微积分笔记（32）——函数列与函数项级数（2）

微积分笔记（32）——函数列与函数项级数（2）

函数列与函数项级数

函数项级数和函数性质分析

和函数的可积性

设 $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于和函数 $S(x)$。

令 $[a, b] \subset I, u_n \in R[a, b],n = 1, 2, \cdots$

则 $S \in R[a, b]$，且：

$$\int_a^b S(x) \, \mathrm{d} x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \int_a^b u_n(x) \, \mathrm{d} x$$
证明和函数可积：和函数有界且间断点是零测集。

有界：$\exists n_0 \in \mathbb{N}, \sup\limits_{x \in [a, b]} |S(x) – S_{n_0}(x)| \le 1, \sup\limits_{x \in [a, b]} |S(x)| \le 1 + \sup\limits_{x \in [a, b]} |S_{n_0}(x)|$

零测集：$Dis(S) \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty Dis(u_n)$（可数个零测集的并还是零测集）

证明逐项积分等式：

$$\begin{align*} \int_a^b S(x) \, \mathrm{d} x & = \int_a^b \left[\sum_{k = 1}^n u_k(x) + \sum_{k = n + 1}^\infty u_k(x)\right] \, \mathrm{d} x \\ & = \sum_{k = 1}^n \int_a^b u_k(x) \, \mathrm{d} x + \int_a^b \left[\sum_{k = n + 1}^\infty u_k(x)\right] \, \mathrm{d} x \end{align*}$$
导出：
$$\left|\int_a^b S(x) \mathrm{d} x – \sum_{k = 1}^n \int_a^b u_k(x) \, \mathrm{d} x \right| \le \int_a^b \left|\sum_{k = n + 1}^\infty u_k(x)\right| \, \mathrm{d} x$$
由一致收敛性：$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \sup\limits_{x \in [a, b]} \left|\sum\limits_{k = n + 1}^\infty u_k(x)\right| < \dfrac{\varepsilon}{b - a}$。代入上式取极限即可证明。

和函数可微性

设 $u_n \in C^1(I), n = 1, 2, \cdots$，$\sum u^\prime_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，如果 $\sum u_n(x)$ 在某点 $c \in I$ 收敛，则：

1. $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上处处收敛，记 $S(x) = \sum u_n(x)$；
2. $S \in C^1(I)$ 且 $S'(x) = \sum u^\prime_n(x)$。（逐项求导）

证明：记 $T(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty u^\prime_n(x)$。

由和函数连续性：$T \in C(I)$。

由逐项积分性质：

$$\int_c^x T(t) \, \mathrm{d} t = \sum_{n = 1}^\infty \int_c^x u^\prime_n(x) \, \mathrm{d} x = \sum_{n = 1}^\infty (u_n(x) – u_n(c)) = \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) – \sum_{n = 1}^\infty u_n(c)$$

可见和函数收敛且：

$$S(x) = \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty u_n(c) + \int_c^x T(t) \, \mathrm{d} t$$
由变上限积分求导公式：
$$S^\prime(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[\sum_{n = 1}^\infty u_n(c) + \int_c^x T(t) \, \mathrm{d} t\right] = T(x) = \sum_{n = 1}^\infty u^\prime_n(x)$$
最后注意 $T \in C(I)$，所以 $S \in C^1(I)$。$\square$

幂级数及其收敛域

幂级数

$$\sum_{n = 0}^\infty a_n (x – x_0)^n = a_0 + a_1 (x – x_0) + a_2 (x – x_0)^2 + \cdots$$

其中 $\{a_n\}$ 称为系数数列，$x_0 \in \mathbb{R}$ 固定，$x \in \mathbb{R}$ 为自变量。

注：经常可以取 $x_0 = 0$。（平移变换）

Abel 引理

考虑幂级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n (x – x_0)^n$：

1. 如果在 $x = x_1$ 幂级数收敛，则对于所有 $|x – x_0| < |x_1 - x_0|$，幂级数绝对收敛；
2. 如果在 $x = x_2$ 幂级数发散，则对于所有 $|x – x_0| > |x_2 – x_0|$，幂级数发散。

推论：幂级数的收敛点集只有一下三种情况：
– $I = \{x_0\}$：级数仅在一点收敛。
– $I = \mathbb{R}$：级数处处收敛。
– 级数在 $|x – x_0| > R$ 时发散，$|x – x_0| < R$ 时收敛。（等于时无法判断）证明：只须证明 1。

已知级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n (x_1 – x_0)^n$ 收敛，不妨令 $x_1 \not = x_0$。

取 $|x – x_0| < |x_1 - x_0|$，考察：

$$|a_n(x - x_0)^n| = |a_n(x_1 - x_0)^n \frac{(x - x_0)^n}{(x_1 - x_0)^n}| \le |a_n (x_1 - x_0)^n| \cdot \left|\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right|^n$$ 收敛级数通项趋于零，易得右侧趋于 $0$，故由比较判别法得证。$\square$

收敛半径

综上，三种情况同一表示为 $\exists R \in [0, +\infty]$——收敛半径。

特别约定：
– $R = 0 \Leftrightarrow I = \{x_0\}$
– $R = +\infty \Leftrightarrow I = \mathbb{R}$

收敛半径的计算

法 1：考察幂级数通项的根式极限：

$$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n (x – x_0)^n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n |} (x – x_0)$$
应用 Cauchy 根式判别法。

法 2：考虑幂级数通项的前后项比：

$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| |x – x_0|$$

1. 设 $\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$，则 $R = \frac{1}{\rho}$。（$0$ 和 $+\infty$ 时类似）
2. 如果 $\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n + 1}}{a_n}| = \rho$，则 $R = \frac{1}{\rho}$。

注：上极限总是存在，但极限不一定。

内闭一致收敛

$\forall r \in (0, R)$ 幂级数在 $|x – x_0| \le r$ 上一致收敛。

幂级数的光滑性

• 逐项求导后：$\sum na_n (x – x_0)^{n – 1}$
• 逐项积分后：$\sum \frac{a_n}{n + 1} (x – x_0)^{n + 1}$

可以发现收敛半径不变。

设其收敛半径为 $R$，则：

• 其和函数在 $|x – x_0| < R$ 内有任意阶倒数，换言之：
• 幂级数可以逐项求导，逐项积分，且收敛半径不变。

$S(x) \in C^\infty(x_0 – R, x_0 + R)$

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