微积分笔记（22）——瑕积分和数值积分
反常积分（续）
瑕积分（奇异积分）
设 f:(a,b]→R 且 ∀A∈(a,b),f∈R[A,b]，定义：
∫baf(x)dx=limA→a+∫bAf(x)dx
若极限存在，则积分收敛，否则积分发散。
（在 x=a 附近 f(x) 可能无界）
类似地，若 f:[a,b)→R 且 ∀B∈(a,b),f∈R[a,B]，定义：
∫baf(x)dx=limB→b−∫Baf(x)dx
同理，如果 f:(a,b)→R 且满足类似要求，定义：
∀c∈(a,b),∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
仅当右侧两积分均收敛时，该积分才收敛。
又设 f:[a,c)∪(c,b]→R，x=c 是 f 的瑕点，定义：
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
仅当右侧两积分均收敛时，该积分才收敛。
除此之外，还有瑕积分与无穷积分的结合，也可以类似定义。
广义 Newton-Leibniz 公式
∫baf(x)dx=limx→bF(x)–limx→aF(x)=F(x)|ba
积分的几何应用
积分应用原理
- 计算可叠加的量——面积、体积、弧长。
- 分割之后便于计算，叠加得到近似值。
- 分割越细，误差越小，分割无限细得到精确值。
方法之一：微元叠加法
例 1：令 D 是 xy 平面上由 x=y 与 x+y2=2 二曲线围成的有界区域，求 D 的面积 A=？
解：
D={(x,y)|−2≤y≤1,y≤x≤2–y2}
任取 y∈[−2,1] 处的微元 dy，相应在 D 中截取“细条”区域。
其面积微元：
dA=[(2–y2)–y]dy
关于 y∈[−2,1] 叠加得到：
A=∫1−2[(2–y2)–y]dy
例 2：D 由 xy 平面上三条曲线 y=√2–x2,y=√x,x=0 围成。令 D 绕 y 轴旋转一周生成空间旋转体区域 Ω，求 Ω 的体积 V=？
解：
法一：任取 y∈[0,√2] 处微元 dy，相应得到 D 中“细条”区域，绕 y 轴旋转一周生成“薄圆盘”区域。
其体积微元：
dV=πR2(y)dy
其中：
R(y)={y20≤y≤1√2–y21<y≤2
其体积微元：
dV=2πx(√2–x2–√x)dx
关于 x∈[0,1] 叠加求和的：
V=∫102πx(√2–x2–√x)dx
同理可求得答案。
数值积分
问题与方法
对于可能找不到原函数的定积分，我需要回到 Riemann 和来逼近积分。
数值积分
取均匀分割：Δx=b–an,xi=a+iΔx,yi=f(xi),i=0,1,2,⋯,n。
左端点近似
Ln=n∑i=1f(xi–1)Δx=Δxn∑i=1yi–1=Δx(y0+y1+⋯+yn–1)≈∫baf(x)dx
右端点近似
Rn=n∑i=1f(xi)Δx=Δxn∑i=1yi=Δx(y1+y2+⋯+yn)≈∫baf(x)dx
梯形公式近似
Tn=n∑i=1f(xi–1+f(xi))2Δx=Δ2x(y0+2y1+2y2+⋯+2yn–1+yn)=12(Ln+Rn)
中点近似
取 ¯yi=f(xi–1+xi2)。
Mn=n∑i=1f(xi–1+xi2)Δx=Δx(¯y1+¯y2+⋯+¯yn)
误差估计
记：
I=∫baf(x)dxEL=|I–Ln|ER=|I–Rn|ET=|I–Tn|EM=|I–Mn|
以左端点近似的误差估计为例：
I–Ln=n∑i=1∫xixi–1f(x)dx–n∑i=1f(xi–1)Δx=n∑i=1∫xixi–1[f(x)–f(xi–1)]dx
设 f∈C1[a,b]，则 max|f′|=M1<+∞。当 x∈[xi−1,xi] 时，由 Lagrange 中值定理，∃ξi∈(xi−1,xi)，使得： |f(x)−f(xi−1)|=|f′(ξi)(x−xi−1)|≤M(x−xi−1)∴|∫xixi−1[f(x)−f(xi−1)]dx|≤∫xixi−1|f(x)−f(xi−1)|dx≤M1∫xixi−1(x−xi−1)dx=M1Δx22∴EL≤n∑i=1M1Δx22=M1(b−a)22n
I–Mn=n∑i=1∫xixi–1[f(x)–f(xi–1+xi2)]dx
在 x∈[xi–1,xi] 时，应用 Taylor 展开，∃ξ∈[xi–1,xi]，使得：
f(x)–f(xi–1+xi2)=f′(xi–1+xi2)(x–xi–1+xi2)+f′′(ξi)2(x–xi–1+xi2)2|∫xixi–1[f(x)–f(xi–1+xi2)]dx|=|∫xixi–1f′′(ξi)2(x–xi–1+xi2)2dx|≤M22∫xixi–1(x–xi–1+xi2)2dx=M2223(Δx2)3∴EM≤n∑i=1M2(Δx)324=M2(b–a)324n2
推论：当 f′′≡0 时，ET=EM=0。
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