微积分笔记（23）——参数曲线初步

微积分笔记（23）——参数曲线初步

参数曲线初步

参数曲线

$\mathbb{R}^n$——$n$ 维欧式空间。

$n = 2$：平面。

$n = 3$：空间。

向量 $\vec{v} \in \mathbb{R}^n$，$\left\{\begin{array}{}n = 2 & \vec{r} = (x,y) \\ n = 3 & \vec{r} = (x,y,z)\end{array}\right.$。

$\mathbb{R}^n$ 中的参数曲线

$$\Gamma : \vec{r} = \vec{r}(t),\alpha \le t \le \beta$$

或写成坐标形式：

$$n = 2,\Gamma : x = x(t),y = y(t),t \in [\alpha,\beta] \\ n = 3,\Gamma : x = x(t),y = y(t),z = z(t),t \in [\alpha,\beta]$$

特例

特例 1：$n = 2$

$$\Gamma : y = f(x),a \le x \le b$$
表示为参数形式：
$$\Gamma : x = t,y = f(t),a \le t \le b$$
或
$$\vec{r} = (t,f(t)),a \le t \le b$$
特例 2：
$$\Gamma : r = f(\theta),\alpha \le \theta \le \beta$$
也就是极坐标曲线。

化为直角坐标形式：

$$\Gamma : x = f(\theta) \cos \theta,y = f(\theta) \sin \theta,\alpha \le \theta \le \beta$$

曲线切向量

切向量

令 $\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t),\alpha \le t \le \beta$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中一参数曲线。

固定 $t_0 \in [\alpha,\beta],\vec{r} (t_0) \in \Gamma$，任取 $\Delta t \not = 0$，$t_0 + \Delta t \in [\alpha,\beta]$，则 $\vec{r} (t_0 + \Delta t) \in \Gamma,\vec{r} (t_0 + \Delta t) – \vec{r} (t_0)$ 为 $\Gamma$ 上一段割线。

$$\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\vec{r} (t_0 + \Delta t) – \vec{r} (t_0)}{\Delta t} = \vec{r}^{\prime} (t_0)$$
若存在且不为零向量，称为 $\Gamma$ 在 $\vec{r} (t_0)$ 点的切向量。

写成坐标形式（$n = 3$）：

$$\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t) = (x(t),y(t),z(t))$$
则：
$$\vec{r}^{\prime} (t_0) = (x^{\prime}(t_0),y^{\prime}(t_0),z^{\prime}(t_0))$$
由此得到 $\Gamma$ 在 $\vec{r} (t_0)$ 点的切线方程：
$$L :\vec{r} = \vec{r} (t_0) + \lambda \vec{t}^{\prime}(t_0),\lambda \in \mathbb{R}$$
记 $\vec{r} (t_0) = (x_0,y_0,z_0)$，则可以将 $L$ 表示成直角坐标形式：
$$\dfrac{x – x_0}{x^{\prime}(t_0)} = \dfrac{y – y_0}{y^{\prime}(t_0)} = \dfrac{z – z_0}{z^{\prime}(t_0)}$$
特例：$n=2$：
$$y – y_0 = \dfrac{y^{\prime}(t_0)}{x^{\prime}(t_0)} (x – x_0)$$
又若 $\Gamma : y = f(x)$,$x^{\prime} = 1,y^{\prime} = f^{\prime}(x)$。
$$\therefore y – y_0 = f^{\prime}(x_0) (x – x_0)$$

光滑曲线（”每一点都有切向量“）

令 $\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t) = (x(t),y(t),z(t)),\alpha \le t \le \beta$。

若 $x(t),y(t),z(t) \in C^1[\alpha,\beta]$，且：

$$\| \vec{r}^{\prime} (t) \| = \sqrt{x^{\prime}(t)^2 + y^{\prime}(t)^2 + z^{\prime}(t)^2} \not = 0$$
则称 $\Gamma$ 为光滑曲线。

注：$\vec{r}(t_1) = \vec{r}(t_2)$ 且 $t_1 \not = t_2$——$\Gamma$ 有自交点。

今后讨论通常排除自交曲线，除非$t_1 = \alpha,t_2 = \beta$。

光滑曲线的弧长

给定（光滑）曲线 $\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t),\alpha \le t \le \beta$。

问题

$\Gamma$ 的弧长，$s(\Gamma)$ = ？

弧长的定义（用折线逼近）

1. 将 $\Gamma$ 分段，分点依次为 $P_0,P_1,P_2,\cdots,P_n(\forall n \in \mathbb{N})$。

2. 记 $|P_{i – 1} P_i|$ 表示 $P_{i – 1}$ 到 $P_i$ 的距离，令 $\overset{\LARGE{\frown}}{P_{i – 1} P_i}$ 表示 $P_{i – 1}$ 到 $P_i$ 沿 $\Gamma$ 的弧长，则 $|P_{i – 1}P_i| \thickapprox \overset{\LARGE{\frown}}{P_{i – 1} P_i}$。

3. 求和 $s(r) = \sum\limits_{i = 1}^n \overset{\LARGE{\frown}}{P_{i – 1} P_i} = \sum_{i = 1}^n |P_{i – 1}P_i|$。

4. 把 $\| \pi \| = \max\limits_{i = 1,\cdots,n} |P_{i – 1} P_i|$，定义：
   

   $$s(r) = \lim_{\| \pi \| \to 0} \sum_{i = 1}^n |P_{i – 1} P_i|$$

光滑曲线弧长的计算

令 $\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t) = (x(t),y(t)),\alpha \le t \le \beta$ 且 $x(t),y(t) \in C^1[a,b],x^{\prime}(t)^2 + y^{\prime}(t)^2 \not = 0$。

1. 取 $[\alpha,\beta]$ 上的有限分割：
   $$\pi : \alpha = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta,\Delta t_i = t_i - t_{i - 1}$$ 相应得到 $\Gamma$ 上的分点：$\vec{r}(t_0),\vec{r}(t_1),\cdots,\vec{r}(t_n),\| \pi \| = \max \Delta t_i$。

2. $\| \vec{r}(t_i) – \vec{r}(t_{t – 1}) \| = \sqrt{(x(t_i) – x(t_{i – 1}))^2 + (y(t_i) – y(t_{i – 1}))^2}$。

   由中值定理，$\exists \xi_i,\eta_i \in [t_{i – 1},t_i]$ 使得：
   

   $$\| \vec{r}(t_i) – \vec{r}(t_{i – 1}) \| = \sqrt{x^{\prime}(\xi_i)^2 + y^{\prime}(\eta_i)^2} \Delta t_i,i = 1,2,\cdots,n$$

3. 由此得到（可以证明）：
   

   $$s(r) = \lim_{\| \pi \| \to 0} \sum_{i = 1}^n \sqrt{x^{\prime}(\xi_i)^2 + y^{\prime}(\eta_i)^2} \Delta t_i = \int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime}(t)^2 + y^{\prime}(t)^2} \mathrm{d} t$$

结论：令 $\Gamma : \vec{r} = \vec{r} (t),\alpha \le t \le \beta$ 为光滑曲线，则 $\Gamma$ 的弧长：

$$s(r) = \int_\alpha^\beta \| \vec{r}^{\prime}(t) \| \mathrm{d} t$$
记号：
$$\mathrm{d} s = \| \vec{r}^{\prime}(t) \| \mathrm{d} t = \| \mathrm{d} \vec{r} \|$$
称为弧长微元。

特例 1：$n = 2$：

$$\Gamma : y = f(x),a \le x \le b,f \in C^1[a,b] \\ \mathrm{d} s = \sqrt{1 + f^{\prime}(x)^2} \mathrm{d} x \\ s(r) = \int_a^b \sqrt{1 + f^{\prime}(x)^2} \mathrm{d} x$$
特例 2：$n = 2$，极坐标曲线：
$$\Gamma : r = r(\theta),\alpha \le \theta \le \beta$$
参数表示：
$$\Gamma : x = r(\theta) \cos \theta,y = r(\theta) \sin \theta \\ \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta} = r^{\prime} \cos \theta – r \sin \theta,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta} = r^{\prime} \sin \theta + r \cos \theta \\ (\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta})^2 + (\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta})^2 = r^{\prime}(\theta)^2 + r(\theta)^2 \\ \mathrm{d} s = \sqrt{r^{\prime}(\theta)^2 + r(\theta)^2} \mathrm{d} \theta \\ s(r) = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^{\prime}(\theta)^2 + r(\theta)^2} \mathrm{d} \theta$$

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