线性代数笔记（4）——矩阵的运算

线性代数笔记（4）——矩阵的运算

高斯消元·续

消去矩阵

将单位阵某个 $0$ 变为非零的数得到的矩阵称为消去矩阵，这是一类初等矩阵。

$$E_{21}(-3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} (a_{2,1} = -3)$$
这表示将第 $2$ 行减去第 $1$ 行的 $3$ 倍。

矩阵乘法

运算需要满足 $A(BC)=(AB)C$。

定义

$$A_{m \times n} B_{n \times p} = A(\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},\cdots,\mathbf{b_p}) := (A \mathbf{b_1},A \mathbf{b_2},\cdots,A \mathbf{b_p})$$

置换阵

$$P_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

将单位阵 $I$ 的第 $i,j$ 行交换得到的矩阵是置换阵。

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵。

第三种初等矩阵

$$D_2(c) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}(c \not = 0)$$

初等矩阵在左为行变换，在右则为列变换。

矩阵的运算

矩阵相等

行列数相等且对应元素相等。

零矩阵

元素全是 $0$ 的矩阵称为零矩阵，用 $\mathbf{0}$ 表示。

对角矩阵

对角矩阵是一个方阵，它的非对角元素都是 $0$。

矩阵的加法

对应元素相加即得。

$A + B := (a_{i,j} + B_{i,j})_{m \times n}$

矩阵的数乘

矩阵中所有元素同乘一个数。

设 $c \in \mathbb{F}$，$cA := (ca_{i,j})_{m \times n}$

矩阵加法和数乘满足的运算法则

1. $A + B = B + A$
2. $(A + B) + C = A + (B + C)$
3. $\mathbf{0} + A = A$
4. 记 $-A = (-a_{i,j})_{m \times n},A + (-A) = \mathbf{0}$
5. $1 \cdot A = A$
6. $(kl)A = k(lA)$
7. $k(A + B) = kA + kB$
8. $(k + l)A = kA + lA$

矩阵的减法

$A – B := A + (-B)$

矩阵的乘法

上面已定义。

$(AB)_{ij} = (A \mathbf{b}_j)_i = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}$

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