线性代数笔记（17）——线性变换

线性代数笔记（17）——线性变换

线性变换

线性变换

设 $V,W$ 都是 $R$ 上的线性空间，映射 $\sigma : V \to W$ 满足：

1. $\forall \alpha,\beta \in V$，都有 $\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$。
2. $\forall k \in \mathbb{R}$，$\forall \alpha \in V$，都有 $\sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$。

称 $\sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换。

设 $\dim V = n,\dim W = m$，设 $\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n$ 是 $V$ 的一组基，$\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m$ 是 $W$ 的一组基。

$$\sigma(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n):=(\sigma(\mathbf{v}_1),\cdots,\sigma(\mathbf{v}_n)) \\ = (\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m) A$$

称 $A$ 是 $\sigma$ 在输入基 $\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n$ 到输出基 $\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m$ 下对应的矩阵。

过渡矩阵

设 $V$ 的一组基 $(\widetilde{\mathbf{v}_1},\cdots,\widetilde{\mathbf{v}_n}) = (\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n) P$，则 $P$ 可逆。

称 $P$ 为 $\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n$ 到 $\widetilde{\mathbf{v}_1},\cdots,\widetilde{\mathbf{v}_n}$ 的过渡矩阵。

设 $W$ 的一组基 $(\widetilde{\mathbf{w}_1},\cdots,\widetilde{\mathbf{w}_n}) = (\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_n) Q$，则 $Q$ 可逆。

$\sigma(\widetilde{\mathbf{v}_1},\cdots,\widetilde{\mathbf{v}_n}) = (\widetilde{\mathbf{w}_1},\cdots,\widetilde{\mathbf{w}_n}) B$，则 $B = Q^{-1} A P$。

特殊变换

$\forall \alpha \in V$：

1. 定义 $\sigma(\alpha) = \mathbf{0} \in W$ 称为零变换，记为 $o$ 或者 $\mathbf{0}$。

2. 定义 $\sigma(\alpha) = \alpha \in V$ 称为恒等变换，记为 $I_V$。

3. 给定 $c \in \mathbb{R},T :\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\mathbf{x} \to c \mathbf{x}$ 称为 $\mathbb{R}^3$ 上的数乘变换。一般地，给定 $k \in \mathbb{F},T : V \to V,\mathbf{x} \to c \mathbf{x}$ 称为 $V$ 上由 $k$ 决定的数乘变换。
4. 设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，则 $T(\mathbf{x}) := A \mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性变换。若 $A$ 是 $n \times n$ 实矩阵，则 $T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 到自身的线性变换。
5. 求导运算和变上限定积分也可以看成是一种线性变换。
6. 向量的旋转变换、投影变换、反射变换也是线性变换。

核与值域

设 $\sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换，定义 $\sigma$ 的核为 $\ker \sigma = \{\alpha \in V | \sigma(\alpha) = \mathbf{0} \ \} \subseteq V$。

定义 $\sigma$ 的值域为 $\mathrm{Im}\ \sigma = \{ \sigma(\alpha) | \alpha \in V\} \subseteq W$。

一个记号

记 $\mathcal{L} (V,W)$ 为线性空间 $V$ 到线性空间 $W$ 上所有线性变换的集合。

复合变换

$\tau \in \mathcal{L}(U,V),\sigma \in \mathcal{L}(V,W),\forall \alpha \in U$，定义 $(\sigma \cdot \tau)(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha))$ 为 $\sigma$ 与 $\tau$ 的复合变换。

性质：

1. $\sigma(\tau \gamma) = (\sigma \tau)\gamma$

2. $\sigma(\tau + \gamma) = \sigma \tau + \sigma \gamma$

3. $(\sigma + \tau) \gamma = \sigma \gamma + \tau \gamma$

4. $k(\sigma + \tau) = k \sigma + k \tau$

5. $\sigma I = I \sigma = \sigma$

6. $\sigma \mathbf{0} = \mathbf{0} \sigma = \mathbf{0}$

逆变换

若 $\sigma \in \mathcal{L}(V,V)$，若存在 $\tau \in \mathcal{L}(V,V)$，使得：

$$\sigma \tau = \tau \sigma = I$$
则称 $\sigma$ 是可逆线性变换，$\tau$ 与 $\sigma$ 互为逆变换，记为 $\tau = \sigma^{-1}$。

由于线性变换的乘法满足结合律，故可定义线性变换 $\sigma \in \mathcal{L}(V,V)$ 的正整数幂：

$$\sigma^m := \underbrace{\sigma \cdot \sigma \cdots \sigma}_{m \text{ 个}}$$

规定 $\sigma^0 = I$。

容易验证，对于任意非负整数 $m,n$ 有：

$$\sigma^m \cdot \sigma^n = \sigma^{m + n},(\sigma^m)^n = \sigma^{mn}$$
当 $\sigma$ 可逆时，定义 $\sigma$ 的负整数幂：
$$\sigma^{-m} = (\sigma^{-1})^m,m \in \mathbb{N}^*$$
注：将矩阵 $A$ 代入其特征多项式，得到零矩阵，可知此变换为零变换。

坐标

$\forall \alpha \in V$，$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n$ 为其一组基，则称 $\alpha$ 用 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n$ 表示的系数向量 $\mathbf{x}(\alpha = (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n) \mathbf{x})$ 为其在此基下的坐标。

线性空间的同构

两个线性空间 $V_1,V_2$，若 $\exists \sigma : V_1 \to V_2$， $\sigma$ 是双射（一一对应），且满足：

1. $\forall \alpha,\beta \in V_1,\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
2. $\forall k \in \mathbb{F},\alpha \in V_1,\sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$

称 $\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构映射。

定理：设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，则其必同构于 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $\mathbb{F}^n$。

故两个线性空间同构（同一数域上），只需两个线性空间维数相同。

线性变换与矩阵之间的关系

复合变换对应于矩阵乘积，逆变换对应于矩阵的逆。

线代完结撒花！！！请让我忽略还有期末考试的事实

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