线性代数笔记（5）——矩阵的转置和逆

wzf2000
2019年10月10日

线性代数笔记（5）——矩阵的转置和逆

矩阵的转置

设 $A_{m \times n} = (a_{i,j})_{m \times n}$，定义 $A$ 的转置 $A^T = (a_{j,i})_{n \times m}$。

性质

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A+B)^T = A^T + B^T$
3. 对任意数 $k,(kA)^T = k A^T$
4. $(AB)^T = B^T A^T$

应用

设 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ 为两 $n$ 维列向量，则内积 $\mathbf{x} \cdot y = x^Ty = y^Tx$

对称矩阵

若 $A^T = A$，则称 $A$ 是一个对称矩阵。

设 $A_{n \times n} = (a_{i,j})_{n \times n}$，则 $\forall i,j = 1, 2, \cdots, n,a_{i,j} = a_{j,i}$。

若 $A^T = -A$，则称 $A$ 是一个反对称矩阵。

特性：$R^T \cdot R$ 是对称矩阵。

矩阵的逆

可逆矩阵

对方阵 $A$，若存在矩阵 $B$，满足 $AB = BA = I$，则称 $A$ 是可逆的。称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。

可逆矩阵性质

若方阵 $A$ 满足 $AB = I$，$CA = I$，则 $B = C$。特别地，方阵的逆唯一。（分别称 $B$ 和 $C$ 为 $A$ 的右逆和左逆）

矩阵可逆与主元个数

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个主元（即：初等行变换得 $n$ 个主元）

证明思路：

右推左：左逆是一系列初等矩阵的乘积，右逆通过方程组总有有解构造。

左推右：反证法，通过初等矩阵相乘不可逆得出矛盾。

奇异矩阵

也就是不可逆矩阵，可逆矩阵也称为非奇异矩阵。

矩阵可逆的性质

1. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有唯一解 $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$。

2. $A$ 是方阵，$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非零解 $\Rightarrow A$ 不可逆。

3. 二阶方阵的逆。
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   a & b \\
   c & d
   \end{pmatrix}
   A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
   d & -b \\
   -c & a
   \end{pmatrix}
   $$

4. 对角矩阵可逆 $\Leftrightarrow$ 对角线元素均不为零，且逆矩阵为对角矩阵，各元素变为原来的倒数。

5. 若方阵 $A,B$ 满足 $AB = I$，则 $BA = I$，且 $B = A^{-1}$。

6. 若 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1} = A$。

7. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 都可逆，则 $AB$ 可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。

8. 可逆矩阵转置的逆矩阵就是其逆矩阵的转置。

初等矩阵的逆

$E_{ij}(x)^{-1} = E_{ij}(-x)$

$P_{ij}^{-1} = P_{ij}$

$D_i(c)^{-1} = D_i(\frac{1}{C})$

Gauss-Jordan 消元法求 $A^{-1}$

将 $(A|I)$ 用初等行变换，将左边的 $A$ 化为单位矩阵 $I$，则右边的 $I$ 就便换成了 $A^{-1}$。

上（下）三角矩阵

主对角线上（下）全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

上（下）三角矩阵的乘积仍为上（下）三角矩阵，可以用数学归纳法跟分块矩阵证明。

对于下三角矩阵，可逆 $\Leftrightarrow$ 主对角元素都非零

下三角矩阵的逆还是下三角矩阵。

分块矩阵的消元和逆

分块矩阵的初等行变换：

1. 把分块阵的一行减去“另一行左乘矩阵 $P$”。
2. 交换分块阵的两行。
3. 用一个可逆矩阵 $M$ 左乘分块阵的某一行。

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