微积分笔记（5）——函数的极限（2）

wzf2000
2019年9月29日

微积分笔记（5）——函数的极限（2）

函数的极限（续）

子列性质

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow$ 任取数列 $\{x_n\}$，$x_n \not = x_0$，只要 $x_n \to x_0$ 便有 $f(x_n) \to l(n \to \infty)$

Cauchy 收敛原理

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$，使得 $\forall 0 < |x_1 - x_0| < \delta,0 < |x_2 - x_0| < \delta$，都有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$

复合函数的极限

设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l,\lim\limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$，且 $f \circ g$ 在 $t = t_0$ 点附近有定义（$t_0$ 点可以例外）。

则 $\lim\limits_{t \to t_0} f \circ g(t) = \lim\limits_{t \to t_0} f(g(t)) = l$，只要满足：

1. 在 $t = t_0$ 附近（$t_0$ 可以例外），$g(t) \not = x_0$，除非
2. $f(x_0) = l$

证：$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ 使 $0 < |x - x_0| <\delta$ 时，$|f(x) - l| < \varepsilon$。

进一步，$\exists \sigma >0$ 使得 $0 < |t - t_0| < \sigma$ 时，$|g(t) - x_0| <\delta$。

由已知条件，或者 $g(t) \not = x_0$。

从而 $0 < |t - t_0| < \sigma$ 时，$0 < |g(t) - x_0| < \delta$，进而 $|f(g(t)) - l| < \varepsilon$。

或者 $f(x_0) = l$，从而 $|g(t) – x_0| < \delta$ 时，$|f(g(t)) - f(x_0)| < \epsilon$。

综上，$\lim\limits_{t \to t_0} f(g(t)) = l$。

变量代换

就是运用复合函数极限。

“无穷远“处的极限

三种“无穷远”处极限

1. $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = l$，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists A > 0$ 使得 $\forall |x| > A$，$|f(x) – l| < \varepsilon$。
2. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l$，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists A > 0$ 使得 $\forall x > A$，$|f(x) – l| < \varepsilon$。
3. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l$，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists A > 0$ 使得 $\forall x < -A$，$|f(x) - l| < \varepsilon$。

推论

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = l \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l$

“结论”

“无穷远”处极限的性质与 $x \to x_0$ 时极限的性质相似。

连续函数

设 $f$ 在 $x = x_0$ 处附近有定义（包括 $x_0$ 点）。

连续

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ——称 $f$ 在 $x_0$ 点连续。

即 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$使得 $|x – x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

单侧连续（左、右连续）

将极限换为单侧极限即得。

推论

$f$ 在 $x_0$ 点连续 $\Leftrightarrow f$ 在 $x_0$ 点左右都连续。

关于在区间上连续的记号

令 $a < b$（$a,b$ 可以等于 $-\infty,+\infty$）。$C(a,b) = \{f:(a,b) \to \mathbb{R}|f \text{在} (a,b) \text{ 内每一点都连续}\}$$C[a,b] = \{f:[a,b] \to \mathbb{R}|f \text{在} (a,b) \text{ 内每一点都连续},\text{在 } x = a \text{ 点右连续}，\text{在 } x = b \text{ 点左连续}\}$

一些结论

多项式函数 $P(x) \in C(-\infty,+\infty)$。

有理函数 $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 在定义域内处处连续。

连续点的四则运算同样连续。

三角函数在定义域内处处连续。

关于复合函数的定理

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，$g(t)$ 在 $t_0$ 点连续，且 $g(t_0) = x_0$，则复合函数 $f \circ g$ 在 $t_0$ 点连续（$f(g(t))$ 在 $t_0$ 点连续），$\lim\limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(x_0) = f(g(t_0))$。（连续函数的连续函数还是连续函数）

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