高等代数选讲笔记（8）——Jordan 标准型
第八讲：Jordan 标准型
最小多项式
回忆定义
阶数最小的首一多项式 p 使得 p(T)=0。
记号
最小多项式记为 minT。
性质 1
最小多项式 minT 的根恰好是 T 的特征值。
证明：
minT|chT，因为 chT 的根是 T 的特征值，所以 minT 的根也是 chT 的根。
反之，λ 是 chT 的根，则存在 v 使得 Tv=λv,v≠0：
0=minT(T)=Tm+am–1Tm–1+⋯+a0I
作用在 v 上：
0=Tmv+am–1Tm–1v+⋯+a0Iv=λmv+λm–1am–1v+⋯+a0v=minT(λ)=0(v≠0)
因此 λ 是 minT 的根。
直和的最小多项式
V=V1⊕V2⊕⋯⊕Vm,Ti∈L(Vi)
则：
T:=(T1,⋯,Tm)∈L(V)v=(v1,⋯,vm)∈V,Tv=(T1v1,⋯,Tmvm)∈V
A1,⋯,Am 为方阵：
A1⊕A2⊕⋯⊕Am=(A10⋯00A2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯Am)
设 S∈L(V),T∈L(W)，那么 S⊕T∈L(V⊕W)。
则：
chT⊕S=chT×chS
性质 2
minT⊕S=lcm(minT,minS)
其中 lcm 为最小多倍多项式，即最小的使得 p(S),p(T) 同时为 0 的多项式 p。
证明：
(T⊕S)2=T2⊕S2p(T⊕S)=p(T)⊕p(S)p(T⊕S)=0⇔p(T)=0,p(S)=0minT⊕S(T)=0,minT⊕S(S)=0
故 minT⊕S 是最小的满足此性质的多项式，因此：
minT⊕S=lcm(minT,minS)
性质
T 可以对角化 ⇔minT 没有重根。
证明：
T∼(λ1⋱λ1λ2⋱λ2⋱λm⋱λm)
由此即得 minT 无重根。
而反过来，对于：
T∼(A10⋯00A2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯Am)
若 minT 无重根，因为：
chT=(z–λ1)d1⋯(z–λm)dmminT|chT
而 minT 没有重根 ⇒minT|(z–λ1)⋯(z–λm)。
故：
(T–λ1I)⋯(T–λmI)=0⇒(Aj–λ1I)(Aj–λ2I)⋯(Aj–λmI)=0
i≠j 时，Aj–λiI 为上三角阵，易得其可逆，则：
Aj–λjI=0⋅(Aj–λ1I)−1⋯(Aj–λmI)−1=0
故 Aj=λjI，则 A 可对角化。
循环算子
定义
L:V→V 是循环算子，如果存在 v∈V 使得：
V=span{v,Lv,L2v,⋯}=:C(v)
性质 3
L:V→V 是幂零循环算子 ⇔ 存在一组基 {v1,⋯,vn} 使得 L 的矩阵为：
J0,n=(010⋯0001⋯0000⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯0)
证明：
⇐：
vnL⟶vn–1L⟶vn–2L⟶⋯L⟶v1L⟶0
取 v=vn，那么 C(v)=span{vn,⋯,v1}=V，即 L 是循环算子。
⇒：
存在 v∈V 使得：
C(v)=span{v,Lv,⋯}=V
L 幂零，因此 Ln=0，则：
C(v)=span{v,Lv,⋯,Ln–1v}
而 L 在 {Ln–1v,⋯,Lv,v} 的矩阵即为：
J0,n=(010⋯0001⋯0000⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯0)
性质 4
N∈L(V) 是幂零算子，那么 N 是幂零循环算子的直和。
（V=V1⊕⋯⊕Vm,Vi 是 N 不变子空间，N|Vi 是幂零循环算子）
证明：
我们证明存在 v1,⋯,vm∈V,m1,⋯,mk 使得：
Nm1v1,⋯,Nv1,v1,Nm2v2,⋯Nv2,v2,⋯,Nmkvk,⋯,Nvk,vk
组成了 V 的基且：
Nm1+1v1=⋯=Nmk+1vk=0
用归纳法证明。
dimV=1 显然取 v1≠0∈V 即可。
假设 dimV>1，命题对小于 dimV 的线性空间成立。
N 是幂零，Null(N)≠0,Range(N)≠V。
Range(N) 是 N 不变子空间。
由归纳假设知命题对 N|Range(N) 成立。（对于维数为 0，N=0，显然成立）
存在：
Nm1v1,⋯,Nv1,v1,Nm2v2,⋯Nv2,v2,⋯,Nmkvk,⋯,Nvk,vk
是 Range(N) 的一组基且：
Nm1+1v1=⋯=Nmk+1vk=0
而 vi∈Range(N)，存在 ui 使得 vi=Nui。
C={Nm1+1u1,⋯,Nu1,u1,Nm2+1u2,⋯Nu2,u2,⋯,Nmk+1uk,⋯,Nuk,uk}
即为之前那组基并上 {uk}。
假设：
c1,0u1+⋯+c1,m1+1Nm1+1u1+c2,0u2+⋯+c2,m2+1Nm2+1u2⋮+ck,0uk+⋯+ck,mk+1Nmk+1uk=0
作用 N 于上式得：
c1,0v1+⋯+c1,m1Nm1v1+c2,0v2+⋯+c2,m2Nm2v2⋮+ck,0vk+⋯+ck,mkNmkvk=0
故 ci,j=0,1≤i≤k,0≤j≤mk。
则原式变为：
c1,m1+1Nm1+1u1+⋯+ck,mk+1Nmk+1uk=c1,m1+1Nm1v1+⋯+ck,mk+1Nmkvk=0
则系数也均为 0。
因此 C 线性无关。
设 B′={C,w1,⋯,wp} 是 V 的一组基。
则：
N(span(C))=span(N(C))=Range(N)
存在 xj∈span(C) 使得 Nxj=Nwj。
令 uk+j=wj–xj：
N(uk+j)=N(wj)–N(xj)=0
则 B={C,uk+1,⋯,uk+p}，span(B)=span(B′)，因此 B 也是 V 的一组基。
而：
B={Nm1+1u1,⋯,Nu1,u1,Nm2+1u2,⋯Nu2,u2,⋯,Nmk+1uk,⋯,Nuk,uk,uk+1,⋯,uk+p}
而 Nuk+1=⋯=Nuk+p=0，因此 B 满足条件。
根据归纳原理即得命题成立。
Jordan 基
定义
T∈L(V)，V 的一组基是 Jordan 基如果在这组基下，T 的矩阵为分块矩阵为：
(A10⋯00A2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯Am)
其中：
Ai=(λj10⋯00λj1⋯000λj⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯λj)
记号：
Jλ,n=(λ10⋯00λ1⋯000λ⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯λ)n×n
称这种分块矩阵为 Jordan 标准型。
定理
∀T∈L(V)，存在一组 Jordan 基。
证明：根据性质 3 和性质 4 可得对幂零矩阵成立。
对于 T∈L(V)：
T=G(λ1,T)⊕⋯⊕G(λm,T)
Ni=T–λiI|G(λi,T) 是幂零算子，则 G(λi,T) 存在一组 Jordan 基，将这些基放在一起得到 V 的 Jordan 基。
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