微积分笔记（52）——曲面积分（2）

微积分笔记（52）——曲面积分（2）

曲面积分

可定向曲面

可定向曲面（双侧曲面）

若光滑曲面 $S$ 上每一点 $(x, y, z)$ 存在单位法向量场 $\pmb{n}(x, y, z)$，且 $\pmb{n}(x, y, z)$ 在 $S$ 上连续。

注：这时 $-\pmb{n}(x, y, z)$ 也是 $S$ 上一个连续的单位法向量场，可见 $S$ 上存在 $2$ 个连续单位法向量场，故称为双侧曲面。

单侧曲面

若光滑曲面有一点的单位法向量沿曲面上某封闭曲线连续运动一周回到该点时法向量相反（曲面只有一侧）。

实例：Mobius 曲面——曲面 $S$：

$$\begin{cases} x = 2\cos u + v \cos(u / 2) \\ y = 2\sin u + v \cos(u / 2) \\ z = v \sin(u / 2) \end{cases} , 0 \le u \le 2\pi, |v| \le \frac{1}{2}$$
记 $\pmb{r}(u, v) = (x, y, z) \in S, D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} = (A, B, C)$ 为曲面的法向。

直接计算验证，$u = v = 0$ 时 $(A, B, C) = (0, 0, -2)$，$u = 2\pi, v = 0$ 时 $(A, B, C) = (0, 0, 2)$。

也就是说 $P(x, y, z)$ 沿曲面上曲线 $v = 0$ 运动一周，法向从 $(0, 0, -2)$ 连续变化为 $(0, 0, 2)$。

定向曲面/有向曲面

令 $S$ 为可定向曲面，指定 $S$ 的一侧法向量为正侧法向量，得到的曲面称为定向曲面（含曲面和正侧的法向量场）。

注：为区别 $S$ 上另一侧法向量场确定的定向曲面，可以分别记为 $S^+$ 和 $S^-$ 曲面（同一曲面，但也相反的法向量场）。

定向曲面和边界曲线定向的协调

定向曲面 $S$ 的边界曲线定向如果符合右手法则，就称定向是协调的，$S$ 边界定向曲线记为 $\partial S$。

右手法则

右手掌沿 $S$ 的边界，$S$ 保持在手掌左侧（即右手掌朝向 $S$），拇指与 $S$ 正侧的法向量同向，四指指向 $\partial S$ 正向。

定向曲面的拼接

有限多块可定向曲面可以如下拼接：

1. 任意两块拼接曲面至多相交于一条边界曲线。
2. 两块拼接曲面在相交边界曲线上的曲线定向相反。
3. 两块以上拼接曲面至多相交于边界曲线上一点。

定向协调的曲面按照上述方式拼接，得到曲面定向也是协调的。

推广：令空间有界区域 $\Omega$ 由若干光滑曲面包围而成，取外法向为区域边界曲面的正侧，则每个曲面的边界曲线随之确定，拼接之后定向协调，得到的区域边界 $S = \partial \Omega$ 构成定向曲面（简称为区域 $\Omega$ 的外表面）。

第二型曲面积分

定义（借助第一型曲面积分）

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为一区域，$\pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3$，$S$ 为 $\Omega$ 中定向曲面，定义 $\pmb{F}$ 沿 $S$ 的第二型曲面积分：

$$\int_S \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} := \int_S (\pmb{F} \cdot \pmb{n}) \, \mathrm{d} \sigma$$
如果右端积分存在的话。

其中 $\mathrm{d} \pmb{\sigma} := \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma$ 称为 $S$ 的有向面积微元（方向 $\pmb{n}$，大小 $\mathrm{d} \sigma$）。

这里的 $\pmb{n}$ 是曲面 $S$ 的正侧单位法向量。

同样第二型曲线积分也可以利用类似方法记住第一型曲面积分定义。

物理意义

令 $F$ 为区域 $\Omega$ 中的流体（流体速度场），$S$ 为 $\Omega$ 中有向曲面。

任取 $S$ 上一点处的面积微元 $\mathrm{d} \sigma$，$\mathrm{d} Q = (\pmb{F} \cdot \pmb{n}) \, \mathrm{d} \sigma$，这是单位时间内通过面积微元由 $S$ 的负侧流向正侧的流量。

求和得：

$$Q = \int_S (\pmb{F} \cdot \pmb{n}) \, \mathrm{d} \sigma = \int_S F \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma}$$
单位时间内由负侧向正侧通过整个曲面 $S$ 的总流量（通量），若 $S$ 是一个封闭曲面的外侧，则 $Q$ 是在 $S$ 包围的区域中流体在单位时间内的发散量（发散通量）。

如果 $\pmb{F}$ 为电场，第二型曲面积分得到通过 $S$ 的电通量。

如果 $\pmb{F}$ 为磁场，上述积分得到通过 $S$ 的磁通量。

第二型曲面积分的性质

1. 线性性质：
   $$\int_S (\alpha \pmb{F} + \beta \pmb{G}) \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} = \alpha \int_S \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} + \beta \int_S \pmb{G} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma}$$

2. 曲面有向：
   

   $$\int_{S^-} \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} = -\int_{S^+} \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma}$$

3. 曲面分片可加：
   

   $$\int_{S_1 + S_2} \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} = \int_{S_1} \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} + \int_{S_2} \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma}$$
   其中 $S_1, S_2$ 为两片定向曲面，至多在他们的边界曲线上相交，$S_1 + S_2$ 表示两曲面拼接而成的定向协调的曲面。

曲面积分的计算

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为一区域，定向曲面 $S \subseteq \Omega$ 有 $C^1$ 参数表示：

$$\mathbf{r} = \pmb{r}(u, v), (u, v) \in D$$
其中 $D$ 为一平面有界区域。

这时 $S$ 的单位法向量（正负号按照 $S$ 的正向确定）：

$$\pmb{n} = \pm \frac{D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v)}{\| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \|} = \pm \frac{(A, B, C)}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
其中：
$$A = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, B = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, C = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$$
设 $\pmb{F} = (P, Q, R) \in C(\Omega, \mathbb{R}^3)$，注意 $\mathrm{d} \sigma = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v$。

则：

$$\int_S \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} = \int_S (\pmb{F} \cdot \pmb{n}) \, \mathrm{d} \sigma = \pm \iint_D (PA + QB + RC) \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v$$
为确定公式前面正负号，只须在曲面上任意一点判定即可。

推广：对于 $\pmb{F} = (P, Q, R)$，有：

$$\int_S \pmb{F} \cdot \mathrm{d} \pmb{\sigma} = \iint_{D_1} P \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z + Q \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x + R \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$
该公式仅是一个约定，但提示了直角坐标系下计算方法。

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