离散数学笔记（10）——环和域
代数结构（代数系统）
代数系统的同态与同构
同态核
设 f 是从 ⟨X,⋆⟩ 到 ⟨Y,⊕⟩ 的同态映射，e⋆ 和 e⊕ 分别为其单位元，定义其同态核为 kerf={x∈X|f(x)=e⊕}。
定理：设 f 是从群 ⟨X,⋆⟩ 到群 ⟨Y,⊕⟩ 的同态映射，则 f 的同态核 K 是 X 的子群。
同态性质的保持
代数系统 ⟨X,⋆⟩ 和 ⟨Y,⊕⟩ ，X∽Y，f:X→Y 是同态映射，如果 ⟨X,⋆⟩ 中 ⋆ 满足交换、结合、有单位元、有零、每个元素可逆，则 ⟨f(X),⊕⟩ 中 ⊕ 也满足上述性质。
注意，同态性质的保持只是单向的。
环与域
环
给定代数系统 ⟨R,+,⋅⟩，若 R 上二元运算 + 和 ⋅ 满足：
- ⟨R,+⟩ 是交换群。
- ⟨R,⋅⟩ 是半群。
- ⋅ 对 + 可分配。
则称 ⟨R,+,⋅⟩ 是个环。
环的运算法则
设 ⟨R,+,⋅⟩ 是环，a,b,c∈R，符号的约定：
- 对 +：单位元由 0 表示（称为零元），a 的逆元用 −a 表示（称为负元）。
对 ⋅：单位元由 1 表示（若单位元存在），a 的逆元用 a−1 表示（若 a 的逆元存在）。
a+(−b)=a–b。
运算法则：
- a+(−a)=(−a)+a=0。
- 0+a=a+0=a。
- −(−a)=a。
- a+b=c⇔a=c+(−b)=c–b。
- −(a+b)=–a–b,−(a–b)=–a+b。
- a⋅0=0⋅a=0。（0=a⋅0–a⋅0=a⋅(0+0)–a⋅0=a⋅0+0=a⋅0）
- (−a)⋅b=a⋅(−b)=−(a⋅b)。（a⋅b+(−a)⋅b=(a–a)⋅b=0）
- (−a)⋅(−b)=a⋅b。
- a⋅(b–c)=a⋅b–a⋅c,(a–b)⋅c=a⋅c–b⋅c。
零因子
设 ⟨R,+,⋅⟩ 是环，a,b∈R，且 a≠0,b≠0，但有 a⋅b=0，则称 a 是 R 的一个左零因子，b 是 R 的一个右零因子。若 a 既是左零因子，又是右零因子，则称 a 为 R 的一个零因子。
定理：⟨R,+,⋅⟩ 中无左（右）零因子，当且仅当对运算 ⋅ 满足可消去性。
环的分类
定义：设 ⟨R,+,⋅⟩ 是环：
- 若 ⟨R,⋅⟩ 是幺群（独异点），则称它是含幺环。
- 若 ⟨R,⋅⟩ 是交换半群，则称它是可交换环。
- R≠{0}，若 R 是交换含幺环，且无零因子，则称它是整环，即满足：
- ⟨R,+⟩ 是交换群。
- ⟨R,⋅⟩ 是可交换幺群。
- ⋅ 对 + 可分配。
- 无零因子。
- R 至少有两个元素，令 R∗=R–{0}，若 ⟨R∗,⋅⟩ 是群，则称它是除环。
环的同态与同构
设 R 与 R′ 是环，f 是 R→R′ 的映射，若对 ∀a,b∈R，有：
f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)
则 f 称为由 R 到 R′ 的一个同态（映射）。
若 f 是单射，则称 f 是一个单同态。
若 f 是满射，则称 f 是一个满同态，并记 R∼R′。
若 f 是双射，则称 f 是一个同构，并记 R∼=R′。
定义：设 f 是环 R 到 R′ 的一个同态，则集合：
kerf=f−1(0′)={x∈R|f(x)=0′}
称为 f 的同态核。
定理：
域
设 ⟨F,+,⋅⟩是个代数系统，F 至少有两个元素，如果 F 上二元运算 + 和 ⋅ 满足：
- ⟨F,+⟩ 是交换群。
- ⟨F–{0},⋅⟩ 是交换群。
- · 对 + 可分配。
称 ⟨F,+,⋅⟩ 是个域。
定理 1：设 ⟨F,+,⋅⟩是域，则 F 中无零因子。
定理 2：域必是整环。
证明：因为域是可交换含幺环，又无零因子，所以也是整环。
整环与域的区别：只差可逆性。
定理 3：一个有单位元 1 的有限整环必是域。
格
格的定义
⟨A,≼⟩ 是偏序集，如果任何 a,b∈A，使得 {a,b} 都有下确界和上确界，则称 ⟨A,≼⟩ 是格。
平凡格
所有全序都是格，称为平凡格。
由格诱导的代数系统
设 ⟨A,≼⟩ 是格，在 A 上定义二元运算 ∨ 和 ∧ 为：
∀a,b∈Aa∨b={a,b} 的上确界a∧b={a,b} 的下确界
称 ⟨A,∨,∧⟩ 是由格 ⟨A,≼⟩ 诱导的代数系统。
子格
设 ⟨A,≼⟩ 是格，⟨A,∨,∧⟩ 是由格 ⟨A,≼⟩ 诱导的代数系统。
B 是 A 的非空子集，如果 ∨ 和 ∧ 在 B 上封闭，则称 ⟨B,≼⟩ 是 ⟨A,≼⟩ 的子格。
格的对偶原理
设 P 是对任何格都为真的命题，如果将 P 中的 ≼ 换成 ≽，∧ 与 ∨ 互换，就得到命题 P′，称 P′ 为 P 的对偶命题，则 P′ 对任何格也是为真的命题。
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