微积分笔记（33）——函数列与函数项级数（3）

微积分笔记（33）——函数列与函数项级数（3）

函数列与函数项级数

函数的幂级数展开

给定某区间上函数 $f : (x_0 – R, x_0 + R) \to \mathbb{R}$ 是否可以表示为幂级数：

$$f(x) = \sum_{i = 0}^\infty a_n (x – x_0)^n, |x – x_0| < R$$

必要条件

若上式成立，则必有：

1. $f \in C^\infty(x_0 – R, x_0 + R)$
2. $a_m = \frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}, m = 0, 1, 2, \cdots$

注意：

$$f^{(m)}(x) = \sum_{n = m}^\infty n (n – 1) \cdots (n – m + 1) a_n (x – x_0)^{n – m}$$

Taylor 级数

设函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 点有任意阶导数，记：

$$f(x) \sim \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x – x_0)^n$$
右端称为 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 点的 Taylor 级数。（形式幂级数）

Maclaurin 级数

特例 $x_0 = 0$：

$$f(x) \sim \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

问题

1. Taylor 级数的收敛域如何？
2. 收敛域内，等号是否成立？

可以考虑：

$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \not = 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

定理

定理 1：

在上面条件下：

$$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x – x_0)^n$$
当且仅当 $\lim\limits_{N \to \infty} R_N(x) = 0$。

定理 2：

设 $f \in C^\infty(x_0 – R, x_0 + R)$，且存在 $M > 0$ 使得：

$$\forall |x – x_0| < R, n 充分大，\left|f^{(n)}(x)\right| \le M$$ 则 Taylor 级数展开成立： $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n, |x - x_0| < R$$ 证明：只须估计 Taylor 多项式展开的余项：
$$|R_N(x)| \le \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(N + 1)!} \left|(x – x_0)^{N + 1}\right| \le \frac{M \cdot R^{N + 1}}{(N + 1)!} \to 0 \ \ \square$$

周期函数的三角级数展开

问题提出

给定 $2\pi$ 周期函数 $f(x)$ 是否可以分解为下列三角函数的和：

$$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

三角函数系（公共周期 $T$）

$T = 2\pi : 1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots, \cos nx, \sin nx, \cdots$

$T = 2l : 1, \cos \frac{\pi x}{l}, \sin \frac{\pi x}{l}, \cdots, \cos \frac{n \pi x}{l}, \sin \frac{n \pi x}{l}, \cdots$

正交性质

$n, m = 0, 1, 2, \cdots$

$$n \not = m : \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx \, \mathrm{d} x = 0 \\ n \not = m : \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx \, \mathrm{d} x = 0 \\ \int_{-\pi}^\pi \cos nx \sin mx \, \mathrm{d} x = 0$$
（利用积化和差公式）

展开式系数计算

假设三角级数在 $[-\pi, \pi]$ 上一致收敛于可积函数：

$$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

1. 两端同乘 $\cos mx$ 之后积分（可以逐项积分）：
   $$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx \, \mathrm{d} x = \sum_{n = 0}^\infty [a_n \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx \, \mathrm{d} x + b_n \int_{-\pi}^\pi \sin nx \cos mx \, \mathrm{d} x] \\ = a_m \int_{-\pi}^\pi \cos^2 mx \, \mathrm{d} x = \begin{cases} 2 \pi a_0 & m = 0 \\ \pi a_m & m = 1, 2, \cdots \end{cases}$$

2. 两端同乘 $\sin mx$ 之后积分（可以逐项积分）：
   

   $$\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx \, \mathrm{d} x = \sum_{n = 0}^\infty [a_n \int_{-\pi}^\pi \cos nx \sin mx \, \mathrm{d} x + b_n \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx \, \mathrm{d} x] \\ = b_m \int_{-\pi}^\pi \sin^2 mx \, \mathrm{d} x = \pi b_m$$

综上得：

$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \, \mathrm{d} x, a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx \, \mathrm{d} x, b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx \, \mathrm{d} x$$

Fourier 级数概念（三角级数形式展开）

设 $f(x)$ 是 $2 \pi$ 周期函数，$f \in R[-\pi, \pi]$（或奇异积分绝对收敛）

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$
右端称为 $f(x)$ 的 Fourier 级数展开式，其中展开系数：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \, \mathrm{d} x, n = 0, 1, 2, \cdots \\ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, \mathrm{d} x, n = 1, 2, \cdots$$

问题

1. 该级数的收敛域如何？
2. 收敛域内，等号是否成立？

收敛定理

设 $f(x)$ 为 $2 \pi$ 周期函数，且满足下面条件：

1. 在 $[-\pi, \pi]$ 上分段单调（分成有限个区间，每个区间上单调），或者：
2. 在 $[-\pi, \pi]$ 上分段可微（分成有限个闭区间，每个区间上可微，在闭区间端点，用单侧极限代替 $f(x)$ 原值后单侧可导）。

则其 Fourier 级数展开式处处收敛于：

$$S(x) = \frac{1}{2} [f(x + 0) + f(x – 0)]$$
其中：
$$f(x + 0) = \lim_{t \to x^+} f(t), f(x – 0) = \lim_{t \to x^-} f(t)$$

推论：设收敛定理的条件满足，且：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$
则在函数 $f(x)$ 的连续点：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

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