微积分笔记（14）——带 Lagrange 余项的 Taylor 公式与平面函数曲线

微积分笔记（14）——带 Lagrange 余项的 Taylor 公式与平面函数曲线

Taylor 公式——带 Lagrange 余项

设 $f : (a,b) \to \mathbb{R}$，$x_0 \in (a,b)$。

Taylor 多项式

$$P_n(x – x_0) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)(x_0)}}{k!} (x – x_0)^k \\ = f(x_0) + f^{\prime}(x_0) (x – x_0) + \dfrac{f^{\prime \prime}(x_0)}{2!} (x – x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x – x_0)^n$$

Taylor 公式 1

设 $f^{(n)}(x_0)$ 存在，则 $f(x) = P_n(x – x_0) + o((x – x_0)^n)$ 或者 $f(x_0 + \Delta x) = P_n(\Delta x) + o(\Delta x^n)$。

也就是带 Peano 余项的 Taylor 公式。

Taylor 公式 2

设 $f$ 在 $(a,b)$ 内有 $n + 1$ 阶导数，$\forall x_0,x \in (a,b),\exists \xi$ 在 $x_0$ 和 $x$ 之间，使得 $f(x) = P_n(x – x_0) + R_n(x)$。其中 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x – x_0)^{n + 1}$，称为 $f$ 在 $x_0$ 点的 $n$ 阶 Taylor 展开的 Lagrange 余项。

证明：即证明：

$$\dfrac{f(x) – P_n(x – x_0)}{(x – x_0)^{n + 1}} = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}$$
不妨令 $x_0 < x$。在 $[x_0,x]$ 上应用 Cauchy 中值定理，$\exists x_1 \in (x_0,x)$ 使得： $$\dfrac{f(x) - P_n(x - x_0)}{(x - x_0)^{n + 1}} = \dfrac{f^{\prime}(x_1) - P_n^{\prime}(x_1 - x_0)}{(n + 1)(x_1 - x_0)^n}$$ 在 $[x_0,x_1]$ 上应用 Cauchy 中值定理，$\exists x_2 \in (x_0,x_1)$ 使得： $$\dfrac{f^{\prime}(x_1) - P_n^{\prime}(x_1 - x_0)}{(n + 1)(x_1 - x_0)^n} = \dfrac{f^{\prime \prime}(x_2) - P_n^{\prime \prime}(x_2 - x_0)}{(n + 1) n (x_2 - x_0)^{n - 1}}$$ 同理可得： $$\dfrac{f(x) - P_n(x - x_0)}{(x - x_0)^{n + 1}} = \cdots = \dfrac{f^{(n + 1)}(x_{n + 1})}{(n + 1)!},x_{n + 1} = \xi \ \square$$ 注：令 $\xi = x_0 + \theta (x – x_0),\theta \in (0,1)$，可改写上面的证明。

对应的一些 Maclaurin 公式

$$e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x}{2!} +\cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{e^{\theta x}x^{n + 1}}{(n + 1)!},\forall x \\ \ln (1+x) = x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} – \cdots + \dfrac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + \dfrac{(-1)^n x^{n + 1}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n +1}},x > -1 \\ \sin x = x – \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} – \cdots + \dfrac{(-1)^n x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + \dfrac{(-1)^{n + 1} \cos (\theta x) x^{2n + 3}}{(2n + 3)!},\forall x \\ \cos x = 1 – \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} – \cdots + \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \dfrac{(-1)^{n + 1} \cos (\theta x) x^{2n + 2}}{(2n + 2)!},\forall x \\ (1 + x)^a = 1 + ax + \dfrac{a(a – 1)}{2!} x^2 + \cdots + \dfrac{a(a – 1) \cdots (a – n + 1)}{n!} x^n \\ + \dfrac{a(a – 1) \cdots (a – n) (1 + \theta x)^{a – n -1}}{(n + 1)!} x^{n + 1},x > -1$$

应用 1：线性插值函数的误差估计

给定 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内 $2$ 阶可导，定义：

$$l(x) = f(a) + \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a} (x – a)$$
称其为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的线性插值函数，求 $l$ 与 $f$ 的误差估计。

定理：设 $f \in C^2[a,b](f^{\prime \prime} \in C[a,b])$，则 $|l(x) – f(x)| \le \dfrac{1}{8}(b – a)^2 M_2,M_2 = \max|f^{\prime \prime}|$。

证明：

$$f(x) = \dfrac{b – x}{b – a}f(x) + \dfrac{x – a}{b – a}f(x) \\ l(x) – f(x) = \dfrac{b – x}{b – a}(f(a) – f(x)) + \dfrac{x – a}{b – a}(f(b) – f(x))$$

由 Taylor 公式 2 的二阶展开，得：

$$l(x) – f(x) = \dfrac{(b – x)(x – a)}{2}(\dfrac{x – a}{b – a}f^{\prime \prime}(\xi_1) + \dfrac{b – x}{b – a}f^{\prime \prime}(\xi_2))$$
设 $\lambda = \dfrac{x – a}{b – a} \in (0,1),1 – \lambda = \dfrac{b – x}{b – a}$。

则：

$$\dfrac{x – a}{b – a}f^{\prime \prime}(\xi_1) + \dfrac{b – x}{b – a}f^{\prime \prime}(\xi_2) = \lambda f^{\prime \prime}(\xi_1) + (1 – \lambda) f^{\prime \prime}(\xi_2)$$
在 $f^{\prime \prime}(\xi_1),f^{\prime \prime}(\xi_2)$ 之间，由介值定理立即得：
$$\exists c \in (a,b) \text{ 使得 } l(x) – f(x) = \dfrac{(b – x)(x – a)}{2}f^{\prime \prime}(c) \\ \therefore |l(x) – f(x)| \le \dfrac{1}{2} (b – x)(x – a) M_2 \le \frac{1}{8} (b – a)^2 M_2 \ \square$$

应用 2：$2$ 阶导数的离散近似

设 $f \in C^2[a,b]$，则 $\exists c \in (a,b)$ 使得：

$$f(a) – 2f(\dfrac{a + b}{2}) + f(b) = \dfrac{(b – a)^2}{4}f^{\prime \prime}(c)$$
特别当 $f \in C^2[a – b,a + b]$ 时，$\exists c \in (a – b,a + b)$ 使得：
$$\dfrac{f(a + b) – 2f(a) + f(a – b)}{b^2} = f^{\prime \prime}(c)$$
证明：利用 Taylor 展开：
$$f(x) – f(x_0) = f^{\prime}(x_0) (x – x_0) + f^{\prime \prime}(\xi)(x – x_0),\xi \text{ 在 } x_0 \text{ 和 } x \text{ 之间}$$
取 $x_0 = \dfrac{a + b}{2},x = a$ 以及 $x = b$。
$$f(a) – f(\dfrac{a + b}{2}) = f^{\prime}(\dfrac{a + b}{2})(a – \dfrac{a + b}{2}) + \dfrac{f^{\prime \prime}(\xi_1)}{2} (a – \dfrac{a + b}{2})^2,\xi_1 \in (a,\dfrac{a + b}{2}) \\ f(b) – f(\dfrac{a + b}{2}) = f^{\prime}(\dfrac{a + b}{2})(b – \dfrac{a + b}{2}) + \dfrac{f^{\prime \prime}(\xi_2)}{2} (b – \dfrac{a + b}{2})^2,\xi_2 \in (\dfrac{a + b}{2},b)$$
两式相加：
$$f(a) – 2f(\dfrac{a + b}{2}) + f(b) = \dfrac{f^{\prime \prime}(\xi_1) + f^{\prime \prime}(\xi_2)}{2} (\dfrac{b – a}{2})^2$$
由介值定理立即得证。$\square$

平面函数曲线

摆线、旋转线

设半径为 $a$ 的圆沿 $x$ 轴滚动，圆上一个定点的运动轨迹称为摆线。

令定点 $P$ 初始在原点，圆向 $x$ 轴正向滚动，令 $t$ 表示滚动的弧度角。

$P = (x(t),y(t))$ 为 $P$ 的坐标。

则 $x = at – a \sin t,y = a – a \cos t,t \in [0,2\pi]$。

如想求其过 $P$ 点的切线方程，只须计算其斜率。

则通过反函数可得 $y = y(t(x))$。

$$\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \dfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$$
若 $x^{\prime}(t) \not = 0$，则 $\dfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \dfrac{1}{x^{\prime}(t)}$。
$$\therefore \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)} = k,t \not = 0,t \not = 2 \pi$$
特例：在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 时，摆线的切线方程为 $y – y_0 = x – x_0,P(x_0,y_0)$。

一般情况

曲线 $L$ 的参数表示为：

$$x = x(t),y = y(t),a \le t \le b$$
若 $x(t),y(t)$ 可导，且 $x^{\prime}(t) \not = 0$，则：
$$\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}$$

极坐标

平面内除原点外任意一点均可用 $(r,\theta)$ 表示，其中 $r$ 表示到原点距离，$\theta$ 表示与 $x$ 轴正方向夹角。

其与直角坐标 $(x,y)$ 的关系为 $x = r \cos \theta,y = r \sin \theta,0 \le r < + \infty,0 \le \theta \le 2 \pi$（一般情况，有特例取值范围变化）。极坐标曲线记为：$r = r(\theta),\alpha \le \theta \le \beta$。由上述一般情况知：

$$\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{y^{\prime}(\theta)}{x^{\prime}(\theta)} = \dfrac{r^{\prime} \sin \theta + r \cos \theta}{r^{\prime} \cos \theta - r \sin \theta}$$

一些特例

半径为 $a$ 的圆：$r = a,0 \le \theta \le 2\pi,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = – \dfrac{x}{y}$

半径为 $a$ 与 $y$ 轴相切的圆：$r = 2a \cos \theta,|\theta| \le \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\dfrac{\cos (2\theta)}{\sin (2 \theta)}$

 微积分 笔记