 且 A 的所有 n−1 阶主子式均为零. 证明: A 至少有一个 n−2 阶主子式非零, 而且所有非零的 n−2 阶主子式都与 |A| 异号.
证明
引理1 实对称矩阵的特征值都是实数.
证明 设 λ∈C 是实对称阵 A 的一个特征值.
记一个数 x 的共轭为 ¯x, 则只需证明 λ=¯λ.
对于一个向量 v, 用 ¯v 表示对其每个分量取共轭所得的向量, 矩阵同理.
设 Av=λv, 其中 v 是非零向量.
则λ¯vTv=¯vTAv=vT¯Av=¯λvT¯v=¯λ¯vTv.
因此 (λ−¯λ)¯vTv=0.
而 ¯vTv=n∑i=1¯xixi=n∑i=1|xi|2>0.
故 λ=¯λ.
引理2 设 n 阶方阵 A=(ai,j)n×n 的特征多项式为
ϕ(λ)=n∏i=1(λ−λi)=n∑k=0(−1)kσkλn−k.
其中 σ1,σ2,⋯,σn 为关于 λ1,λ2,⋯,λn 的基本对称多项式. 特别地, σ0=1.
则对任意的 k=1,2,⋯,n, 有
σk=∑1≤j1<j2<⋯<jk≤nA(j1 j2 ⋯ jkj1 j2 ⋯ jk),
引理3 设 A∈Rr×r,B∈Rr×s,C∈Rs×r,D∈Rs×s, 并且方阵 A 可逆, 则
|ABCD|=|AB0D−CA−1B|=|A||D−CA−1B|.
回到原题.
由引理1, 设 A 的特征值分别为 λ1,λ2,⋯,λn∈R.
由于 A 可逆, 故 |A|≠0, 即 λi≠0,1≤i≤n.
由题设及引理2,
n∑i=11λi=σn−1|A|=0.
假设 A 的所有 n−2 阶主子式均为零, 那么
∑1≤i<j≤n1λiλj=σn−2|A|=0.
由于 A 的所有 n−1 阶主子式均为零, 使用引理3,
0=|PααTan−1,n−1|=|P|(an−1,n−1−αTP−1α),0=|PββTan,n|=|P|(an,n−βTP−1β).
因此,
an−1,n−1−αTP−1α=0,an,n−βTP−1β=0.
使用引理3计算 |A|.
注意到
(αTβT)P−1(αβ)=(αTP−1ααTP−1ββTP−1αβTP−1β)=(an−1,n−1αTP−1βαTP−1βan,n).
从而
|A|=|P||(an−1,n−1an−1,nan−1,nan,n)−(an−1,n−1αTP−1βαTP−1βan,n)|=−|P|(an−1,n−αTP−1β)2.
因此 |P| 与 |A| 异号.
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