常微分方程笔记（4）——高阶微分方程

常微分方程笔记（4）——高阶微分方程

高阶方程的降阶

不含未知函数 $y$ 的方程

方程形式

$$F(x,y^{(m)},\cdots,y^{(n)})=0,$$
其中 $m\geq2$.

解法 令 $z=y^{(m)}$, 即化为关于 $z$ 的 $(n-m)$ 阶方程.

不含自变量$x$的方程

方程形式

$$F(y^{\prime},\cdots,y^{(n)})=0.$$

解法 令 $z=y^{\prime}$, 视为未知函数, 而 $y$ 为自变量, 化为 $(n-1)$ 阶方程.

高阶常系数线性微分方程

高阶齐次常系数线性微分方程

方程形式

$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^\prime+a_0x=0,\label{20}$$
其中 $a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$ 为常数.

解法 考虑特征多项式

$$\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=\prod_{i=1}^t(\lambda-\lambda_i)^{n_i},$$
其中 $\lambda_i(1\leq i\leq t)$ 两两不同.
那么方程的通解为
$$y=\sum_{i=1}^t\sum_{j=0}^{n_i-1}C_{i,j}x^je^{\lambda_ix},$$
其中 $C_{i,j}(1\leq i\leq t,0\leq j\leq n_i-1)$ 为 $n$ 个独立常数.

二阶非齐次常系数线性微分方程

方程形式

$$y^{\prime\prime}+a_1y^\prime+a_0x=f(x),\label{8}$$

解法 考虑特征多项式

$$\lambda^2+a_1\lambda+a_0=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2).$$

情况1 特征多项式有两个不同的根, 即 $\lambda_1\neq\lambda_2$. 一个特解为

$$y=\int_0^x\frac{e^{\lambda_1(x-t)}-e^{\lambda_2(x-t)}}{\lambda_1-\lambda_2}f(t)dt.$$
情况2 特征多项式有两个相同的根,即 $\lambda_1=\lambda_2$. 一个特解为
$$y=\int_0^xe^{\lambda_1(x-t)}(x-t)f(t)dt.$$

高阶非齐次常系数线性微分方程

定理 设 $u(x)$ 是齐次常系数线性微分方程

$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^\prime+a_0x=0$$
的解, 满足初始条件
$$u(0)=u^\prime(0)=\cdots=u^{(n-2)}(0)=0,u^{(n-1)}(0)=1,$$
那么
$$y=\int_0^xu(x-t)f(t)dt$$
是非齐次常系数线性微分方程
$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^\prime+a_0x=f(x)$$
的解.

运算子法

用记号$D$表示求导运算, 即定义 $\displaystyle Dy=\frac{dy}{dx}$, 称$D$为运算子. 归纳定义 $D^{n+1}y=D(D^ny)$.
设 $\displaystyle P(\lambda)=\sum_{j=1}^na_j\lambda^j$, 定义 $\displaystyle P(D)=\sum_{j=1}^na_jD^j$.

性质 设$P,Q$为多项式,$y$为关于$x$的函数.

1. $P(D)y+Q(D)y=(P(D)+Q(D))y$;
2. $P(D)(Q(D)y)=Q(D)(P(D)y)$;
3. $P(D)e^{ax}=P(a)e^{ax}$;
4. $P(D)[e^{ax}y]=e^{ax}P(D+a)y$;
5. $P(D^2)\sin\omega x=P(-\omega^2)\sin\omega t$;
6. $P(D^2)\cos\omega x=P(-\omega^2)\cos\omega t$;

用记号 $\displaystyle \frac{1}{P(D)}f(x)$ 表示非齐次方程 $P(D)y=f(x)$ 的一个特解.

例 设 $f(x)$ 为 $n$ 次多项式. 多项式 $P(\lambda)=\lambda^lR(\lambda)$, 满足 $R(0)\neq0$. 考虑方程

$$P(D)y=f(x).$$

解为

$$\begin{aligned} y&=\frac{1}{P(D)}f(x)=\frac{1}{D^l}\frac{1}{R(D)}f(x)\\ &=\frac{1}{D^l}\left(c_0+c_1D+\cdots+c_nD^n+\frac{S(D)}{R(D)}D^{n+1}\right)f(x)\\ &=\frac{1}{D^l}\left(c_0+c_1D+\cdots+c_nD^n\right)f(x) \end{aligned}$$

其中 $\displaystyle c_k=\frac{\left(\frac{1}{R(\lambda)}\right)^{(k)}(0)}{k!}$.

例 考虑方程

$$P(D)y=e^{ax}g(x).$$
解为
$$y=\frac{1}{P(D)}e^{ax}g(x)=e^{ax}\frac{1}{P(D+a)}g(x).$$

二阶变系数线性微分方程

一般理论

考虑二阶非齐次变系数线性微分方程

$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)\label{35}$$
和对应的二阶齐次变系数线性微分方程
$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0,\label{36}$$
其中 $p(x),q(x)$ 和 $f(x)$ 是区间 $a < x < b$ 上的连续函数.可以将其化为非齐次微分线性方程组进行处理, 从而得到以下结论.定理 如果 $k(x,s)$ 作为 $x$ 的函数是齐次方程的解,满足条件
$$k(s,s)=0,\quad\left.\frac{\partial k(x,s)}{\partial x}\right|_{x=s}=1,$$
那么当 $x_0\in(a,b)$ 时, 函数
$$y=\int_{x_0}^xk(x,s)f(s)ds$$
在区间 $a < x < b$ 内是非齐次方程的解,满足条件 $$y(x_0)=y^\prime(x_0)=0.$$ 对于二阶齐次变系数微分方程, 若已知 $y=\varphi(x)$ 是一个非零解,接下来考虑求其通解.解法 设 $\mu(x)$ 是与 $\varphi(x)$ 不同的解,由Liouville公式得
$$W(t)=\varphi(x)\mu^\prime(x)-\varphi^\prime(x)\mu(x)=c\exp\left(-\int p(x)dx\right).$$
从而
$$\frac{\mu(x)}{\varphi(x)}=\int\frac{c}{\varphi^2(x)}\exp\left(-\int p(x)dx\right)dx+c_1,$$
取 $c=1,c_1=0$ 得到
$$\mu(x)=\varphi(x)\int\frac{1}{\varphi^2(x)}\exp\left(-\int p(x)dx\right)dx.$$

此时 $\displaystyle W(t)=\exp\left(-\int p(x)dx\right)\neq0$, 从而 $\mu$ 与 $\varphi$ 线性无关,从而通解为

$$y(x)=c_1\varphi(x)+c_2\varphi(x)\int\frac{1}{\varphi^2(x)}\exp\left(-\int p(x)dx\right)dx.$$

幂级数方法

定理 设 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $|x| < r$ 内可展开为收敛的幂级数, 那么二阶线性微分方程的每一解在 $|x| < r$ 内也可展开为幂级数.定理 设 $a(x)$ 和 $b(x)$ 在 $|x| < r$ 内可展开为收敛的幂级数, 那么二阶线性微分方程

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+xa(x)\frac{dy}{dx}+b(x)y=0$$ 至少有一个形状为 $$y=x^{\rho}\sum_{k=0}^\infty c_kx^k$$ 的解, 其中 $\rho$ 为某一常数,幂级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c_kx^k$ 在 $|t| < r$ 内是收敛的, $c_0\neq0$.

二阶线性微分方程的边值问题

定理 设 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $a\leq x\leq b$ 上连续, $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 是二阶齐次线性方程

$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\label{37}$$
的两个线性无关的解,记
$$\Delta= \begin{vmatrix} \varphi_1(a)&\varphi_2(a)\\ \varphi_1(b)&\varphi_2(b) \end{vmatrix},$$
那么非齐次边值问题和
$$y(a)=A,\quad y(b)=B$$
存在唯一解的充要条件为
$$\Delta\neq0.$$

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