微积分笔记（6）——一致连续和闭区间连续函数
连续函数（续）
反函数的连续性
设 f:(a,b)→(c,d) ，f−1:(c,d)→(a,b) 互为反函数，且都是严格单调，则 f∈C(a,b)，f−1∈C(c,d)。
证：∀x0∈(a,b)，记 y0=f(x0)∈(c,d)。往证 f 在 x0 点连续。
不妨设 f 及 f−1 都是严格递增。
∀ε>0，要使 |f(x)–f(x0)|<ε，即要 y0−ε=f(x0)−ε<f(x)<f(x0)+ε=y0+ε。
由 f−1 单调性，上式等价于 f−1(y0–ε)<x<f−1(y0+ε)。
已知 f−1(y0–ε)<x0=f−1(y0)<f−1(y0+ε)。
∃δ>0 使得 f−1(y0–ε)<x0−δ,f−1(y0+ε)>x0–δ。
即 (x0–δ,x0+δ)⊂(f−1(y0–ε),f−1(y0+ε))
∴|x–x0|<δ 时，f−1(y0−ε)<x<f−1(y0+ε)。
从而 y0–ε<f(x)<y0+ε。
即 |f(x)–f(x0)|<ϵ，limx→x0f(x)=f(x0)。
同理可证 f−1 在 y0 点连续。
由 x0∈(a,b) 及 y0∈(c,d) 的任意性，得证。◻
推论 1：令 a>0,a≠1，f(x)=ax ，则 f:(−∞,+∞)→(0,+∞) 严格单调，f−1(x)=logax，f−1:(0,+∞)→(−∞,+∞) 严格单调，从而 ax∈C(−∞,+∞),logax∈C(0,+∞)。
推论 2：arcsinx,arccosx,arctanx 在定义域内连续。
推论 3：f(x)=xa=ealnx∈C(0,+∞)。
定理：初等函数在定义域内连续。
不连续点 = 间断点
间断点的分类：
f(x) 在 x0 点 limx→x0f(x)≠f(x0)
- 可去间断点：limx→x0f(x) 存在，但不等于 f(x0)（包括 f(x) 在 x0 点无定义）。
- 跳跃间断点：limx→x−0f(x),limx→x+0f(x) 都存在但不相等。
- 第二类间断点：limx→x−0f(x),limx→x+0f(x) 至少有一个不存在。
一致连续
设 I 是一区间，f:I→R。
定义
如果 ∀ε>0,∃δ>0，使得 ∀x1,x2∈I，满足 |x1–x2|<δ 时都有 |f(x1)−f(x2)|<ε，则称 f 在 I 上一致连续。
推论
若 f 在 I 上一致连续，则 f 在 I 中每一点都连续（在 I 中连续）。
否定一致连续
∃ε0>0,∀δ>0,∃xδ,yδ∈I,|xδ–yδ|<δ 但 f(xδ)−f(yδ)≥ε0。
等价转换
取上面的 δ=1n，xδ,yδ 换为 xn,yn。
∃ε0>0，使 ∀n∈N,∃xn,yn∈I,|xn–yn|<1n,|f(xn)−f(yn)|≥ε0。
有界闭区间上连续函数的性质
令 f∈C[a,b]，则 f 具有以下性质。
一、一致连续性
f 在 [a,b] 上一致连续。
证明思路：反证法，利用等价转换后的否定一致连续，根据有界数列必有收敛子列取 {xn} 收敛子列 {xkn}，先证明 {ykn} 与 {xkn} 收敛至同一个数 x∗，由 f 的连续性，得到 f(xkn),f(ykn) 同时收敛至 f(x∗)，即得矛盾。
二、有界性
f 在 [a,b] 上有界。
证明使用反证法类似一即易证。
三、最值性质
∃x∗,x∗∈[a,b] 使得 ∀x∈[a,b],f(x∗)≤f(x)≤f(x∗)。记为 f(x∗)=mina≤x≤bf(x),f(x∗)=maxa≤x≤bf(x)。
证明思路：取上下确界，利用定义，根据有界数列必有收敛子列取得 x∗ 和 x∗。
四、介值性质
若 f(a)≠f(b)，γ 为 f(a) 与 f(b) 之间的某介值，则 ∃c∈(a,b) 使得 f(c)=γ。
证：先设 f(a)f(b)<0,γ=0。
不妨令 f(a)<0<f(b)。假设 f(x)≠0，∀x∈[a,b]。
记 a1=a,b1=b，检查 f(a1+b12) 的符号。
若 f(a1+b12)>0，取 a2=a1,b2=a1+b12；
若 f(a1+b12)<0，取 b2=b1,a2=a1+b12。
这时继续检查，不断重复。
依次进行，得到单调增 {an}→α，单调减 {bn}→β。
f(an)<0<f(bn),bn−an=b1−a12n−1→0故 α=β=c。0≥limn→∞f(an)=f(α)=f(β)=limn→∞f(bn)≥0⇒f(c)=0一般情况，设 F(x)=f(x)−γ∈C[a,b] 即可证明。◻
注：γ=0 的情况也称为零点性质。
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