微积分笔记（31）——函数列与函数项级数（1）
函数列与函数项级数
函数项级数及其主要问题
函数项级数定义
级数中每项都是函数。
∞∑n=1un(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+u4(x)+⋯
其中所有函数都在某公共区间 [a,b] 上有定义。
收敛点集
使得函数项级数收敛的点的集合。
D={x0∈[a,b]|∞∑n=1un(x0) 收敛}
和函数
定义在收敛点集上的函数项级数的和。
S:D→R,S(x)=∞∑n=1un(x)
函数项级数的问题
令函数项级数及其和函数如上，无穷项和函数的性质是否与有限项和函数的性质相同？
不妨令 D=I 为一个区间（开，闭，有界，无界）。
包括连续性、可积性，可微性等。
可以考虑实例：
∞∑n=1(xn–1–xn)
在 x=1 不连续，极限与求和交换次序后结果也不同。
又比如：
∞∑n=1sinnxn2
在 x=2kπ 时，不能在这些点逐项求导。
一致收敛概念的引入
连续性分析
令函数项级数及其和函数如前，任取 x,x0∈I，考察：
S(x)–S(x0)=∞∑n=1[un(x)–un(x0)]=N∑n=1[un(x)–un(x0)]+∞∑n=N+1[un(x)–un(x0)]
为证连续性，需说明 |x–x0| 充分小时 |S(x)–S(x0)| 充分小。
- 取 |x–x0| 充分小，可使得前一项充分小。
- 取 N 充分大，可使得后一项充分小。
面临的困难
S(x)–S(x0)=N∑n=1[un(x)–un(x0)]+∞∑n=N+1un(x)–∞∑n=N+1un(x0)
取 |x–x0| 多小？与 N 有关（需要 N 固定）：
取 N 多大？与 x 有关（但 x 难以固定）！
可选择的办法：假设 N 与 x 无关（“收敛速度”与 x 无关）。
一致收敛概念
级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛，如果：
∀ε>0,∃n0∈N,∀n>n0,m=1,2,3,⋯|m∑k=1un+k(x)|<ε,∀x∈I等价定义：
∀ε>0,∃n0∈N,∀n>n0,supx∈I|∞∑k=1un+k(x)|<ε
注：
1. 定义相当于 limn→∞[supx∈I|∞∑k=1un+k(x)|]=0。
2. ∞∑k=1un+k(x)=∞∑k=1uk(x)–n∑k=1uk(x)=S(x)–Sn(x)。
回忆连续性分析
任取 x,x0∈I，有：
|S(x)–S(x0)|≤N∑n=1|un(x)–u(x0)|+|∞∑n=N+1un(x)|+|∞∑n=N+1un(x0)|
设函数级数一致收敛，则 ∀ε>0,∃n0∈N,∀n>n0,supx∈I|∞∑k=1un+k(x)|<ε4。取定 N=n0，令每个 un∈C(I)，则 ∃δ>0，使得：
∀|x–x0|<δ,|un(x)−un(x0)|<ε2N,n=1,2,⋯,N
代入上式便得，∀|x−x0|<δ：
|S(x)−S(x0)|<ε2N⋅N+ε4+ε4=ε
即 S(x) 在 x0 点连续。
和函数连续性
假设：
- un∈C(I),n=1,2,⋯；
- ∞∑n=1un(x) 在 I 上一致收敛。
则和函数 S(x)=∞∑n=1un(x)∈C(I)。
因而极限与求和可以换序：
limx→x0∞∑n=1un(x)=∞∑n=1limx→x0un(x),∀x0∈I
一致收敛的判别方法
Weierstrass 判别法（强级数判别法）
若 supx∈I|un(x)|≤an,n=1,2,⋯，且级数 ∑an 收敛，则 ∞∑n=1un(x) 在区间 I 上一致收敛。
注：
1. 上面 ∑an 称为 ∞∑n=1un(x) 的强级数（优级数/控制级数）。
2. W-判别法是充分条件（得到绝对一致收敛），但不是必要的。
3. 为证明连续性，可利用一致收敛区间的任意性，得到连续区间的任意性，进而证明连续性。
Dirichlet-Abel 判别法
设下面条件满足，则级数 ∑an(x)bn(x) 在 I 上一致收敛：
- ∑an(x) 的部分和函数列 {Sn(x)} 在区间 I 上一致有界；
- 函数列 {bn(x)} 单调且在 I 上一致趋于 0；
或者：
- ∑an(x) 在 I 上一致收敛；
- 函数列 {bn(x)} 单调且在 I 上一致有界。
证明略。
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