微积分笔记（54）——曲面积分（4）

wzf2000
2020年7月6日

微积分笔记（54）——曲面积分（4）

曲面积分

Stokes 公式

又称旋度定理。

Stokes 公式

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为有界区域，$S$ 为 $\Omega$ 中的定向曲面，其边界 $\partial S$ 是定向协调的封闭曲线，又设 $\pmb{F} = (P, Q, R) \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^3)$，则：
$$
\oint_{\partial S} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \iint_S \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
特别当 $S = D$ 在平面 $z = 0$ 时，法向为 $\pmb{n} = (0, 0, 1)$，与 $z$ 轴正向一致，上式即转化为 Green 公式。

Stokes 公式证明

继续以往做法，只证 $P = Q = 0$ 的情况，也即只证：
$$
\oint_{\partial S} R \, \mathrm{d} z = \iint_S \frac{\partial R}{\partial y} \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z - \frac{\partial R}{\partial x} \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x
$$
不妨设曲面 $S$ 有 $C^2$ 参数表示 $\pmb{r} = \pmb{r}(u, v) \in \mathbb{R}^3, (u, v) \in D$。

特别选 $u-, v-$ 曲线切向与 $S$ 的正法向构成右手系，则上面右式可化为：
$$
\begin{align*}
& \quad \iint_S \frac{\partial R}{\partial y} \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z - \frac{\partial R}{\partial x} \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x \\
& = \iint_D \left[\frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} - \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D \left[\frac{\partial R}{\partial y} \left( \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right) - \frac{\partial R}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial x}{\partial u} \right) \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D \left[\frac{\partial z}{\partial v} \left( \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \right) - \frac{\partial z}{\partial u} \left( \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \right) \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D \left[\frac{\partial z}{\partial v} \left( \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial R}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} \right) - \frac{\partial z}{\partial u} \left( \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial R}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \right) \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D \left(\frac{\partial R}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial R}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right) \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D\left(\frac{\partial R}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} + R \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} - \frac{\partial R}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} - R \frac{\partial^2 z}{\partial v \partial v} \right) \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \\
& = \iint_D \left[\frac{\partial}{\partial u} \left(R \frac{\partial z}{\partial v} \right) - \frac{\partial}{\partial v} \left(R \frac{\partial z}{\partial u} \right) \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v
\end{align*}
$$
为在 $D$ 上应用 Green 公式，依照右手系取 $x = u, y = v$，取 $P = R \dfrac{\partial z}{\partial v}, Q = R \dfrac{\partial z}{\partial v}$。

代入上式即得：
$$
\iint_D \left[\frac{\partial}{\partial u} \left(R \frac{\partial z}{\partial v} \right) - \frac{\partial}{\partial v} \left(R \frac{\partial z}{\partial u} \right) \right] \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v = \oint_{\partial D} R \frac{\partial z}{\partial v} \, \mathrm{d} u + R \frac{\partial z}{\partial u} \, \mathrm{d} v
$$
取 $\partial D$ 的 $C^1$ 参数表示：
$$
u = u(t), v = v(t), t \in [a, b]
$$
$t$ 增为 $\partial D$ 正向，得到：
$$
\oint_{\partial D} R \frac{\partial z}{\partial v} \, \mathrm{d} u + R \frac{\partial z}{\partial u} \, \mathrm{d} v = \int_a^b \left[R \frac{\partial z}{\partial u} u^\prime(t) + R \frac{\partial z}{\partial v} v^\prime(t) \right] \, \mathrm{d} t
$$
另一方面，由 $\partial D$ 的参数表示可得 $\partial S$ 的参数表示：
$$
\pmb{r} = \pmb{r}(u(t), v(t)) \in \mathbb{R}^3, t \in [a, b]
$$
注意 $u, v$ 与 $S$ 的正法向量构成右手系，$t$ 增也是曲线 $\partial S$ 的正向，所以左式可化为：
$$
\oint_{\partial S} R \, \mathrm{d} z = \int_a^b R \left[\frac{\partial z}{\partial u} u^\prime(t) + \frac{\partial z}{\partial v} v^\prime(t) \right] \, \mathrm{d} t
$$
与右式相等，得证。$\square$

Stokes 公式的表示

为便于记忆，可以缩写成：
$$
\oint_{\partial S} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \iint_S
\begin{vmatrix}
\mathrm{d} y \, \mathrm{d} z & \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x & \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
D_x & D_y & D_z \\
P & Q & R
\end{vmatrix}
$$
或记 $S$ 单位正法向 $\pmb{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$：
$$
\oint_{\partial S} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_S
\begin{vmatrix}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
D_x & D_y & D_z \\
P & Q & R
\end{vmatrix} \, \mathrm{d} \sigma
$$

微分形式与外微分

回忆

Newton-Leibniz 公式，Green 公式，Stokes 公式，Gauss 公式。

这些公式有类似的形式，如何精确描述？

$\mathbb{R}^3$ 中是否还有类似的公式？

如何推广到 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n$ 中？甚至弯曲空间-流形 $M^n$？

$\mathbb{R}^3$ 中的观察

基本微分：

$\mathrm{d} x, \mathrm{d} y, \mathrm{d} z$——一次微分（带方向的长度微元）。

$\mathrm{d} x \, \mathrm{d} y, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x$——二次微分（带符号的面积微元）。

同理还有三次微分。

微分形式：$f(x, y, z)$——$0$ 次形式。

$P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$——$1$ 次形式。

$P \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z + Q \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} x + R \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$——$2$ 次形式。

$f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z$——$3$ 次形式。

注意：

1. 没有 $\mathrm{d} x \, \mathrm{d} x$ 微分形式——同方向长度微元张开面积为 $0$。
2. 面积微元带符号——$\mathrm{d} y \, \mathrm{d} x = -\mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$。

微分形式的乘积——外积

基本微分：$\mathrm{d} x, \mathrm{d} y, \mathrm{d} z$，$\mathrm{d} x \land 0 = \mathrm{d} y \land 0 = \mathrm{d} z \land 0 = 0$。

二次幂零律：$\mathrm{d} x \land \mathrm{d} x = \mathrm{d} y \land \mathrm{d} y = \mathrm{d} z \land \mathrm{d} z = 0$。

反交换律：$\mathrm{d} x \land \mathrm{d} y = -\mathrm{d} y \land \mathrm{d} x, \mathrm{d} y \land \mathrm{d} z = -\mathrm{d} z \land \mathrm{d} y$。

结合律：$(\mathrm{d} x \land \mathrm{d} y) \land \mathrm{d} z = \mathrm{d} x \land (\mathrm{d} y \land \mathrm{d} z)$。

推论：在 $\mathbb{R}^3$ 中 $3$ 个以上基本微分的外积恒为 $0$。

基本微分重复出现，利用反交换律和二次幂零律即得为 $0$。

$\mathbb{R}^3$ 中的微分形式

$f(x, y, z)$——$0$ 次形式。

$P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$——$1$ 次形式。

$P \, \mathrm{d} y \land \mathrm{d} z + Q \, \mathrm{d} z \land \mathrm{d} x + R \, \mathrm{d} x \land \mathrm{d} y$——$2$ 次形式。

$f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \land \mathrm{d} y \land \mathrm{d} z$——$3$ 次形式。

推论：在 $\mathbb{R}^3$ 中 $4$ 次及以上的微分形式恒为 $0$。

$\mathbb{R}^3$ 中微分形式的外积

1. $1$ 次形式与 $1$ 次形式的外积是 $2$ 次形式。
2. $1$ 次形式与 $2$ 次形式的外积是 $3$ 次形式。
3. $0$ 次形式与 $j$ 次形式的外积是 $j$ 次形式。

$\mathbb{R}^3$ 中微分形式的微分——外微分

$0$ 次形式微分：
$$
\mathrm{d} f := \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \, \mathrm{d} y + \frac{\partial f}{\partial z} \, \mathrm{d} z
$$
$2$ 次形式微分（略去中间计算）：
$$
\omega = P \, \mathrm{d} y \land \mathrm{d} z + Q \, \mathrm{d} z \land \mathrm{d} x + R \, \mathrm{d} x \land \mathrm{d} y \\
\mathrm{d} \omega := \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, \mathrm{d} x \land \mathrm{d} y \land \mathrm{d} z
$$
$1$ 次形式微分（略去中间计算）：
$$
\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z \\
\mathrm{d} \omega :=
\begin{vmatrix}
\mathrm{d} y \land \mathrm{d} z & \mathrm{d} z \land \mathrm{d} x & \mathrm{d} x \land \mathrm{d} y \\
D_x & D_y & D_z \\
P & Q & R
\end{vmatrix}
$$

$\mathbb{R}^3$ 中微积分基本公式

可以发现上述公式均可表示为：
$$
\int_{\partial S} \omega = \int_S \, \mathrm{d} \omega
$$
其中 $S$ 为 $\Omega$ 中集合（曲线-曲面-区域），$\omega$ 为一个微分形式。

统称为（一般的）Stokes 公式。

进一步的推广

1. $\mathbb{R}^n$ 中的微分形式：外积，外微分，……
2. $\mathbb{R}^n$ 中微分形式的积分：$p$ 维参数“曲面”，多重积分，……
3. $\mathbb{R}^n$ 中微分形式的 Stokes 公式：形式是已知的！
4. 流形 $M^n$ 上的微积分：局部化（局部等价于 $\mathbb{R}^n$），……

$$
\int_{\partial S} \omega = \int_S \, \mathrm{d} \omega
$$

 微积分 笔记