线性代数笔记（7）——求解线性方程组

线性代数笔记（7）——求解线性方程组

求解齐次线性方程组

简化行阶梯型

用初等行变换将主元化为 $1$，将主元所在列的其余元素化为 $0$，这样的矩形 $U_0$ 称之为简化行阶梯型。

基础解系

$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵。

主元对应的未知量称为主变量，设为 $x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_r}$（共 $r$ 个）。

其余变量为自由变量，设为 $x_{i_{r+1}},\cdots,x_{i_n}$。

若干个特殊解向量（$n-r$ 个）组成基础解系。

$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的基础解系：一些线性无关的解，它们的线性组合可以表示出所有的解。

数量规律

1. 主元个数 $=$ 未知量个数（$A$ 的列数 $-$ 自由变量个数）
2. 自由变量个数 $=$ 基础解系中向量的个数 $=$ 解集中线性无关解向量可达到的最大个数
3. 主元个数 $= A$ 的列向量中线性无关列向量的个数

求解非齐次线性方程组

极大线性无关组

从原向量组中选出一部分向量构成的线性无关向量组，并且再填入原向量组中的任一向量就线性相关。

向量组的秩

向量组的极大线性无关组中向量的个数。

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的秩记作：

$$\mathrm{r}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) = r$$
定理 1：两组向量若能互相线性表出，则它们的秩相等。

定理 2：在 $\mathbb{R}^n$ 中，如果向量组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1,\cdots,\beta_t$ 线性表出，而且 $s > t$，那么 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性相关。

定理 3：如果 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 与 $\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\cdots,\alpha_{j_t}$ 都是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的极大线性无关组，则 $r = t$。

矩阵的秩

$A$ 为矩阵，$A$ 的行向量组的秩称为行秩，$A$ 的列向量组的秩称为列秩，则 $A$ 的行秩 $=$ $A$ 的列秩 $=$ $A$ 的秩。

定理：对矩阵做初等行（列）变换，不改变矩阵的秩（行秩和列秩）。

证明：行秩显然不变。

对 $A$ 做初等行变换转化为 $B$，即有可逆阵 $P \in M_m(F)$ 使得 $PA = B$，只需证明 $P(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 与 $(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解相同。

显然成立。

推论：$A$ 是一矩阵，若 $P,Q$ 都是可逆矩阵，则 $(PAQ)$ 的秩 $=$ $A$ 的秩。

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