常微分方程笔记（2）——一阶微分方程

常微分方程笔记（2）——一阶微分方程

分离变量

变量可分离的方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y),\label{4}$$
其中 $f,g$ 为连续函数.

解法
若 $g(\alpha)=0$, 则 $y=\alpha$ 为方程的解.

若 $g(y)\neq0$, 则化为

$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx,$$
积分得到
$$\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$
为方程的解.

齐次方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}=g\left(\frac{y}{x}\right),\label{7}$$
其中 $g$ 为连续函数.

解法 作变换 $\displaystyle u=\frac{y}{x}$, 用 $u$ 替代 $y$, 得到

$$\frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x},$$
化为变量可分离方程的形式.

可化为齐次的方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}=h\left(\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}\right),$$
其中 $h$ 为连续函数.

解法 考虑线性方程组

$$\begin{cases} ax+by+c=0,\\ Ax+By+C=0. \end{cases}$$

若有唯一解 $(x_0,y_0)$, 作换元 $u=x-x_0,v=y-y_0$, 得到

$$\frac{du}{dv}=h\left(\frac{au+bv}{Au+Bv}\right),$$
化为齐次方程的形式.

若无解或有无数组解, 不妨设 $Ax+By=\lambda(ax+by)$, 作换元 $ax+by=u$, 得到

$$\frac{du}{dx}=a+bh\left(\frac{u+c}{\lambda u+C}\right),$$
化为变量可分离方程的形式.

恰当方程和积分因子

定义
考虑一阶微分方程

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.\label{2}$$

若存在一个可微函数 $\Phi(x,y)$, 使得它的全微分为

$$d\Phi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$$
则称方程为恰当方程.

若存在一个可微函数 $\mu(x,y)$, 使得

$$\mu(x,y)P(x,y)dx+\mu(x,y)Q(x,y)dy=0$$
为恰当方程, 则称方程 $\mu(x,y)$ 为方程的一个积分因子.

设 $P,Q$ 连续, 且在 $xy$ 平面上的单连通区域 $R$ 上有连续的一阶偏导数 $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$.

方程是恰当方程的充要条件为

$$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y).\label{5}$$
在$R$上恒成立.
当其成立时, 方程的通积分为
$$\int_{x_0}^xP(x,y)dx+\int_{y_0}^yQ(x_0,y)dy=C,$$
其中 $(x_0,y_0)$ 是$R$中一点.

$\mu(x,y)$ 为方程的积分因子的充要条件为

$$\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}(x,y).$$
在$R$上恒成立.

方程有一个只依赖于 $x$ 的积分因子的充要条件是表达式

$$\frac{1}{Q(x,y)}\left(\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\right)=G(x)$$
只依赖于 $x$. 此时
$$\mu(x)=e^{\int G(x)}dx$$
是方程的一个积分因子.

方程有一个只依赖于 $y$ 的积分因子的充要条件是表达式

$$\frac{1}{P(x,y)}\left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)=H(y)$$
只依赖于 $y$. 此时
$$\mu(y)=e^{\int H(x)}dy$$
是方程的一个积分因子.

定理

设 $\mu(x,y)$ 是方程的一个积分因子,使得

$$\mu(x,y)P(x,y)dx+\mu(x,y)Q(x,y)dy=d\Phi(x,y),$$
则 $\mu(x,y)g(\Phi(x,y))$ 也是方程的一个积分因子, 使得
$$\mu(x,y)g(\Phi(x,y))(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)=d\int g(\Phi)d\Phi,$$
其中 $g$ 为可微函数.

定理

设方程为齐次方程,则函数

$$\mu(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)+yQ(x,y)}$$
是方程的一个积分因子.

一阶显式方程

一阶线性微分方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),\label{13}$$
其中 $p,q$ 为连续函数. 特别地, 若 $q(x)\equiv0$, 称其为一阶齐次线性微分方程.

解法 用 $e^{\int p(x)dx}$ 乘一阶线性方程两边, 得到

$$\frac{d}{dx}\left(ye^{\int p(x)dx}\right)=q(x)e^{\int p(x)dx}.$$

积分得到

$$ye^{\int p(x)dx}=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C.$$

从而解得

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right).$$

Bernoulli方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^\alpha,\label{17}$$
其中 $p,q$ 为连续函数.

解法 对 $\alpha$ 分情况讨论.

当 $\alpha=0$ 时, 化为一阶线性方程的形式.

当 $\alpha=1$ 时, 化为变量可分离方程的形式.

当 $\alpha\neq0,1$ 时, 作变换 $z=y^{1-\alpha}$, 得到

$$\frac{dz}{dx}+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x),$$
化为一阶线性方程的形式.

Riccati方程

方程形式

$$\frac{dy}{dx}+g(x)y+h(x)y^2=k(x),\label{19}$$
其中 $g,h,k$ 为连续函数.

解法 若 $y(x),\phi(x)$ 为其两个不同的解, 设 $u(x)=y(x)-\phi(x)$. 得到

$$u^\prime+gu+h(y^2-\phi^2)=0.$$

因为 $y^2-\phi^2-(y-\phi)(y+\phi)=u(u+2\phi)$, 从而

$$u^\prime+(g+2\phi h)u+hu^2=0,$$
化为Bernoulli方程的形式.

从而设 $\phi(x)$ 为解, 可以得到其它解为 $y(x)=\phi(x)+u(x)$.

一阶隐式方程

设方程中求解的函数为 $y=y(x)$, 那么令 $\displaystyle p=\frac{dy}{dx}$. 对于函数 $g$, 用 $g^\prime$ 表示 $\displaystyle\frac{dg}{dx}$, 用 $\dot{g}$ 表示 $\displaystyle\frac{dg}{dp}$. 那么

$$\dot{y}=\frac{dy}{dp}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dp}=p\dot{x}.\label{6}$$

一般情况

方程形式

$$y^\prime=f(x,y),$$
其中 $f$ 为 $C^1$ 函数.

方程形式

$$x=g(y,y^\prime),$$
其中 $g$ 为 $C^1$ 函数.

解法 对 $y$ 求导, 得到关于 $y,p$ 的微分方程.

方程形式

$$y=h(x,y^\prime),$$
其中 $h$ 为 $C^1$ 函数.

解法 对 $x$ 求导, 得到关于 $x,p$ 的微分方程.

Clairaut方程

方程形式

$$y=xy^\prime+g(y^\prime),$$
其中 $g$ 为 $C^1$ 函数.

解法 对 $y(p)=x(p)p+g(p)$ 对 $p$ 求导, 得到

$$\dot{y}=p\dot{x}+x+\dot{g},$$
利用, 得到
$$\begin{cases} x(p)=-\dot{g}(p),\\ y(p)=-p\dot{g}(p)+g(p). \end{cases}$$

此外, 还有特解

$$y=cx+g(c).$$

D'Alembert方程

方程形式

$$y=xf(y^\prime)+g(y^\prime),$$
其中 $f,g$ 为 $C^1$ 函数.

解法 对 $y(p)=x(p)f(p)+g(p)$ 对 $p$ 求导, 得到

$$\dot{y}=\dot{x}f+x\dot{f}+\dot{g},$$
利用, 得到
$$\dot{x}=\frac{x\dot{f}(p)+\dot{g}(p)}{p-f(p)},$$
化为一阶线性方程的形式.

此外, 直线

$$y=cx+d.$$
为特解当且仅当 $f(c)=c$ 且 $d=g(c)$.

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