微积分笔记（28）——常系数线性方程（2）

微积分笔记（28）——常系数线性方程（2）

常系数线性方程（续）

求解非齐次方程

观察法——适用于方程较简单。

常数变异法——适用于方程阶数较低（$n = 1,2,3$）。

待定系数法——适用于 $f(x) = P_m(x) e^{\mu x}(= \sum\limits_{i = 1}^k P_{m_i} e^{\mu_i x})$。

叠加原理

记 $L(y) = y^{(n)} + a_1 y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1} y^{\prime} + a_n y$。

若 $y_1,y_2$ 满足方程 $L(y_1) = f_1(x),L(y_2) = f_2(x)$，则 $y = \alpha y_1 + \beta y_2$ 满足方程 $L(y) = \alpha f_1 + \beta f_2$。

求解方法之四：待定系数法——适用于常系数情况

假设非齐次方程有一个解：$y_* = Q(x) e^{\mu x}$，$Q(x)$ 为待定多项式。

以 $n = 2$ 为例，分析 $Q(x)$ 的选取方法：

$$y^{\prime \prime} + a y^{\prime} + by = P_m(x) e^{\mu x}$$
这时 $y_*^{\prime} = (Q^{\prime} + \mu Q) e^{\mu x},y_*^{\prime\prime} = (Q^{\prime\prime} + 2 \mu Q^{\prime} + \mu^2 Q) e^{\mu x}$。

代入方程得：

$$[Q^{\prime \prime} + (2 \mu + a) Q^{\prime} + (\mu^2 + a\mu + b)Q] = P_m$$

1. 若 $\mu$ 不是特征方程的根，可取 $Q(x) = Q_m(x)$——$m$ 次待定系数多项式。
2. 若 $\mu$ 是特征方程的一重根，可取 $Q(x) = x Q_{m}(x)$。
3. 若 $\mu$ 是特征方程的二重根，可取 $Q(x) = x^2 Q_m(x)$。

注：若 $\mu$ 是特征方程一重根，则 $e^{\mu x}$ 为齐次方程解。。

若 $\mu$ 是特征方程二重根，则 $e^{\mu x},x e^{\mu x}$ 都是齐次方程解。

推广到 $n$ 阶方程：$f(x) = P_m(x) e^{\mu x}$。

若 $\mu$ 是特征方程 $\lambda^n + a_1 \lambda^{n – 1} + \cdots + a_n = 0$ 的 $k$ 重根（$k = 0,1,\cdots,n$），则可取非齐次方程解 $y_* = x^k Q_m(x) e^{\mu x}$。

注：$f(x) = P_m(x) e^{\mu x}$，$P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式，$\mu$ 可以是复数。

设 $\mu = \alpha + \mathrm{i} \beta$，则 $f(x) = \mathrm{Re}(f) + \mathrm{i} \mathrm{Im}(f) = P_m(x) e^{\alpha x} \cos \beta x + \mathrm{i} P_m(x) e^{\alpha x} \sin \beta x$。

令 $y = u + \mathrm{i} v$ 满足方程 $L(y) = f$，则 $L(u + \mathrm{i} v) = f = L(u) + \mathrm{i} L(v) = \mathrm{Re} (f) + \mathrm{Im} (f) \Leftrightarrow L(u) = \mathrm{Re} (f),L(v) = \mathrm{Im} (f)$。

上学期完结撒花！！！（全然忽略自己在期末考试中被打爆的事实）

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