半导体物理笔记（1）——固体物理导论

半导体物理笔记（1）——固体物理导论

半导体物理笔记（1）——固体物理导论

晶体结构

点阵和基元

理想晶体是由全同的结构单元在空间无限重复构成的。

晶体结构用点阵来描述，在点阵的每个阵点上附有一群原子。

这样的一个原子群称为基元。

基元在空间重复就形成晶体结构。

给定三个基本平移矢量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$,那么若

$$\vec{r’}=\vec{r}+u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c} \qquad (u,v,w\in Z)$$
从任意点 $\mathbf{r}$ 观察到的原子排列与 $\mathbf{r’}$ 观察到的相同，那么让 $u,v,w$ 取所有整数值所得到的一族点 $\mathbf{r’}$ 则定义了一个点阵。

基元为一群原子的排列，基元安在每个阵点上就可以描述晶体的周期型结构，点阵+基元=晶体结构。

若任意两个观察到原子排列相同的点$\mathbf{r}，\mathbf{r’}$ ，取适当的整数 $u,v,w$ 都满足上面的方程，则这个点阵称为初基点阵，这个平移矢量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 称为初基平移矢量。其确保了没有比这组初基平移矢量所构成的体积更小的晶胞存在于这个点阵中。

令

$$\vec{T}=u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c}$$
那么任意两个阵点之间都存在 $\vec{T}$ 连接，晶体通过晶体平移矢量 $\mathbf{T}$ 的平行于自身的位移称为点阵平移操作。

若经过某种操作可以使晶体结构与自身重合，则称为对称操作。

（讲道理我这里应该配图，但我没画而且图床对我家的网也不友好我就没传）

注意：一个点阵从某个阵点通过初基平移矢量的所有平移变换后遍历所有阵点，且初基平移矢量不唯一。

初基轴 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 确定的平行六面体称为一个初基晶胞（单胞）。

通过适当平移操作，晶胞可以填充整个空间。

单胞是体积最小的晶胞，虽然不唯一但是单胞中的原子数目都是一样的。

晶胞的体积

$$V_c=|\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}|$$
除了找初基平移矢量，也可以通过所有相邻阵点中垂面相交来确定单胞。

平行六面体是空间点阵的最小重复单位，布拉维父子证明只存在十四种不同的平行六面体，称为布拉维格子（不一定是初基晶胞）。

具体哪十四种百度一下。

介绍一下主要用到的面心立方（fcc），立方体的六个面中心和八个顶点为阵点。若取立体正交坐标 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ，则面心立方的初基平移矢量（简称基矢）选取为

$$\mathbf{a_1}=\frac{1}{2}\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k}\\ \mathbf{a_1}=\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{k}\\ \mathbf{a_1}=\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}$$

晶向和晶面

晶列：点阵的所有阵点位于一系列相互平行的直线上，直线系称为晶列。

晶向：晶列的方向

从某阵点 O 沿某个晶列到另一阵点 P 作位移矢量 $\vec{R}=l_1\vec{a}+l_2\vec{b}+l_3\vec{c}$

将 $l_1,l_2,l_3$ 换为互质整数 $m,n,p$

$$l_1:l_2:l_3=m:n:p$$
晶向指数 $[mnp]$ :晶向矢量在三晶轴上投影的互质整数

同类晶向记为 $< m n p>$,如 $< 1 0 0 >$ 代表 $[1 0 0]、[\overline{1}00]、[010]、[0\overline{1}0]、[001]、[00\overline{1}]$ 六个晶向

（一般负数记为数上标上划线）

晶面：所有阵点位于一系列相互平行等距的平面，这样的平面系称为晶面

晶面指数$(hkl)$：$h、k、l$ 是原点算起的第一个晶面与三晶轴的截距 $r、s、t$ 的倒数的互质整数，也称为密勒指数。

举个例子（理论上应该配图但我没配）：$(1,0,0)、(0,3,0)、(0,0,2)$三个阵点所在晶面，可以得到

$$\frac{1}{1}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=6:2:3$$
也就是说密勒指数为 $(623)$.

截距无穷大对应指数为$0$.

$e.g.$

证明在立方晶体中，$[hkl]$ 晶向垂直于 $(hkl)$ 晶面。

晶面的平面方程

$$\frac{x}{a/h}+\frac{y}{a/k}+\frac{z}{a/l}=1\\ \Rightarrow hx+ky+lz-a=0\\ 平面法向量\quad \vec{n}=h\hat{x}+k\hat{y}+l\hat{z}\\ 晶向 \quad \vec{R}=ha\hat{x}+ka\hat{y}+la\hat{z}\\ \vec{R}\times\vec{n}=0$$
附：

平面的一些知识

已知平面 $\pi$ 过点 $M_0 (x_0,y_0,z_0)$ ,$\vec{n}=\{A,B,C\}$ 是 $\pi$ 的法矢量。

点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

一般式：$Ax+By+Cz+D=0$

截距式：$\displaystyle{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}$ ，$a,b,c$ 分别为平面在 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴上的截距。

点 $M(x,y,z)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

$$d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

常见晶体结构

不用图很难说明，所以就不说了

简单点阵：基元只有一个原子

复式点阵：基元有一个以上原子

晶体衍射和倒易点阵

布拉格定律

假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射。若晶面间距为 $d$ ,那么相邻晶面反射波的光程差为 $2d\sin\theta$ .

即相当于光栅常数 $2d$ 的光栅衍射。

强反射束： $2d\sin\theta=n\lambda$

倒易点阵

由周期性可知，在平移操作 $\mathbf{T}$ 的作用下，晶体的任何物理性质都不变，包括电荷浓度、电子数密度、质量密度、磁矩密度。

电子束密度 $n(\vec{r}+\vec{T})=n(\vec{r})$

晶体的大部分性质都可以同电子密度的傅里叶分量联系起来

以周期为 $a$ 的一维周期函数 $n(x)$ 的处理为例：

$$n(x)=n_0+\sum_{p>0}[C_p\cos(\frac{2\pi p}{a}x)+S_p\sin(\frac{2\pi p}{a}x)],p\in N^*$$
显然 $n(x+a)=n(x)$.

其中 $2\pi p/a$ 称为晶体的倒易点阵中或傅里叶空间中的一个点。

写成复数形式：

$$n(x)=\sum_pn_pe^{i\frac{2\pi p}{a}x}$$
其中 $n_p$ 为复数，且 $n_{-p}^*=n_p$

拓展成三维

$$n(\vec{r})=\sum_{\vec{G}}n_{\vec{G}}e^{i\vec{G}\cdot\vec{r}}$$
寻求 $\vec{G}$ ,满足 $n(\vec{r}+\vec{T})=n(\vec{r})$.

若 实空间的基矢为 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ,那么倒空间的基矢 $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ 满足

$$\vec{A}=2\pi\frac{\vec{b}\times\vec{c}}{\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}}\\ \vec{B}=2\pi\frac{\vec{c}\times\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}}\\ \vec{C}=2\pi\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}}\\ $$

显然分母是实空间格子体积$V$。倒基矢量纲为 $[$长度$]^{-1}$ .$\vec{A}$ 与 $\vec{b},\vec{c}$ 垂直，$\vec{B}$ 与……

$$令\vec{G}=h\vec{A}+k\vec{B}+l\vec{C} \quad,h,k,l\in Z\\ \vec{T}=u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c},(详见前面的平移操作)$$
则
$$\vec{G}\cdot\vec{T}=(hu+kv+lw)\cdot\frac{2\pi V}{V}\\ n(\vec{r}+\vec{T})=\sum_{\vec{G}}n_\vec{G}e^{i\vec{G}\cdot\vec{r}}e^{i\vec{G}\cdot\vec{T}}=\sum_{\vec{G}}n_\vec{G}e^{i\vec{G}\cdot\vec{r}}=n(\vec{r})$$

衍射条件

相距 $\vec{r}$ 的体积元散射，入射射线束波矢 $\vec{k}=\displaystyle{\frac{2\pi}{\lambda}\hat{n}}$ ,出射波矢 $\vec{k’}$

入射与出射的总相差为 $(\vec{k}-\vec{k’})\cdot\vec{r}$ ,相差因子为 $e^{i(\vec{k}-\vec{k’})\cdot\vec{r}}$

而一个体积元散射波的振幅正比于该处电子浓度。

令 $\vec{\Delta k}=\vec{k’}-\vec{k}$ 为散射矢量，那么散射振幅的积分式为振幅乘相差因子对体积元的积分

$$H=\int n(\vec{r})e^{-i\vec{\Delta k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d}V$$
代入
$$n(\vec{r})=\sum_{\vec{G}}n_\vec{G}e^{i\vec{G}\cdot\vec{r}}$$
则
$$H=\sum_{\vec{G}}\int n_{\vec{G}}e^{i(\vec{G}-\vec{\Delta k})\cdot\vec{r}}\mathrm{d}V$$
显然当散射波矢等于 $\vec{G}$ 时，散射振幅最大。

假设弹性散射中，光子能量不发生改变，即

$$\hbar\omega=\hbar\omega’\rightarrow ck=\omega=\omega’=ck’\rightarrow k^2=k’^2\\ \vec{k’}-\vec{k}=\vec{G}\qquad (劳厄方程)\\ k’^2=(\vec{k}+\vec{G})^2\\ G^2+2\vec{k}\cdot\vec{G}=0$$
$-\vec{G}$ 也是倒格矢 $\vec{G}$ ,因此上式也可以写为
$$2\vec{k}\cdot\vec{G}=G^2$$

设 $\vec{k}$ 和 $\vec{k’}$ 夹角 $2\theta$ ,那么

$$G^2=2\sin\theta\cdot|\vec{k}|\cdot|\vec{G}|\\ 2\sin\theta\frac{1}{|\vec{G}|}=\frac{1}{|\vec{k}|}$$
那么密勒指数为 $(hkl)$ 的一族晶面，原点起第一个晶面与晶轴的截点为 $\displaystyle{\frac{1}{h}\vec{a},\frac{1}{k}\vec{b},\frac{1}{l}\vec{c}}$ ，倒格矢 $\vec{G}=h\vec{A}+k\vec{B}+l\vec{C}$ ,那么
$$\vec{G}\cdot(\frac{1}{h}\vec{a}-\frac{1}{k}\vec{b})=\vec{A}\cdot\vec{a}-\vec{B}\cdot\vec{b}=0$$
同理取另外两个截点间的位矢也与 $\vec{G}$ 垂直，所以 $\vec{G}=h\vec{A}+k\vec{B}+l\vec{C}$ 垂直于密勒指数为 $(hkl)$ 的一族晶面。

那么 $\vec{G}$ 即为晶面法相，该方向单位向量可以写为 $\vec{e_n}=\displaystyle{\frac{\vec{G}}{|\vec{G}|}}$ .

晶面间距 $d_{(hkl)}$ 为

$$d_{(hkl)}=\frac{1}{h}\vec{a}\cdot \vec{e_n}=\frac{2\pi}{|\vec{G}|}$$
回到式
$$2\sin\theta\frac{1}{|\vec{G}|}=\frac{1}{|\vec{k}|}$$
其中的 $|\vec{G}|$ 是 $d_{(hkl)}=\displaystyle{\frac{2\pi}{|\vec{G}|}}$ 中的 $n$ 倍，同时 $\lambda=\displaystyle{\frac{2\pi}{|\vec{k}|}}$ ,于是得到
$$2d_{(hkl)}\sin\theta=n\lambda$$
即从另一个方式推导出了布拉格定律。

布里渊区

布里渊区定义为倒易点阵中的 $W-S$ 原胞（前面提到的中垂面截出的原胞）（蒋玉龙老师的好多名词翻译和我其他地方看到的不一样所以我前后名词可能有出入，重在理解）。

若有一波矢从倒格点的原点（实际上格点都是等价的，只是找一个原点作参考）出发指向第一布里渊区的边界，原点到最邻近的倒格点的格矢为 $\vec{G}$ ，那么显然 $\vec{k}$ 在 $\vec{G}$ 的投影是 $\displaystyle{\frac{1}{2}\vec{G}}$ .

$$\vec{k}\cdot(\frac{1}{2}\vec{G})=(\frac{1}{2}G)^2$$
变形后为
$$2\vec{k}\cdot\vec{G}=G^2$$
满足强衍射条件.

布里渊区的特点：

• 每个布里渊区包含且仅包含一个倒格点
• 每个布里渊区具有相同的体积（且与倒空间单胞体积相等）

第一布里渊区：

• 倒空间中央的布里渊区，从原点出发到各倒格点作中垂面，所截最小体积即为第一布里渊区

$e.g.$

简单立方的倒格子

$$\Omega=\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=a^3\qquad(a为简单立方棱长)\\ \vec{a}=a\hat{i},\vec{b}=a\hat{j},\vec{c}=a\hat{k}\\ \vec{A}=\frac{2\pi}{a}\hat{i},\vec{B}=\frac{2\pi}{a}\hat{j},\vec{C}=\frac{2\pi}{a}\hat{k}\\ $$
简单立方的倒格子仍是简单立方，棱长为 $\displaystyle{\frac{2\pi}{a}}$ .

体心立方的倒格子

$$\vec{a}=\frac{1}{2}a(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\\ \vec{b}=\frac{1}{2}a(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\\ \vec{c}=\frac{1}{2}a(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\\ \Omega=\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=\frac{1}{2}a^3\\ \vec{A}=\frac{1}{2}\frac{4\pi}{a}(\hat{i}+\hat{j})\\ \vec{B}=\frac{1}{2}\frac{4\pi}{a}(\hat{j}+\hat{k})\\ \vec{C}=\frac{1}{2}\frac{4\pi}{a}(\hat{i}+\hat{k})$$
可见体心立方的倒格子为常数为 $\displaystyle{\frac{4\pi}{a}}$ 的面心立方

同理面心立方的倒格子为体心立方。

自由电子费米气体

一维情况下的能级和轨道密度

质量为 $m$ 的电子被无限高势垒限制在长度为 $L$ 的直线上。

引入薛定谔方程

$$\hat{H}\psi=\varepsilon\psi$$
电子的波函数 $\psi_n(x)$ 是方程的解，略去 $\hat{H}$ （自由电子模型）。（有很多量子力学内容但是我也没学所以…）

动量算符 $p=-i\hbar\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$ ,那么

$$\hat{H}=\frac{p^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi_n}{\mathrm{d}x^2}=\varepsilon_n\psi_n(x)$$
由于势垒无限高，所以边界条件为
$$\begin{cases} \psi_n(0)&=0\\ \psi_n(L)&=0 \end{cases}$$
可以得到解为
$$\psi_n(x)=A\sin(\frac{2\pi}{\lambda_n}x)\\ L=\frac{1}{2}n\lambda_n\\ A为常数，\varepsilon_n为电子在这个轨道上的能量$$
回代可以得到
$$\frac{\hbar^2}{2m}\cdot A(\frac{n\pi}{L})^2\sin(\frac{2\pi}{\lambda_n}x)=\varepsilon_n\cdot A\sin(\frac{2\pi}{\lambda_n}x)\\ \varepsilon_n=\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{n\pi}{L})^2$$
可见 $\varepsilon_n$ 与 $\displaystyle{\frac{1}{L}}$ 有关，且与 $n^2$ 成正比，$n$ 称为主量子数。

当有 $N$ 个电子时，泡利不相容原理指出两个电子的量子数组不能彼此相同，即每个轨道最多被一个电子占据。

在线型固体中，传导电子轨道的量子数是 $n$ 和 $m_s$ ，$n$ 可以是任何正整数，$m_s$ 是自旋取向值（$-1/2,1/2$）

同一个 $n$ 的一对轨道可以容纳两个电子（自旋分别向上向下），但能量相同。

相同能量的轨道 可以不止一个。具有相同能量的轨道的数目称为简并度。

电子先从底层低能级轨道填充开始，填满低能级轨道后，再逐渐向高能级轨道填充，直至 $N$ 个电子都找到了轨道

费米能级 $\varepsilon_F$ ：基态下最高被充满能级的能量

由于最高能级被充满，即该级主量子数为 $n_F=\displaystyle{\frac{N}{2}}$ ,代入前面的式子可以得到

$$\varepsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{N\pi}{2L})^2$$

温度对费米-狄拉克分布的影响

基态：系统处于绝对零度的状态（所有粒子处于最低能级）

温度升高，电子气的动能增加，某些在基态时空着的能级被占据，某些本来被占据的能级空了出来

费米-狄拉克函数描述了理想电子气处于热平衡时能量为 $\varepsilon$ 被电子占据的几率：

$$f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}+1}$$
$\mu$ 为化学势 $\mu(T)$

$T=0K$ 时， $\mu$ 以上几率为0，故 $\mu=\varepsilon_F$

当 $\varepsilon=\mu$ 时，$f(\varepsilon)=\displaystyle{\frac{1}{2}}$

当 $\varepsilon-\mu>>kT$ ，$f(\varepsilon)\sim \displaystyle{e^{-\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}}$

三维情况下的自由电子气

薛定谔方程

$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=\varepsilon_{\vec{k}}\psi_{\vec{k}}(\vec{r})$$
考虑边长 $L$ 立方体的电子状态，波函数是 $x,y,z$ 的周期函数，周期为 $L$ 。
$$\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\\ k_x,k_y,k_z=0;\pm\frac{2\pi}{L};\frac{4\pi}{L};\cdots;\pm\frac{2n\pi}{L}$$
把波函数回代到薛定谔方程，可以得到
$$\varepsilon_{\vec{k}}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2=\frac{\hbar^2}{2m}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)$$
$\varepsilon-k$ 的关系即为色散关系
$$\vec{p}\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=-i\hbar\nabla\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=\hbar\vec{k}\psi_{\vec{k}}(\vec{r})\\ \vec{v}=\frac{\hbar\vec{k}}{m}$$
三维情况下 $N$ 个电子处在基态时，每个被占据轨道可以表示为 $\vec{k}$ 空间中一个球内的点

球面的能量为费米能，费米面上的波矢大小为 $k_f$ ,$\displaystyle{\varepsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}k_F^2}$

$\vec{k}$ 空间内最小允许体积元是 $(2\pi/L)^3$，即每一个这么小的体积元内只有一个可能的允许波矢（波矢量子化）

每个允许的波矢，对应自旋相反的两个电子，二者能量相同，费米球内的电子轨道的总数是

$$N=2\times(\frac{4}{3}\pi k_F^3\div(\frac{2\pi}{L})^3)=\frac{V}{3\pi^2}k_F^3\\ k_F=(\frac{3\pi^2N}{V})^\frac{1}{3}\\ \varepsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{3\pi^2N}{V})^\frac{2}{3}$$
边长 $L$ 立方体内自由电子气的费米能只与粒子浓度 $N/V$ 有关。

$\vec{k}$ 空间内球状等能面情况下的能态密度推导

能态密度：单位能量间隔内的轨道数目

$$D(\varepsilon)=\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\varepsilon}$$
根据前面的推导可以得到
$$\begin{aligned} N&=\frac{V}{3\pi^2}k_F^3\\ &=\frac{V}{3\pi^2}(\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\\ \ln N&=\frac{3}{2}\ln\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}+C\\ \frac{\mathrm{d}N}{N}&=\frac{3}{2}\frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\varepsilon}\\ D(\varepsilon)&=\frac{3}{2}\frac{N}{\varepsilon}\\ &=\frac{V}{2\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\cdot\varepsilon^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
练习：两维和一维情况下的能态密度的推导

能带

在薛定谔方程中考虑周期性势场的作用，从而导致带隙（禁带）的出现。

上面的自由电子模型允许能值从 $0$ 分布至无限。

近自由电子模型

近自由电子模型：把能带电子看作仅仅受到离子实的周期性势场微扰。

以一维点阵常数为 $a$ 的线形固体为例来了解近自由电子模型。

要考虑电子波在周期性势场中发生的布拉格衍射。

$$(\vec{k}+\vec{G})^2=k^2$$
在一维情况下 $k=\pm\displaystyle{\frac{n\pi}{a}}$

当波矢为 $\pm\displaystyle{\frac{\pi}{a}}$ 时，电子波函数成为驻波(布拉格反射)

$$\psi(+)=e^{i\frac{\pi}{a}x}+e^{-i\frac{\pi}{a}x}=2\cos(\frac{\pi}{a}x)\\ \psi(-)=e^{i\frac{\pi}{a}x}-e^{-i\frac{\pi}{a}x}=2i\sin(\frac{\pi}{a}x)$$

两个驻波使电子聚积在不同的空间区域内，考虑离子实的排列，两个波有不同的势能值，即能隙的起因。

粒子的几率密度 $\rho=|\psi|^2$.对于纯粹行波 $e^{ikx}$ ,$\rho=e^{ikx}\cdot e^{-ikx}$=1 ,电荷密度为常量。

$$\rho(+)=|\psi(+)|^2\varpropto\cos^2(\frac{\pi}{a}x),负电荷聚积于 x=0,a,2a,\cdots的正离子上\\ \rho(-)=|\psi(-)|^2\varpropto\sin^2(\frac{\pi}{a}x),负电荷聚积于相邻离子实中线$$
电子势能为负，且与距离原子实距离成反比，所以

$$U(+) < U(行波) < U(-)$$ 若 $U(-)$ 与 $U(+)$ 能量差 $E_g$ ，即为能隙宽度。能隙起因即为电子波的布拉格反射-周期性势场的作用

布洛赫函数

对于考虑周期性势场的薛定谔方程，其解一定是如下形式（布洛赫函数）

$$\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=u_{\vec{k}}(\vec{r})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$$
其中 $u_{\vec{k}}(\vec{r})=u_{\vec{k}}(\vec{r}+\vec{T})$

布洛赫函数可以由行波组成，叠加后可以成为波包，从而表示在离子实势场中自由传播的电子。

$\hbar \vec{k}$ 称为电子的晶体动量。

克朗尼格-彭奈模型

一维周期性方阱势场

$U(x)$ 为势能，$\varepsilon$ 是能量本征值。

$$U(x)= \begin{cases} 0 &(0 < x < a)\\ U_0 &(-b < x < 0)\\ \end{cases}$$ $$-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+U(x)\psi=\varepsilon\psi$$ $$\psi(x)= \begin{cases} Ae^{iKx}+Be^{-iKx} &(0 < x < a)\\ Ce^{Qx}+De^{-Qx} &(-b < x < 0)\\ \end{cases}$$ $$\varepsilon= \begin{cases} \frac{\hbar^2K^2}{2m} &(0 < x < a)\\ U_0-\frac{\hbar^2Q^2}{2m} &(-b < x < 0)\\ \end{cases}$$ $\psi$ 和 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}}$ 在 $x=0$ 和 $x=a$ 处连续$\psi$ 和 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}}$ 在 $x=a$ 处的值等于 $-b$ 处的值，但超前一个位相因子 $e^{ik(a+b)}$将 $\psi$ 代入以上条件，方程组有解要求系数矩阵的行列式为0，即 $$\frac{Q^2-K^2}{2QK}\sinh Qb\sin Ka +\cosh Qb\cos Ka=\cos k(a+b)$$ 简化结果，令 $b=0$,$U_0=\infty$ ,同时令 $\displaystyle{\frac{Q^2ba}{2}}=P$ 为有限值，化简后 $$\frac{P}{Ka}\sin Ka+\cos Ka =\cos ka$$ 令 $P=\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}$，以 $Ka$ 为横坐标画 $\displaystyle{\frac{P}{Ka}\sin Ka+\cos Ka}$ 的图像（显然我没画就算画了也贴不上来）由于范围在 $-1\sim 1$ 变化，所以会出现间断的解集，而 $ka$ 是不间断的。由于 $\varepsilon=\displaystyle{\frac{\hbar^2K^2}{2m}}$ ,所以以 $ka$ 相角为横轴，$\varepsilon$ 能量为纵轴的能带谱在 $n\pi$ 的位置有带隙。

能带中轨道的数目

线长为 $L$,周期为 $a$ 的一维线形晶体

允许的波矢

$$k=0;\pm\frac{2\pi}{L};\pm\frac{4\pi}{L};\cdots;\frac{2n\pi}{L}$$
第一布里渊区为 $-\pi/a\sim\pi/a$ ,

允许波矢数

$$N=\frac{2\pi/a}{2\pi/L}=\frac{L}{a}$$
第一布里渊区内允许的波矢总数即为晶体中的初基晶胞数

每个初基晶胞给每个能带贡献一个独立的 $k$

考虑三维同一能量下有两个相反的自旋，故每个能带中有 $2N$ 个独立轨道

若每个初基晶胞含有一个一价原子，那么能带可被电子填满一半

若每个原子贡献两个价电子，那么能带刚好填满；若初基晶胞含有两个一价原子，能带也刚好填满

金属和绝缘体

如果价电子刚好填满一个或更多的能带，其余能带全空，则为绝缘体。

初基晶胞内价电子为偶数晶体才可能是绝缘体。（必要不充分条件）

半导体晶体

除了一个或两个能带几乎空着或几乎充满，其余全部充满，晶体就是半导体或半金属（有交叠）。

能带隙

高纯半导体在绝对零度时导带是空的，并由能隙与满价带隔开。

能带隙是导带最低点和价带最高点的能量差。

以上

固体物理导论，实际上半导体物理课本里没讲多少，我也不知道哪些有用，而且很多配了图更好理解，将就着看吧。

 半导体物理