微积分笔记（6）——一致连续和闭区间连续函数

wzf2000
2019年10月10日

微积分笔记（6）——一致连续和闭区间连续函数

连续函数（续）

反函数的连续性

设 $f : (a,b) \to (c,d)$ ，$f^{-1} : (c,d) \to (a,b)$ 互为反函数，且都是严格单调，则 $f \in C(a,b)$，$f^{-1} \in C(c,d)$。

证：$\forall x_0 \in (a,b)$，记 $y_0 = f(x_0) \in (c,d)$。往证 $f$ 在 $x_0$ 点连续。

不妨设 $f$ 及 $f^{-1}$ 都是严格递增。

$\forall \varepsilon > 0$，要使 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$，即要 $y_0 - \varepsilon = f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon = y_0 + \varepsilon$。

由 $f^{-1}$ 单调性，上式等价于 $f^{-1}(y_0 - \varepsilon) < x < f^{-1}(y_0 + \varepsilon)$。

已知 $f^{-1}(y_0 - \varepsilon) < x_0 = f^{-1}(y_0) < f^{-1}(y_0 + \varepsilon)$。

$\exists \delta > 0$ 使得 $f^{-1}(y_0 - \varepsilon) < x_0 - \delta,f^{-1}(y_0 + \varepsilon) > x_0 - \delta$。

即 $(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (f^{-1}(y_0 - \varepsilon),f^{-1}(y_0 + \varepsilon))$

$\therefore |x - x_0| < \delta$ 时，$f^{-1}(y_0 - \varepsilon) < x < f^{-1}(y_0 + \varepsilon)$。

从而 $y_0 - \varepsilon < f(x) < y_0 + \varepsilon$。

即 $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$，$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

同理可证 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 点连续。

由 $x_0 \in (a,b)$ 及 $y_0 \in (c,d)$ 的任意性，得证。$\square$

推论 1：令 $a > 0,a \not = 1$，$f(x) = a^x$ ，则 $f : (-\infty,+\infty) \to (0,+\infty)$ 严格单调，$f^{-1}(x) = \log_a{x}$，$f^{-1} : (0,+\infty) \to (-\infty,+\infty)$ 严格单调，从而 $a^x \in C(-\infty,+\infty),\log_a{x} \in C(0,+\infty)$。

推论 2：$\arcsin x,\arccos x,\arctan x$ 在定义域内连续。

推论 3：$f(x) = x^a = e^{a \ln x} \in C(0,+\infty)$。

定理：初等函数在定义域内连续。

不连续点 = 间断点

间断点的分类：

$f(x)$ 在 $x_0$ 点 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \not = f(x_0)$

1. 可去间断点：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但不等于 $f(x_0)$（包括 $f(x)$ 在 $x_0$ 点无定义）。
2. 跳跃间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x),\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ 都存在但不相等。
3. 第二类间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x),\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ 至少有一个不存在。

一致连续

设 $I$ 是一区间，$f : I \to R$。

定义

如果 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$，使得 $\forall x_1,x_2 \in I$，满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时都有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$，则称 $f$ 在 $I$ 上一致连续。

推论

若 $f$ 在 $I$ 上一致连续，则 $f$ 在 $I$ 中每一点都连续（在 $I$ 中连续）。

否定一致连续

$\exists \varepsilon_0 > 0,\forall \delta > 0,\exists x_{\delta},y_{\delta} \in I,|x_{\delta} - y_{\delta}| < \delta$ 但 $f(x_{\delta}) - f(y_{\delta}) \ge \varepsilon_0$。

等价转换

取上面的 $\delta = \frac{1}{n}$，$x_{\delta},y_{\delta}$ 换为 $x_n,y_n$。

$\exists \varepsilon_0 > 0$，使 $\forall n \in \mathbb{N},\exists x_n,y_n \in I,|x_n - y_n| < \dfrac{1}{n},|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0$。

有界闭区间上连续函数的性质

令 $f \in C[a,b]$，则 $f$ 具有以下性质。

一、一致连续性

$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

证明思路：反证法，利用等价转换后的否定一致连续，根据有界数列必有收敛子列取 $\{x_n\}$ 收敛子列 $\{x_{k_n}\}$，先证明 $\{y_{k_n}\}$ 与 $\{x_{k_n}\}$ 收敛至同一个数 $x^*$，由 $f$ 的连续性，得到 $f(x_{k_n}),f(y_{k_n})$ 同时收敛至 $f(x^*)$，即得矛盾。

二、有界性

$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

证明使用反证法类似一即易证。

三、最值性质

$\exists x_*,x^* \in [a,b]$ 使得 $\forall x \in [a,b],f(x_*) \le f(x) \le f(x^*)$。记为 $f(x_*) = \min\limits_{a \le x \le b} f(x),f(x^*) = \max\limits_{a \le x \le b} f(x)$。

证明思路：取上下确界，利用定义，根据有界数列必有收敛子列取得 $x_*$ 和 $x^*$。

四、介值性质

若 $f(a) \not = f(b)$，$\gamma$ 为 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的某介值，则 $\exists c \in (a,b)$ 使得 $f(c) = \gamma$。

证：先设 $f(a) f(b) < 0,\gamma = 0$。

不妨令 $f(a) < 0 < f(b)$。假设 $f(x) \not = 0$，$\forall x \in [a,b]$。

记 $a_1 = a,b_1 = b$，检查 $f\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right)$ 的符号。

若 $f\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right) > 0$，取 $a_2 = a_1,b_2 = \dfrac{a_1+b_1}{2}$；

若 $f\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right) < 0$，取 $b_2 = b_1,a_2 = \dfrac{a_1+b_1}{2}$。

这时继续检查，不断重复。

依次进行，得到单调增 $\{a_n\} \to \alpha$，单调减 $\{b_n\} \to \beta$。

$$
f(a_n) < 0 < f(b_n),b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} \to 0 $$故 $\alpha = \beta = c$。$$ 0 \ge \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(\alpha) = f(\beta) = \lim_{n \to \infty} f(b_n) \ge 0 \Rightarrow f(c) = 0 $$一般情况，设 $F(x) = f(x) - \gamma \in C[a,b]$ 即可证明。$\square$

注：$\gamma = 0$ 的情况也称为零点性质。

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