微积分笔记（7）——无穷小与导数

微积分笔记（7）——无穷小与导数

无穷小与无穷大

无穷大（量）

设 $f$ 在 $x=x_0$ 附近有定义（这一点可以例外），$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ ，$\forall A > 0,\exists \delta > 0$，使得 $\forall 0 < |x -x_0| < \delta,|f(x)| > A$，这时称 $x \to x_0$ 时，$f(x)$ 为无穷大量。（$\pm \infty$ 同理）

推广：$x \to x_0$ 可以换成 $x \to x_0^-,x \to x_0^+,x \to +\infty,x \to -\infty,x \to \infty$

约定：下面部分中用 $x \to \square$ 表示上面某一个过程。

无穷小（量）

$\lim\limits_{x \to \square} f(x) = 0$，则称 $x \to \square$ 时 $f(x)$ 为无穷小量。

推论

$$\lim_{x \to \square} f(x) = \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \square} \frac{1}{f(x)} = 0$$

无穷小量的比较

设 $x \to \square$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都是无穷小量，且 $g(x) \not = 0$，则：

1. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，就称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
2. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = l \not = 0$，就称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷小。
   1. 特别地，当 $x \to x_0$ 时，$(x – x_0)^a$ 称为 $a$ 阶无穷小，$a > 0$。
   2. 又若上述 $l = 1$，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小，记为 $f(x) \sim g(x)(x \to \square)$。
3. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty$，就称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小。

比如 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 是一阶无穷小，与 $x$ 等价；$1 – \cos x$ 是二阶无穷小。

$\sqrt[n]{x+1} -1 \sim \dfrac{x}{n}(x \to 0),(1+x)^n – 1 \sim nx(x \to 0)$

一般地，后一个的 $n$ 可以换成任意实数 $a$。（以后证明）

无穷大量的比较

设 $x \to \square$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都是无穷大量，则：

1. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，就称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的高阶无穷大。
2. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = l \not = 0$，就称 $g(x)$ 与 $f(x)$ 是同阶无穷大。
   1. 特别地，当 $x \to \infty(\pm \infty)$ 时，$x^a$ 称为 $a$ 阶无穷大，$a > 0$。
3. 若 $\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty$，就称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的低阶无穷大。

$x\to \infty$ 时，从低到高阶排列：$\ln x,x^a,e^x$。

小“o“记号

当 $x \to \square$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 都是无穷小。

1. $f(x) = o(g(x))$，表示 $f$ 是 $g$ 的高阶无穷小。
2. $f(x) \sim l \cdot g(x)$，表示 $f$ 是 $g$ 的同阶无穷小。

大“O”记号

在“$x = \square$”（$\infty$ 类似）附近， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 有界，则记为 $f(x) = O(g(x))(x \to \square)$。

扩展小“o”记号

$\lim\limits_{x \to \square}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$：记为 $f(x) = o(g(x))$。

等价无穷小代换（求极限方法）

设 $x \to \square$ 时 $f(x) \sim g(x) = o(1)$，则 $\lim\limits_{x \to \square} f(x)h(x) = \lim\limits_{x \to \square} g(x)h(x)$。

证明略。

导数定义

例子

求直线运动的质点的瞬时速度。

求曲线的切线斜率。

导数

设 $f$ 在 $x = x_0$ 点有定义（含 $x = x_0$ 点），则定义 $f^{\prime}(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0}$。

若存在的话，称为 $f$ 在 $x_0$ 点的导数，称 $f$ 在 $x_0$ 点可导。

单侧导数

左：$f^{\prime}_-(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0}$

右：$f^{\prime}_+(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0}$

推论：$f$ 在 $x_0$ 点可导 $\Leftrightarrow f^{\prime}_-(x_0),f^{\prime}_+(x_0)$ 都存在且相等。

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