微积分笔记（27）——常系数线性方程（1）

微积分笔记（27）——常系数线性方程（1）

高阶线性方程解的结构（续）

推广：$n$ 阶线性方程

$$y^{(n)} + a_1(x) y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1}(x) y^{\prime} + a_n(x) y =f(x) \ \ \ \ (x \in I)$$

通解：

$$y = y^* + c_1 y_1 + \cdots +c_n y_n$$
其中 $y_1,\cdots,y_n$ 是齐次方程的 $n$ 个线性无关解，$y^*$ 是非齐次方程的一个解。

常系数线性方程

常系数线性方程的特征方程

$$y^{(n)} + a_1 y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1} y^{\prime} + a_n y =f(x) \ \ \ \ (1)$$

方法：求形如 $y = e^{\lambda x}$ 的解（齐次方程 $f \equiv 0$）。

代入方程：

$$(\lambda^n + a_1 \lambda^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} \lambda + a_n) e^{\lambda} = 0 \\ \therefore \lambda^n + a_1 \lambda^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} \lambda + a_n = 0 \ \ \ \ (2)$$
方程 $(2)$ 称为方程 $(1)$ 的特征方程。

求解方法之三：特征方程法——适用常系数情况

以 $n = 2$ 为例：

$$y^{\prime\prime} + a y^{\prime} + by = 0 \ \ \ \ (3)$$
特征方程：
$$\lambda^2 + a \lambda + b = 0 \ \ \ \ (4)$$
分情况讨论：

1. 若特征方程 $(4)$ 有 $2$ 个不同的实根 $\lambda_1,\lambda_2$，则 $y_1 = e^{\lambda_1 x},y_2 = e^{\lambda_2 x}$ 都是 $(3)$ 的解，$W[y_1,y_2] = (\lambda_2 – \lambda_1) e^{(\lambda_1 + \lambda_2) x} \not = 0$，从而通解 $y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$。

2. 若特征方程 $(4)$ 只有 $1$ 个 $2$ 重根 $\lambda = – \dfrac{a}{2}$，则 $y_1 = e^{\lambda x},y_2 = x e^{\lambda x}$ 是两个线性无关解。

   验证：$y_2^{\prime} = (1 + \lambda x) e^{\lambda x},y_2^{\prime\prime} = (2 \lambda + \lambda^2 x) e^{\lambda x}$。

   代入方程得：
   

   $$y_2^{\prime\prime} + a y_2^{\prime} + by_2 = [(2 \lambda + \lambda^2 x) + a(1 + \lambda x) + bx] e^{\lambda x} \\ = [x(\lambda^2 + a \lambda + b) + (a + 2 \lambda)] e^{\lambda x} = 0$$
   $W[y_1,y_2] = e^{\lambda x} \not = 0$。

   $\therefore$ 方程 $(3)$ 的通解 $y = (c_1 + c_2 x) e^{- \frac{a}{2} x}$。

3. 若特征方程 $(4)$ 只有一对共轭复根，$\lambda = \alpha \pm \mathrm{i} \beta(\beta \not = 0)$，则 $y_{\pm} = e^{\alpha \pm \mathrm{i} \beta}$ 是 $(3)$ 的 $2$ 个解。

   回忆：Euler 公式（定义）：$e^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$。（导数相等）
   

   $$y_{\pm} = e^{\alpha x} (\cos (\beta x) \pm \mathrm{i} \sin (\beta x))$$
   为了得到实值的解，利用线性性质，$y_1 = \dfrac{1}{2} (y_+ + y_-) = e^{\alpha x} \cos (\beta x),y_2 = \dfrac{1}{2 \mathrm{i}} (y_+ – y_-) = e^{\alpha x} \sin (\beta x)$，得到 $(4)$ 的两个解，$W[y_1,y_2] = \beta e^{\alpha x}$，方程 $(1)$ 的通解 $y = e^{\alpha x} (c_1 \cos (\beta x) + c_2 \sin (\beta x))$。

回到一般 $n$ 的情况：

1. 若 $\lambda$ 为特征方程 $(2)$ 的 $k$ 重实根，则：

   $y_1 = e^{\lambda x},\cdots,y_k = x^{k – 1} e^{\lambda x}$ 为方程 $(1)$ 的 $k$ 个线性无关解。

2. 若 $\lambda = \alpha \pm \mathrm{i} \beta$ 是特征方程 $(2)$ 的 $k$ 重共轭复根，则 $y_1 = e^{\alpha x} \cos (\beta x),\cdots,y_k = x^{k – 1} e^{\alpha x} \cos (\beta x),\widetilde{y_1} = e^{\alpha x} \sin (\beta x),\cdots,\widetilde{y_k} = x^{k – 1} e^{\alpha x} \sin (\beta x)$ 为方程 $(1)$ 的 $2k$ 个线性无关解。

非齐次方程（常系数）

$$y^{(n)} + a_1 y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1} y^{\prime} + a_n y =f(x) \ \ \ \ (1)$$

假设 $f(x) = P_n(x) e^{\mu x}$，$\mu$ 可以是复数。

若 $\mu = \alpha + \mathrm{i} \beta$，$e^{\mu x} = e^{\alpha x} (\cos (\beta x) + \mathrm{i} \sin (\beta x))$。

方程化为：

$$L(y) = P_n(x) e^{\alpha x} \cos (\beta x) + \mathrm{i} P_n(x) e^{\alpha x} \sin (\beta x) = f_1(x) + \mathrm{i} f_2(x)$$
令 $y = u(x) + \mathrm{i} v(x)$，则：
$$L(y) = L(u)+ \mathrm{i} L(v) = f_1(x) + \mathrm{i} f_2(x) \\ L(u) = f_1(x),L(v) = f_2(x)$$

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