高等代数选讲笔记（10）——线性常微分方程组

高等代数选讲笔记（10）——线性常微分方程组

第十讲：线性常微分方程组

常微分方程的定义

常微分方程

一个关于 $y(t), y^\prime(t), \cdots, y^{(n)}(t)$ 的一个方程，一般的形式：

$$F(y^{(n)}(t), \cdots, y^\prime(t), y(t), t) = 0$$
如：
$$\left(y^{\prime\prime}(t)\right)^2 + t^2 y^\prime(t) – 3t + 1 = 0$$
将上式看成关于 $y(t)$ 的一个函数，输出也是一个方程：
$$G(y(t)) = \left(y^{\prime\prime}(t)\right)^2 + t^2 y^\prime(t) \\ G(y(t)) = 3t – 1 + b(t) \\ G(y) = b \\ G : Fun(\mathbb{R}) \to Fun(\mathbb{R})$$
这里 $Fun(\mathbb{R})$ 表示 $\mathbb{R}$ 上的函数。

线性常微分方程

对比之前的函数（映射）：

$$g : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$$
当 $G$ 为线性变换时，称对应的常微分方程为线性常微分方程。

一般形式为：

$$a_n(t) y^{(n)}(t) + \cdots + a_0(t) y(t) = b(t)$$

实例

$$L(y) = t^2 y^{\prime\prime} + y^\prime + 3y$$

是线性变换。

$$G(y) = (y^{\prime\prime})^2 + t^2 y^\prime$$
不是线性变换。

齐次与非齐次

$$L(y) = 0$$

其中 $L$ 是线性的，则称其为齐次线性方程。

相应的：

$$L(y) = b$$
其中 $L$ 是线性的，称为非齐次线性方程。

若 $y_p$ 为 $L(y) = b$ 的解，则 $L(y) = b$ 的解集为 $y_p + \mathrm{Null} \, L$。

对于一般形式：

$$a_n(t) y^{(n)}(t) + \cdots + a_1(t) y^\prime(t) + a_0(t) y(t) = 0$$
令 $y_1 = y, y_2 = y^\prime, \cdots, y_n = y^{(n – 1)}$：
$$\begin{bmatrix} y_1^\prime \\ y_2^\prime \\ \vdots \\ y_n^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_0(t) & -a_1(t) & -a_2(t) & \cdots & -a_{n – 1}(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \\ y_n^\prime = y^{(n)} = \frac{1}{a_n(t)} [-a_{n – 1} y^{(n – 1)} – \cdots – a_0(t) y(t)]$$
（通过此方法，假设 $a_n(t) \equiv 1$）

则问题变为求：

$$\vec{y}^\prime(t) = A(t) \vec{y}(t) + \vec{b}(t)$$
的线性方程组的解。

存在及唯一性定理

实例

$$y^\prime = 0 \Rightarrow y = C, C \in \mathbb{C}$$

解不唯一：$\dim \mathrm{Null} \, \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} – A\right) > 0$。

要求初值条件，如 $y(0) = 1 \Rightarrow y = 1$。

定理

假设 $A(t), B(t)$ 在开区间上 $I$ 连续，$t_0 \in I$，那么存在唯一的函数组 $y(t)$（之后省略向量符号）满足：

$$\begin{cases} y^\prime(t) = A(t) y(t) + b(t) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases}$$
线性代数理解：

$W = (C^1(I))^n$ 即 $I$ 上的连续可导函数组，$U = (C(I))^n$ 即 $I$ 上的连续函数组，$V = \mathbb{C}^n$，$T(y) = y^\prime – Ay$，$S(y) = y(t_0)$。

那么：

$$T : W \to U, S : W \to V$$
$T, S$ 为满射且 $\mathrm{Null} \, S \cap \mathrm{Null} \, T = \{0\}$。

则 $\mathrm{Null} \, T$ 与 $\mathbb{C}^n$ 同构，而且 $y_1, \cdots, y_n$ 在 $\mathrm{Null} \, T$ 中是线性无关的 $\Leftrightarrow$ $y_1(t_0), \cdots, y_n(t_0)$ 在 $\mathbb{C}^n$ 中是线性无关的。

齐次方程组的解

常系数齐次方程组的解

$$y^\prime(t) = A(t) y(t)$$

假设 $A(t) = A$ 为常数矩阵。

若 $A$ 可以对角化，令 $u_1, \cdots, u_n$ 为特征向量，$\lambda_1 \cdots, \lambda_n$ 为对应的特征值，则：

$$y_1 = e^{\lambda_1 t} u_1, \cdots, y_n = e^{\lambda_n t} u_n$$
是 $y^\prime = Ay$ 的解，因为：
$$y_1^\prime = \lambda e^{\lambda_1 t} u_1 = e^{\lambda_1 t} A u_1 = A y_1$$
设：
$$T(y) = y^\prime – A(y)$$
则 $\dim \mathrm{Null} \, T = n$，$y_1, \cdots, y_n$ 在 $\mathrm{Null} \, T$ 中线性无关 $\Leftrightarrow$ $y_1(0), \cdots, y_n(0)$ 在 $\mathbb{C}^n$ 中是线性无关的。

一般解：

$$\mathrm{Null} \, T = \mathrm{span}\{y_1, \cdots, y_n\} = c_1 y_1 + \cdots c_n y_n$$

矩阵的指数

定义

$$e^A := I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$$

如：

$$A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} e^A = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} \end{pmatrix}$$

性质

$A, B$ 为 $n \times n$ 阵，$t \in \mathbb{R}$，那么：

1. $e^{A\cdot 0} = e^0 = I$。
2. $(e^{At})^{-1} = e^{-At}$。
3. 如果 $[A, B] = 0$（可交换），那么 $e^A e^B = e^B e^A = e^{A + B}$。
4. $\displaystyle e^{\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}} = \begin{bmatrix} e^A & 0 \\ 0 & e^B \end{bmatrix}$。
5. $e^{tI} = e^t I$。
6. $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} e^{tA} = A e^{tA}$。
7. $e^{J_{0, n}} = I +J_{0, n} + \cdots + \dfrac{J_{0, n}^{n – 1}}{(n – 1)!}$。
8. $e^{J_{\lambda, n}} = e^\lambda e^{J_{0, n}}$。（利用 3）
9. $e^{PAP^{-1}} = P e^A P^{-1}$。（特别当 $A$ 为 Jordan 型时）

基本矩阵与一般解

若 $y_1, \cdots, y_n$ 为 $y^\prime = Ay$ 的线性无关的解，那么 $Y = \begin{bmatrix}y_1 & \cdots & y_n\end{bmatrix}_{n \times n}$称为一个基本矩阵。

一般解 $Y c$，其中：

$$c = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$$
为待定系数。

基本矩阵的性质

如果 $Y$ 为一基本矩阵，那么对于任意可逆常数矩阵 $C$，则 $YC$ 也为一基本矩阵。

证明：

$$(YC)^\prime = Y^\prime C = A YC$$
因此 $X = YC$ 满足：
$$X^\prime = AX$$
且 $X$ 的列是线性无关的（$Y$ 的列是线性无关，$C$ 是可逆的矩阵）。

反之，任意 $X, Y$ 是基本矩阵，则存在常数矩阵 $C$ 使得 $X = YC$。

在一般的 $A$ 的情形下，令 $u_1, \cdots, u_n$ 为一组 $A$ 的根向量基，对应特征值为 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$，对应重数为 $d_1, \cdots, d_n$，基本矩阵：

$$\begin{bmatrix} e^{At} u_1 & e^{At} u_2 & \cdots & e^{At} u_n \end{bmatrix}$$
而：
$$e^{At} u_i = e^{\lambda_i t + (A – \lambda_i I) t} u_i \\ = e^{\lambda_i t} e^{(A – \lambda_i I) t} u_i \\ = e^{\lambda_i t} \left(I + (A – \lambda_i I) t + \cdots + \frac{(A – \lambda_i I)^{d_i – 1} t ^{d_i – 1}}{(d_i – 1)!}\right) u_i$$
（如果 $u_i$ 是特征向量，则即为 $e^{\lambda_i t} u_i$）
$$e^{\lambda \mathrm{i} t} = \cos \lambda t + \mathrm{i} \sin \lambda t$$
因此频率为特征值的虚部除以 $2 \pi$。

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