电子电路与系统基础笔记（3）——电容与电感

电子电路与系统基础笔记（3）——电容与电感

电路元件——电容与电感

电容与电感

电容

电容是对导体结构保持自由电荷能力大小的描述：

$$C = \frac{q}{v}$$

• 自由电荷在导体结点上积累或消散，电荷形成的空间电场随时间发生变化，这种时变电场形成位移电流：电容描述导体结构（结点）电压变化形成位移电流的大小。
  $$i(t) = \frac{\mathrm{d} q(t)}{\mathrm{d} t} = C \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}$$

• 电容同时也是对导体结构电能存储能力大小的描述。
  

  $$E(t) = \frac{1}{2} C v^2(t)$$

极板之间的电容：

$$C = \frac{Q_0}{V_0} = \varepsilon \frac{S}{d}$$

电感

电感是对导线结构流通电流产生与链接磁通能力大小的描述。

$$L = \frac{\varphi}{i}$$

• 导线回路有电流流过，电流产生磁场，磁场在导线平面的通量为磁通，因而电流产生磁通。当电流发生变化时，磁通发生变化，时变磁通产生感生电动势，以阻碍电流的变化：电感描述导线结构（回路）电流变化形成感生电动势的大小。
  $$v(t) = \frac{\mathrm{d} \varphi(t)}{\mathrm{d} t} = L \frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}$$

• 电感同时也是对导线结构磁能存储能力大小的描述。
  

  $$E = \frac{1}{2} L i^2(t)$$

绕圈电感：

$$L = \frac{N \Phi_0}{i_0} = \frac{NBS}{i_0} \\ = \frac{N (\mu \frac{N}{p} i_0) S}{i_0} = N^2 \mu \frac{S}{p} = N^2 \Xi$$
磁环磁导 $\Xi = \mu \frac{S}{p}$。

电容与电感特性

记忆性

电容的端口电压是状态变量：电容电压依赖于之前所有时间段的电流，它是有记忆的。

$$v(t + \Delta t) = v(t) + \frac{\Delta Q}{C} = v(t) + \Delta v$$
状态变量具有的特征：当前状态由前一时刻状态转移而来，是前一状态基础上的变化。

而电阻则是无记忆元件：当前电压仅由当前电流决定，和以前的电流没有任何关系。

连续性

如果电流有界：

$$v_C(t^+) = v_C(t^-), v_C(0^+) = v_C(t^-)$$
则电容两端电压不会发生突变，电容电压是连续变化的。

功率与能量

电容吸收的电能，以电荷存储的形式存储在电容结构中，定义为电容储能。

而电导吸收的电能，以热能/光能等形式释放，定义为电阻耗能。

无损性

电容的释能 $=$ 吸能，故无损。

电容特性描述

微分电容

电容和电感的三个基本特性

类比电容，应用对偶即可得到电感的记忆性，连续性，无损性。

电容初始电压的源等效

电容具有初始电压，电容则可向外释放电能，因而具有初始电压的电容是有源的，其有源性如何体现？

$$v(t) = V_0 + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \mathrm{d} \tau$$

电容初始电压的有源性体现为和电容串联的恒压源。

戴维南等效和诺顿等效

戴维南源电压为端口开路电压，诺顿源电流为端口短路电流。

有初始电压的电容的诺顿等效？

出现了跳变函数以及对跳变函数的微分。

单位阶跃函数

越阶信号源的电路实现

单位冲激函数

面积为 $1$，宽度为 $0$：单位冲激

单位越阶函数量纲为 $1$，单位冲激函数量纲为 $1/s$。

冲激信号的电路数学抽象

状态跳变的可能性

如果充电电流有界，则电容电压随时间是连续变化的。

• 当存在冲激电流时，电容电压则会出现跳变。

$$v_C(t_0^+) – v_C(t_0^-) = \frac{1}{C} \int_{t_0^-}^{t_0^+} i_C(\tau) \mathrm{d} \tau = V_0 U(t – t_0)_{t = t_0^+} = V_0 \\ i_C(t) = C V_0 \delta(t – t_0)$$

如果充磁电压有界，则电感电流随时间是连续变化的。

• 当存在冲激电压时，电感电流则会出现跳变。

$$i_L(t_0^+) – i_L(t_0^-) = \frac{1}{L} \int_{t_0^-}^{t_0^+} v_L(\tau) \mathrm{d} \tau = I_0 U(t – t_0)_{t = t_0^+} = I_0 \\ v_L(t) = L I_0 \delta(t – t_0)$$

有初始电压的电容的诺顿等效电路

$$v_C(t) = \begin{cases} V_0 & t < 0 \\ 0 & t > 0 \end{cases} = V_0 (1 – U(t))$$
端口短路电流：
$$i(t) = C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v_C(t) = -C V_0 \delta(t)$$

具有初始电压的电容的等效电路

一旦考虑初始电压，就有起始时间点的限制：$t \ge 0$。

未考虑初始电压元件约束：

$$i(t) = C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v(t) \\ v(t) = V_0 + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \mathrm{d} \tau, t \ge 0$$
考虑初始电压的元件约束，仅 $t \ge 0$ 时成立：
$$i(t) = -C V_0 \delta(t) + C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v(t) \\ v(t) = V_0 U(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \mathrm{d} \tau$$

具有初始电流的电感的等效电路

一旦考虑初始电压，就有起始时间点的限制：$t \ge 0$。

未考虑初始电压元件约束：

$$v(t) = L \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} i(t) \\ i(t) = I_0 + \frac{1}{L} \int_0^t v(\tau) \mathrm{d} \tau, t \ge 0$$
考虑初始电压的元件约束，仅 $t \ge 0$ 时成立：
$$v(t) = -L I_0 \delta(t) + L \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} i(t) \\ i(t) = I_0 U(t) + \frac{1}{L} \int_0^t v(\tau) \mathrm{d} \tau$$

电容/电感串并联

电容并联

$$i = (\sum_{k = 1}^n C_k) \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = C \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} \\ C = \sum_{k = 1}^n C_k$$

电容串联

假设电容无初始电压。

$$v = \sum_{k = 1}^n v_k = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{C_k} \int_0^t i \mathrm{d} t \\ = (\sum_{k = 1}^n \frac{1}{C_k}) \int_0^t i \mathrm{d} t \\ = \frac{1}{C} \int_0^t i \mathrm{d} t \\ \frac{1}{C} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{C_k}$$
即电容和电导的串并联公式形式一致。

有初始电压的电容串联

有初始电压的电容并联

总结

串联用戴维南源等效：压加压，阻加阻；
并联用诺顿源等效：流加流，导加导。

另外一种理解：电荷守恒

例 1：正弦波电流源驱动电容

$$v(t) = V_0 + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \mathrm{d} \tau \\ = V_0 + \frac{I_p}{\omega C} \sin \omega t$$

$\omega C$ 具有电导的 $S$ 量纲，被称为电纳，和电导一并统称为导纳；后面讨论时，言导纳多于言电导。

对交流而言，电容是高频短路的。

当频率极高时，电容相当于直流恒压源。

例 2：正弦波电流源驱动电感

$$i(t) = I_0 + \frac{1}{L} \int_0^t v(\tau) \mathrm{d} \tau \\ = I_0 + \frac{V_p}{\omega L} \sin \omega t$$

$\omega L$ 具有电阻的 $\Omega$ 量纲，被称为电抗，和电阻一并统称为阻抗；后面讨论时，言阻抗多于言电阻。

对交流而言，电感是高频开路的。

当频率极高时，电感相当于直流恒流源。

例 3：直流电压源驱动电容

凡是有冲激信号的，能量都有丢失!

电容电压突变（有冲激电流），电感电流突变（有冲激电压），均可发现有能量丢失现象。

小结

• 电容电感是对偶元件。
• 电容电感三个基本特性：记忆性，连续性，无损性。
• 具有初始电压的电容、具有初始电流的电感是有源的，可用戴维南形式或诺顿形式表述。
• 在有界电流假设下，电容电压连续变化；在有界电压假设下，电感电流连续变化。
• 电容电压突变，说明电容电流出现冲激；电感电流突变，说明电感电压出现冲激。
• 电路中出现冲激时，从电路角度分析，存在能量丢失问题。

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