wzf2000 微积分笔记（22）——瑕积分和数值积分
Contents
反常积分（续）
瑕积分（奇异积分）
设 $f : (a,b] \to \mathbb{R}$ 且 $\forall A \in (a,b), f \in R[A,b]$，定义：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \lim_{A \to a^+} \int_A^b f(x) \mathrm{d} x
$$
若极限存在，则积分收敛，否则积分发散。
（在 $x = a$ 附近 $f(x)$ 可能无界）
类似地，若 $f : [a,b) \to \mathbb{R}$ 且 $\forall B \in (a,b),f \in R[a,B]$，定义：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \lim_{B \to b^-} \int_a^B f(x) \mathrm{d} x
$$
同理，如果 $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ 且满足类似要求，定义：
$$
\forall c \in (a,b),\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x
$$
仅当右侧两积分均收敛时，该积分才收敛。
又设 $f : [a,c) \cup (c,b] \to \mathbb{R}$，$x = c$ 是 $f$ 的瑕点，定义：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x
$$
仅当右侧两积分均收敛时，该积分才收敛。
除此之外，还有瑕积分与无穷积分的结合，也可以类似定义。
广义 Newton-Leibniz 公式
$$
\int_a^{b} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{x \to b} F(x) - \lim_{x \to a} F(x) = F(x) \Big |_a^{b}
$$
积分的几何应用
积分应用原理
- 计算可叠加的量——面积、体积、弧长。
- 分割之后便于计算，叠加得到近似值。
- 分割越细，误差越小，分割无限细得到精确值。
方法之一：微元叠加法
例 1：令 $D$ 是 $xy$ 平面上由 $x = y$ 与 $x + y^2 = 2$ 二曲线围成的有界区域，求 $D$ 的面积 $A =$？
解：
$$
D = \{(x,y) | -2 \le y \le 1, y \le x \le 2 - y^2 \}
$$
任取 $y \in [-2,1]$ 处的微元 $\mathrm{d} y$，相应在 $D$ 中截取“细条”区域。
其面积微元：
$$
\mathrm{d} A = [(2 - y^2) - y] \mathrm{d} y
$$
关于 $y \in [-2,1]$ 叠加得到：
$$
A = \int_{-2}^1 [(2 - y^2) - y] \mathrm{d} y
$$
例 2：$D$ 由 $xy$ 平面上三条曲线 $y = \sqrt{2 - x^2},y = \sqrt{x},x = 0$ 围成。令 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周生成空间旋转体区域 $\Omega$，求 $\Omega$ 的体积 $V = $？
解：
法一：任取 $y \in [0,\sqrt{2}]$ 处微元 $\mathrm{d} y$，相应得到 $D$ 中“细条”区域，绕 $y$ 轴旋转一周生成“薄圆盘”区域。
其体积微元：
$$
\mathrm{d} V = \pi R^2(y) \mathrm{d} y
$$
其中：
$$
R(y) =
\left\{
\begin{array}{}
y^2 & 0 \le y \le 1 \\
\sqrt{2 - y^2} & 1 < y \le 2
\end{array}
\right.
$$
关于 $y \in [0,\sqrt{2}]$ 求和得：
$$
V = \int_0^{\sqrt{2}} \pi R^2(y) \mathrm{d} y \\
= \pi (\int_0^1 y^4 \mathrm{d} y + \int_1^{\sqrt{2}} (2 - y^2) \mathrm{d} y) \\
= \pi (\dfrac{1}{5} + 2(\sqrt{2} - 1) - \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{3}) \\
= \pi (\dfrac{4\sqrt{2}}{3} - \dfrac{22}{15})
$$
法二：任取 $x \in [0,1]$ 处的微元 $\mathrm{d} x$，相应得到 $D$ 中“细条区域”绕 $y$ 轴旋转一周，生成“薄圆筒”区域。
其体积微元：
$$
\mathrm{d} V = 2 \pi x (\sqrt{2 - x^2} - \sqrt{x}) \mathrm{d} x
$$
关于 $x \in [0,1]$ 叠加求和的：
$$
V = \int_0^1 2 \pi x (\sqrt{2 - x^2} - \sqrt{x}) \mathrm{d} x
$$
同理可求得答案。
数值积分
问题与方法
对于可能找不到原函数的定积分，我需要回到 Riemann 和来逼近积分。
数值积分
取均匀分割：$\Delta x = \dfrac{b - a}{n},x_i = a + i \Delta x,y_i = f(x_i),i = 0,1,2,\cdots,n$。
左端点近似
$$
L_n = \sum_{i = 1}^n f(x_{i - 1}) \Delta x = \Delta x \sum_{i = 1}^n y_{i - 1} \\
= \Delta x (y_0 + y_1 + \cdots + y_{n - 1}) \thickapprox \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
右端点近似
$$
R_n = \sum_{i = 1}^n f(x_{i}) \Delta x = \Delta x \sum_{i = 1}^n y_{i} \\
= \Delta x (y_1 + y_2 + \cdots + y_{n}) \thickapprox \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
梯形公式近似
$$
T_n = \sum_{i = 1}^n \dfrac{f(x_{i - 1} + f(x_i))}{2} \Delta x \\
= \dfrac{\Delta}{2} x (y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \cdots + 2y_{n - 1} + y_n) \\
= \dfrac{1}{2} (L_n + R_n)
$$
中点近似
取 $\overline{y_i} = f(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2})$。
$$
M_n = \sum_{i = 1}^n f(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2}) \Delta x \\
= \Delta x (\overline{y_1} + \overline{y_2} + \cdots + \overline{y_n})
$$
误差估计
记：
$$
I = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \\
E_L = |I - L_n| \\
E_R = |I - R_n| \\
E_T = |I - T_n| \\
E_M = |I - M_n|
$$
以左端点近似的误差估计为例：
$$
I - L_n = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i - 1}} ^{x_i} f(x) \mathrm{d} x - \sum_{i = 1}^n f(x_{i - 1}) \Delta x \\
= \sum_{i = 1}^n \int_{x_{i - 1}}^{x_i} [f(x) - f(x_{i - 1})] \mathrm{d} x
$$
设 $f \in C^1[a,b]$，则 $\max|f^{\prime}| = M_1 < +\infty$。当 $x \in [x_{i - 1},x_i]$ 时，由 Lagrange 中值定理，$\exists \xi_i \in (x_{i - 1},x_i)$，使得：
$$
|f(x) - f(x_{i - 1})| = |f^{\prime} (\xi_i)(x - x_{i-1})| \le M (x - x_{i - 1}) \\
\therefore |\int_{x_{i - 1}}^{x_i} [f(x) - f(x_{i - 1})] \mathrm{d} x| \le \int_{x_{i - 1}}^{x_i} |f(x) - f(x_{i - 1})| \mathrm{d} x \le M_1 \int_{x_{i - 1}}^{x_i} (x - x_{i - 1}) \mathrm{d} x = \dfrac{M_1 \Delta x^2}{2} \\
\therefore E_L \le \sum_{i = 1}^n \dfrac{M_1 \Delta x^2}{2} = \dfrac{M_1(b - a)^2}{2n}
$$
同理可得：$E_R \le \dfrac{M_1(b - a)^2}{2n}$。根据教材还可推得：$E_T \le \dfrac{M_2(b - a)^3}{12n^2},M_2 = \max\limits_{[a,b]} |f^{\prime\prime}|$。分析中点公式的误差：
$$
I - M_n = \sum_{i = 1}^n \int_{x_{i - 1}}^{x_i} [f(x) - f(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2})] \mathrm{d} x
$$
在 $x \in [x_{i - 1},x_i]$ 时，应用 Taylor 展开，$\exists \xi \in [x_{i - 1},x_i]$，使得：
$$
f(x) - f(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2}) = f^{\prime}(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2}) (x - \dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2}) + \dfrac{f^{\prime \prime}(\xi_i)}{2}(x - \dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2})^2 \\
|\int_{x_{i - 1}}^{x_i} [f(x) - f(\dfrac{x_{i - 1} + x_i}{2})] \mathrm{d} x| \\
= |\int_{x_{i - 1}}^{x_i} \dfrac{f^{\prime \prime}(\xi_i)}{2} (x - \dfrac{x_{i - 1} +x_i}{2})^2 \mathrm{d} x| \le \dfrac{M_2}{2} \int_{x_{i - 1}}^{x_i} (x - \dfrac{x_{i - 1} +x_i}{2})^2 \mathrm{d} x \\
= \dfrac{M_2}{2}\dfrac{2}{3}(\dfrac{\Delta x}{2})^3 \\
\therefore E_M \le \sum_{i = 1}^n \dfrac{M_2 (\Delta x)^3}{24} = \dfrac{M_2 (b - a)^3}{24n^2}
$$
推论：当 $f^{\prime \prime} \equiv 0$ 时，$E_T = E_M = 0$。
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