微积分笔记（43）——空间曲面
空间曲面
空间曲面的表示
曲面显式表示
设 f:D→R,D⊆R2 是一个区域，空间点集合（函数 f 的图像）：
S={(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}=:G(f)
称为 R3 空间中的一个曲面，z=f(x,y) 称为曲面 S 的显式表示。
曲面隐式表示
设 F:Ω→R,Ω⊆R3 是一个区域，空间点集（函数 F 的等值面）：
S={(x,y,z)∈Ω|F(x,y,z)=0}
也称为是 R3 空间中的一个曲面，F=0 称为曲面 S 的隐式表示。
曲面的参数表示
设 ff:D→R3,D⊆R2 是一个区域，则集合（函数 ff 的值域）：
S={(x,y,z)|(x,y,z)=ff(u,v),(u,v)∈D}=:ff(D)
称为 R3 空间中的一个曲面，ff(u,v) 称为曲面 S 的参数表示。
回忆：空间曲线。
设 ff:[a,b]→R3，则：
L={(x,y,z)|(x,y,z)=ff(t),t∈[a,b]}=:ff([a,b])
称为是 R3 空间中的一条曲线，ff(t) 称为曲线 L 的参数表示。
空间曲面的法向与切平面
显式曲面切平面（回忆）
设曲面 S 有显式表示 z=f(x,y)，令 z0=f(x0,y0)，则 P=(x0,y0,z0)∈S，且 S 在 P 点的切平面方程（如果 f 可微）：
z=z0+Dxf(x0,y0)(x–x0)+Dyf(x0,y0)(y–y0)
该曲面法向量：
n=±(Dxf(x0,y0),Dyf(x0,y0),−1)
切平面方程还可以写成向量内积形式：
⟨n,r–r0⟩=0
其中向量 r=(x,y,z),r0=(x0,y0,z0)。
隐式曲面切平面与法向
设曲面 S 有隐式表示 F(x,y,z)=0，取 P=(x0,y0,z0)∈S，即 F(x0,y0,z0)=0，不妨令 F∈C1 且 DzF(x0,y0,z0)≠0，则 P 点附近有 S 的显式表示 z=z(x,y)（隐函数），切平面方程为：
z=z0+Dxz(x0,y0)(x–x0)+Dyz(x0,y0)(y–y0)
其中：
Dxz=–DxF/DzF,Dyz=–DyF/DzF
代入切平面方程整理得：
DxF(P)(x–x0)+DyF(P)(y–y0)+DzF(P)(z–z0)=0
写成向量内积形式：
⟨n,r–r0⟩=0,n=±gradF(P)
其中 n 为切平面的法向。
参数曲面的切平面与法向
设曲面 S 有参数表示 r=rr(u,v),(u,v)∈D——平面区域，写成分量形式 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)，任取 (x0,y0)∈D，对应 P=(x0,y0,z0)∈S，其中 x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0),z0=z(u0,v0)。
S 上 u− 曲线：r=rr(u,v0)，其切向 Durr(u,v0)。
S 上 v− 曲线：r=rr(u0,v)，其切向 Dvrr(u0,v)。
都落在 S 切平面内。
所以 S 在 P 点切平面的法向量 n⊥Durr(u0,v0),Dvrr(u0,v0)。
综上：
n//Durr(u0,v0)×Dvrr(u0,v0)
（3 维欧式空间向量积）
进一步假设：
Durr(u0,v0)×Dvrr(u0,v0)≠0
（两向量不共线）
则可取 S 在 P 点法向 ：n=Durr(u0,v0)×Dvrr(u0,v0)。
得到切平面方程（向量内积形式）：
⟨Durr(u0,v0)×Dvrr(u0,v0),r–r0⟩=0
上式为 3 向量混合积，利用行列式表示即得切平面方程：
|x–x0y–y0z–z0Dux(u0,v0)Duy(u0,v0)Duz(u0,v0)Dvx(u0,v0)Dvy(u0,v0)Dvz(u0,v0)|=0
向量积相关略。
记 Durr×Dvrr=(A,B,C)，其中：
A=|DuyDuzDvyDvz|,B=|DuzDuxDvzDvx|,C=|DuxDuyDvxDvy|
则范数（长度）为：
‖Durr×Dvrr‖=√A2+B2+C2
记号：曲面第一基本量。
E:=⟨Durr,Durr⟩,F:=⟨Durr,Dvrr⟩,G:=⟨Dvrr,Dvrr⟩
则有：
‖Durr×Dvrr‖=√EG–F2(‖a×b‖2=‖a‖2‖b‖2–⟨a,b⟩2)
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