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微积分笔记(54)——曲面积分(4)

微积分笔记(54)——曲面积分(4)

曲面积分

Stokes 公式

又称旋度定理。

Stokes 公式

ΩR3 为有界区域,SΩ 中的定向曲面,其边界 S 是定向协调的封闭曲线,又设 FF=(P,Q,R)C1(Ω,R3),则:
SPdx+Qdy+Rdz=S(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy


特别当 S=D 在平面 z=0 时,法向为 nn=(0,0,1),与 z 轴正向一致,上式即转化为 Green 公式。

Stokes 公式证明

继续以往做法,只证 P=Q=0 的情况,也即只证:
SRdz=SRydydzRxdzdx


不妨设曲面 SC2 参数表示 rr=rr(u,v)R3,(u,v)D

特别选 u,v 曲线切向与 S 的正法向构成右手系,则上面右式可化为:
SRydydzRxdzdx=D[Ry(y,z)(u,v)Rx(z,x)(u,v)]dudv=D[Ry(yuzvyvzu)Rx(zuxvzvxu)]dudv=D[zv(Rxxu+Ryyu)zu(Rxxv+Ryyv)]dudv=D[zv(Rxxu+Ryyu+Rzzu)zu(Rxxv+Ryyv+Rzzv)]dudv=D(RuzvRvzu)dudv=D(Ruzv+R2zuvRvzuR2zvv)dudv=D[u(Rzv)v(Rzu)]dudv


为在 D 上应用 Green 公式,依照右手系取 x=u,y=v,取 P=Rzv,Q=Rzv

代入上式即得:
D[u(Rzv)v(Rzu)]dudv=DRzvdu+Rzudv


DC1 参数表示:
u=u(t),v=v(t),t[a,b]

t 增为 D 正向,得到:
DRzvdu+Rzudv=ba[Rzuu(t)+Rzvv(t)]dt

另一方面,由 D 的参数表示可得 S 的参数表示:
rr=rr(u(t),v(t))R3,t[a,b]

注意 u,vS 的正法向量构成右手系,t 增也是曲线 S 的正向,所以左式可化为:
SRdz=baR[zuu(t)+zvv(t)]dt

与右式相等,得证。

Stokes 公式的表示

为便于记忆,可以缩写成:
SPdx+Qdy+Rdz=S|dydzdzdxdxdyDxDyDzPQR|


或记 S 单位正法向 nn=(cosα,cosβ,cosγ)
SPdx+Qdy+Rdz=S|cosαcosβcosγDxDyDzPQR|dσ

微分形式与外微分

回忆

Newton-Leibniz 公式,Green 公式,Stokes 公式,Gauss 公式。

这些公式有类似的形式,如何精确描述?

R3 中是否还有类似的公式?

如何推广到 n 维空间 Rn 中?甚至弯曲空间-流形 Mn

R3 中的观察

基本微分:

dx,dy,dz——一次微分(带方向的长度微元)。

dxdy,dydz,dzdx——二次微分(带符号的面积微元)。

同理还有三次微分。

微分形式:f(x,y,z)——0 次形式。

Pdx+Qdy+Rdz——1 次形式。

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy——2 次形式。

f(x,y,z)dxdydz——3 次形式。

注意

  1. 没有 dxdx 微分形式——同方向长度微元张开面积为 0
  2. 面积微元带符号——dydx=dxdy

微分形式的乘积——外积

基本微分:dx,dy,dzdx0=dy0=dz0=0

二次幂零律:dxdx=dydy=dzdz=0

反交换律:dxdy=dydx,dydz=dzdy

结合律:(dxdy)dz=dx(dydz)

推论:在 R33 个以上基本微分的外积恒为 0

基本微分重复出现,利用反交换律和二次幂零律即得为 0

R3 中的微分形式

f(x,y,z)——0 次形式。

Pdx+Qdy+Rdz——1 次形式。

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy——2 次形式。

f(x,y,z)dxdydz——3 次形式。

推论:在 R34 次及以上的微分形式恒为 0

R3 中微分形式的外积

  1. 1 次形式与 1 次形式的外积是 2 次形式。
  2. 1 次形式与 2 次形式的外积是 3 次形式。
  3. 0 次形式与 j 次形式的外积是 j 次形式。

R3 中微分形式的微分——外微分

0 次形式微分:
df:=fxdx+fydy+fzdz


2 次形式微分(略去中间计算):
ω=Pdydz+Qdzdx+Rdxdydω:=(Px+Qy+Rz)dxdydz

1 次形式微分(略去中间计算):
ω=Pdx+Qdy+Rdzdω:=|dydzdzdxdxdyDxDyDzPQR|

R3 中微积分基本公式

可以发现上述公式均可表示为:
Sω=Sdω


其中 SΩ 中集合(曲线-曲面-区域),ω 为一个微分形式。

统称为(一般的)Stokes 公式。

进一步的推广

  1. Rn 中的微分形式:外积,外微分,……
  2. Rn 中微分形式的积分:p 维参数“曲面”,多重积分,……
  3. Rn 中微分形式的 Stokes 公式:形式是已知的!
  4. 流形 Mn 上的微积分:局部化(局部等价于 Rn),……

Sω=Sdω

 

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