微积分笔记(27)——常系数线性方程(1)

微积分笔记(27)——常系数线性方程(1)

高阶线性方程解的结构(续)

推广:$n$ 阶线性方程

$$
y^{(n)} + a_1(x) y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1}(x) y^{\prime} + a_n(x) y =f(x) \ \ \ \ (x \in I)
$$

通解:
$$
y = y^* + c_1 y_1 + \cdots +c_n y_n
$$
其中 $y_1,\cdots,y_n$ 是齐次方程的 $n$ 个线性无关解,$y^*$ 是非齐次方程的一个解。

常系数线性方程

常系数线性方程的特征方程

$$
y^{(n)} + a_1 y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1} y^{\prime} + a_n y =f(x) \ \ \ \ (1)
$$

方法:求形如 $y = e^{\lambda x}$ 的解(齐次方程 $f \equiv 0$)。

代入方程:
$$
(\lambda^n + a_1 \lambda^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} \lambda + a_n) e^{\lambda} = 0 \\
\therefore \lambda^n + a_1 \lambda^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} \lambda + a_n = 0 \ \ \ \ (2)
$$
方程 $(2)$ 称为方程 $(1)$ 的特征方程

求解方法之三:特征方程法——适用常系数情况

以 $n = 2$ 为例:
$$
y^{\prime\prime} + a y^{\prime} + by = 0 \ \ \ \ (3)
$$
特征方程:
$$
\lambda^2 + a \lambda + b = 0 \ \ \ \ (4)
$$
分情况讨论:

  1. 若特征方程 $(4)$ 有 $2$ 个不同的实根 $\lambda_1,\lambda_2$,则 $y_1 = e^{\lambda_1 x},y_2 = e^{\lambda_2 x}$ 都是 $(3)$ 的解,$W[y_1,y_2] = (\lambda_2 – \lambda_1) e^{(\lambda_1 + \lambda_2) x} \not = 0$,从而通解 $y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$。

  2. 若特征方程 $(4)$ 只有 $1$ 个 $2$ 重根 $\lambda = – \dfrac{a}{2}$,则 $y_1 = e^{\lambda x},y_2 = x e^{\lambda x}$ 是两个线性无关解。

    验证:$y_2^{\prime} = (1 + \lambda x) e^{\lambda x},y_2^{\prime\prime} = (2 \lambda + \lambda^2 x) e^{\lambda x}$。

    代入方程得:
    $$
    y_2^{\prime\prime} + a y_2^{\prime} + by_2 = [(2 \lambda + \lambda^2 x) + a(1 + \lambda x) + bx] e^{\lambda x} \\
    = [x(\lambda^2 + a \lambda + b) + (a + 2 \lambda)] e^{\lambda x} = 0
    $$
    $W[y_1,y_2] = e^{\lambda x} \not = 0$。

    $\therefore$ 方程 $(3)$ 的通解 $y = (c_1 + c_2 x) e^{- \frac{a}{2} x}$。

  3. 若特征方程 $(4)$ 只有一对共轭复根,$\lambda = \alpha \pm \mathrm{i} \beta(\beta \not = 0)$,则 $y_{\pm} = e^{\alpha \pm \mathrm{i} \beta}$ 是 $(3)$ 的 $2$ 个解。

    回忆:Euler 公式(定义):$e^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$。(导数相等)
    $$
    y_{\pm} = e^{\alpha x} (\cos (\beta x) \pm \mathrm{i} \sin (\beta x))
    $$
    为了得到实值的解,利用线性性质,$y_1 = \dfrac{1}{2} (y_+ + y_-) = e^{\alpha x} \cos (\beta x),y_2 = \dfrac{1}{2 \mathrm{i}} (y_+ – y_-) = e^{\alpha x} \sin (\beta x)$,得到 $(4)$ 的两个解,$W[y_1,y_2] = \beta e^{\alpha x}$,方程 $(1)$ 的通解 $y = e^{\alpha x} (c_1 \cos (\beta x) + c_2 \sin (\beta x))$。

回到一般 $n$ 的情况:

  1. 若 $\lambda$ 为特征方程 $(2)$ 的 $k$ 重实根,则:

    $y_1 = e^{\lambda x},\cdots,y_k = x^{k – 1} e^{\lambda x}$ 为方程 $(1)$ 的 $k$ 个线性无关解。

  2. 若 $\lambda = \alpha \pm \mathrm{i} \beta$ 是特征方程 $(2)$ 的 $k$ 重共轭复根,则 $y_1 = e^{\alpha x} \cos (\beta x),\cdots,y_k = x^{k – 1} e^{\alpha x} \cos (\beta x),\widetilde{y_1} = e^{\alpha x} \sin (\beta x),\cdots,\widetilde{y_k} = x^{k – 1} e^{\alpha x} \sin (\beta x)$ 为方程 $(1)$ 的 $2k$ 个线性无关解。

非齐次方程(常系数)

$$
y^{(n)} + a_1 y^{(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1} y^{\prime} + a_n y =f(x) \ \ \ \ (1)
$$

假设 $f(x) = P_n(x) e^{\mu x}$,$\mu$ 可以是复数。

若 $\mu = \alpha + \mathrm{i} \beta$,$e^{\mu x} = e^{\alpha x} (\cos (\beta x) + \mathrm{i} \sin (\beta x))$。

方程化为:
$$
L(y) = P_n(x) e^{\alpha x} \cos (\beta x) + \mathrm{i} P_n(x) e^{\alpha x} \sin (\beta x) = f_1(x) + \mathrm{i} f_2(x)
$$
令 $y = u(x) + \mathrm{i} v(x)$,则:
$$
L(y) = L(u)+ \mathrm{i} L(v) = f_1(x) + \mathrm{i} f_2(x) \\
L(u) = f_1(x),L(v) = f_2(x)
$$

 

点赞 0

No Comments

Add your comment