
微积分笔记(46)——多重积分(2)
多重积分
矩形区域上积分的计算
问题
给定 f∈R(D),D=[a,b]×[c,d]:
∬Df(x,y)dσ=?
计算方法
- 根据定义,可以取 D 的均匀分割,选 f 的特别值点,但仍需要做大量运算——工作量很大,适合计算机程序化完成,数值计算/近似。
- 利用几何意义——偶尔为之(实际上反过来情况更多)。
- 化为累次积分(2 次一重积分)——利用下面 Fubini 定理。
累次积分方法
令 D=[a,b]×[c,d],f∈C(D),记 I=∫Dfdσ:
- 固定 x∈[a,b],作为 y 的函数 f(x,y)∈C[c,d],令 u(x)=∫dcf(x,y)dy,易证 u∈C[a,b],记 A=∫bau(x)dx。
- 同理有 v(y)=∫baf(x,y)dx∈C[c,d],记 B=∫dcv(y)dy。
Fubini 定理
设 f∈C(D),则 I=A=B:
∫Dfdσ=∫badx∫dcf(x,y)dy=∫dcdy∫baf(x,y)dx
其中规定积分记号:
∫badx∫dcf(x,y)dy=∫ba(∫dcf(x,y)dy)dx
证明:取矩形的均匀分割:T=πx×πy:
πx:xi=a+iΔx,i=0,1,2,⋯,n,Δx=b–an=‖πx‖πy:yj=c+jΔy,j=0,1,2,⋯,m,Δy=d–cm=‖πy‖
得到 D 的 nm 个子矩形:
Dij=[xi–1,xi]×[yj–1,yj],i=1,2,⋯,n,j=1,2,⋯,m
每个矩形面积为 σ(Dij)=ΔxΔy,进一步取 (xi,yj)∈Dij,得 Riemann 和式:
n∑i=1m∑j=1f(xi,yj)ΔxΔy→I=∫Dfdσ(n,m→∞)
下面利用:
m∑i=1f(xi,yj)Δy→∫dcf(xi,y)dyn∑i=1φ(xi)Δx→∫bau(x)dx
已知 f∈C(D),∀ε>0,∃δ>0,只要 ‖T‖=Δx+Δy<δ:
I−ε<n∑i=1m∑j=1f(xi,yj)ΔyΔx<I+ε
注意其中:
lim
在 (1) 中关于 m 取极限,由极限保序性导出:
I - \varepsilon \le \sum_{i = 1}^n u(x_i) \Delta x \le I + \varepsilon
再令 n \to \infty 得:
I - \varepsilon \le A \le I + \varepsilon
从而 I = A,同理可得 I = B。\square注:条件 f \in C(D) 可以减弱到 f \in R(D),但需要附加关于单变量的可积性条件,证明也要复杂不少。
推论:设 f(x, y) = f_1(x)f_2(y),其中 f_1 \in C[a, b], f_2 \in C[c, d],令 d = [a, b] \times [c, d],则 f \in C(D) 且:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \left[\int_a^b f_1(x) \, \mathrm{d} x \right] \left[\int_c^d f_2(y) \, \mathrm{d} y \right]
注:分离变量形式函数的二重积分等于单变量函数积分的乘积。
一般有界区域上的二重积分
问题
对于有界区域 D \subseteq \mathbb{R}^2, f : D \to \mathbb{R},如何定义积分?
方法
引入延拓函数:
f_D(x, y) := \begin{cases} f(x, y) & f(x, y) \in D \\ 0 & f(x, y) \not \in D \end{cases}
以及 D_M = [-M, M] \times [-M, M] \supseteq D。
如果 f_D \in R(D_M),则称 f \in R(D),定义在 f 在 D 上的积分值:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma := \int_{D_M} f_D \mathrm{d} \sigma
注:
- 函数 f 可积与否以及积分值大小都与 M 选取无关。
- 有界区域 D 也可以换成一般平面有界点集。
二重积分的性质
线性性质、保序性质、有界性质容易得到。
区域可加性:设 D_1, D_2 \subseteq \mathbb{R}^2 有界,D_1 \cap D_2 是零面积集,则 f \in R(D_1 \cup D_2) 当且仅当 f \in R(D_1) 且 f \in R(D_2),这时成立:
\int_{D_1 \cup D_2} f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_1} f \, \mathrm{d} \sigma + \int_{D_2} f \, \mathrm{d} \sigma
证明:取 D_M \supseteq D_1 \cup D_2,则 f \in R(D_1 \cup D_2) \Leftrightarrow f_{D_1 \cup D_2} \in R(D_M)。
比较 f_{D_1 \cup D_2} 与 f_{D_1} + f_{D_2} 仅在零面积集 D_1 \cap D_2 上不相等,所以:
\int_{D_M} f_{D_1 \cup D_2} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} (f_{D_1} + f_{D_2}) \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} f_{D_1} \, \mathrm{d} \sigma + \int_{D_M} f_{D_2} \, \mathrm{d} \sigma
依照积分值的定义,这就是要证的积分等式。\square
定理
设 D \subseteq \mathbb{R}^2 有界且 \partial D 是零面积集,则 C(D) \subseteq R(D)。
证明:设 f \in C(D),则 D_{is}(f_D) \subseteq \partial D 是零面积集,由 Lebesgue 定理,f(D) \in R(D_M),因此 f \in R(D)。\square
注:有界区域 D 的边界若是分段连续曲线,就是零面积集。
计算方法
设 D = \{(x, y) | y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b\},其中 y_1, y_2 \in C[a, b] 且 y_1 \le y_2,令 f \in C(D),则:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_M} f_D \, \mathrm{d} \sigma = \int_{-M}^M \, \mathrm{d} x \int_{-M}^M f_D(x, y) \, \mathrm{d} y
注意 -M < a < b < M,而在 x < a 或 x > b 时 f_D(x, y) = 0。
此外固定 x \in [a, b], -M < y_1(x) \le y_2(x) < M,而 y < y_1(x) 或 y > y_2(x) 时 f_D(x, y) = 0,代入上面积分式:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f_D(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y
若 D = \{(x, y) | y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b\},其中 y_1, y_2 \in C[a, b] 且 y_1 \le y_2,则:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y
注意:上式中 \displaystyle \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} y 是 x 的函数,可以继续对 x 积分,若写成 \displaystyle \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d} x 没有意义——积分限依赖于积分变量?若 D = \{(x, y) | x_1(y) \le x \le x_2(y), c \le y \le d\},其中 x_1, x_2 \in C[c, d] 且 x_1 \le x_2,则:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_c^d \, \mathrm{d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, \mathrm{d} x
No Comments