
微积分笔记(54)——曲面积分(4)
曲面积分
Stokes 公式
又称旋度定理。
Stokes 公式
令 Ω⊆R3 为有界区域,S 为 Ω 中的定向曲面,其边界 ∂S 是定向协调的封闭曲线,又设 FF=(P,Q,R)∈C1(Ω,R3),则:
∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S(∂R∂y–∂Q∂z)dydz+(∂P∂z–∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x–∂P∂y)dxdy
特别当 S=D 在平面 z=0 时,法向为 nn=(0,0,1),与 z 轴正向一致,上式即转化为 Green 公式。
Stokes 公式证明
继续以往做法,只证 P=Q=0 的情况,也即只证:
∮∂SRdz=∬S∂R∂ydydz–∂R∂xdzdx
不妨设曲面 S 有 C2 参数表示 rr=rr(u,v)∈R3,(u,v)∈D。
特别选 u−,v− 曲线切向与 S 的正法向构成右手系,则上面右式可化为:
∬S∂R∂ydydz–∂R∂xdzdx=∬D[∂R∂y∂(y,z)∂(u,v)–∂R∂x∂(z,x)∂(u,v)]dudv=∬D[∂R∂y(∂y∂u∂z∂v–∂y∂v∂z∂u)–∂R∂x(∂z∂u∂x∂v–∂z∂v∂x∂u)]dudv=∬D[∂z∂v(∂R∂x∂x∂u+∂R∂y∂y∂u)–∂z∂u(∂R∂x∂x∂v+∂R∂y∂y∂v)]dudv=∬D[∂z∂v(∂R∂x∂x∂u+∂R∂y∂y∂u+∂R∂z∂z∂u)–∂z∂u(∂R∂x∂x∂v+∂R∂y∂y∂v+∂R∂z∂z∂v)]dudv=∬D(∂R∂u∂z∂v–∂R∂v∂z∂u)dudv=∬D(∂R∂u∂z∂v+R∂2z∂u∂v–∂R∂v∂z∂u–R∂2z∂v∂v)dudv=∬D[∂∂u(R∂z∂v)–∂∂v(R∂z∂u)]dudv
为在 D 上应用 Green 公式,依照右手系取 x=u,y=v,取 P=R∂z∂v,Q=R∂z∂v。
代入上式即得:
∬D[∂∂u(R∂z∂v)–∂∂v(R∂z∂u)]dudv=∮∂DR∂z∂vdu+R∂z∂udv
取 ∂D 的 C1 参数表示:
u=u(t),v=v(t),t∈[a,b]
t 增为 ∂D 正向,得到:
∮∂DR∂z∂vdu+R∂z∂udv=∫ba[R∂z∂uu′(t)+R∂z∂vv′(t)]dt
另一方面,由 ∂D 的参数表示可得 ∂S 的参数表示:
rr=rr(u(t),v(t))∈R3,t∈[a,b]
注意 u,v 与 S 的正法向量构成右手系,t 增也是曲线 ∂S 的正向,所以左式可化为:
∮∂SRdz=∫baR[∂z∂uu′(t)+∂z∂vv′(t)]dt
与右式相等,得证。◻
Stokes 公式的表示
为便于记忆,可以缩写成:
∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S|dydzdzdxdxdyDxDyDzPQR|
或记 S 单位正法向 nn=(cosα,cosβ,cosγ):
∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∫S|cosαcosβcosγDxDyDzPQR|dσ
微分形式与外微分
回忆
Newton-Leibniz 公式,Green 公式,Stokes 公式,Gauss 公式。
这些公式有类似的形式,如何精确描述?
R3 中是否还有类似的公式?
如何推广到 n 维空间 Rn 中?甚至弯曲空间-流形 Mn?
R3 中的观察
基本微分:
dx,dy,dz——一次微分(带方向的长度微元)。
dxdy,dydz,dzdx——二次微分(带符号的面积微元)。
同理还有三次微分。
微分形式:f(x,y,z)——0 次形式。
Pdx+Qdy+Rdz——1 次形式。
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy——2 次形式。
f(x,y,z)dxdydz——3 次形式。
注意:
- 没有 dxdx 微分形式——同方向长度微元张开面积为 0。
- 面积微元带符号——dydx=−dxdy。
微分形式的乘积——外积
基本微分:dx,dy,dz,dx∧0=dy∧0=dz∧0=0。
二次幂零律:dx∧dx=dy∧dy=dz∧dz=0。
反交换律:dx∧dy=−dy∧dx,dy∧dz=−dz∧dy。
结合律:(dx∧dy)∧dz=dx∧(dy∧dz)。
推论:在 R3 中 3 个以上基本微分的外积恒为 0。
基本微分重复出现,利用反交换律和二次幂零律即得为 0。
R3 中的微分形式
f(x,y,z)——0 次形式。
Pdx+Qdy+Rdz——1 次形式。
Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy——2 次形式。
f(x,y,z)dx∧dy∧dz——3 次形式。
推论:在 R3 中 4 次及以上的微分形式恒为 0。
R3 中微分形式的外积
- 1 次形式与 1 次形式的外积是 2 次形式。
- 1 次形式与 2 次形式的外积是 3 次形式。
- 0 次形式与 j 次形式的外积是 j 次形式。
R3 中微分形式的微分——外微分
0 次形式微分:
df:=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz
2 次形式微分(略去中间计算):
ω=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dydω:=(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx∧dy∧dz
1 次形式微分(略去中间计算):
ω=Pdx+Qdy+Rdzdω:=|dy∧dzdz∧dxdx∧dyDxDyDzPQR|
R3 中微积分基本公式
可以发现上述公式均可表示为:
∫∂Sω=∫Sdω
其中 S 为 Ω 中集合(曲线-曲面-区域),ω 为一个微分形式。
统称为(一般的)Stokes 公式。
进一步的推广
- Rn 中的微分形式:外积,外微分,……
- Rn 中微分形式的积分:p 维参数“曲面”,多重积分,……
- Rn 中微分形式的 Stokes 公式:形式是已知的!
- 流形 Mn 上的微积分:局部化(局部等价于 Rn),……
∫∂Sω=∫Sdω
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