大学物理（零）——量纲分析

大学物理（零）——量纲分析

零·量纲分析

(1) 单位制

一个物理量一般包含数值和单位两个部分(也存在物理量为纯数). 由于各物理量之间的关系, 我们可以选定一些物理量为基本量, 并对每个基本量选出一个单位为基本单位, 那么其他物理量就可以由基本量导出, 称为导出量, 它们的单位称为导出单位. 根据如上的规则可以构成单位制.

(2) 量纲

由于物理量之间的联系, 当一个单位制中的基本量选定后, 其它物理量都可通过物理关系与基本量联系起来. 为了定性地描述物理量, 特别是定性地给出导出量与基本量间的关系, 我们引入量纲. 不考虑数值时, 表示不同物理量的导出关系, 称为此量的量纲(量纲式). 如力学中, MKS(某种单位制)中的基本量是长度 $L$ , 质量 $M$ 和时间 $T$ , 那么对每个力学量 $Q$ 都可以写出下列量纲式:

$$[Q]=L^\alpha M^\beta T^\gamma,$$
其中 $[Q]$ 表示物理量 $Q$ 在这个单位制中的量纲, $L,M,T$ 分别表示 $L,M,T$ 这三个基本量的量纲.

例如, 速度 $v$ , 加速度 $a$ , 动量 $p$ , 力 $f$ , 冲量 $I$ 和功 $A$ 的量纲式分别为:

$$\begin{align} &[v]=[s]/[t]=LT^{-1};\\ &[a]=[v]/[t]=LT^{-2};\\ &[p]=[m][v]=LMT^{-1};\\ &[f]=[p]/[t]=LMT^{-2};\\ &[I]=[f][t]=[p]=LMT^{-1};\\ &[A]=[f][s]=L^2MT^{-2}. \end{align}$$

(3) 量纲分析

这里介绍量纲分析的基本原理——$\Pi$定理.

首先选定单位制，所选单位制中基本量的数目为 $m$ , 其量纲为 $X_1,X_2,\cdots,X_m$ , 用 $[P]$ 表示导出量的量纲, 则

$$[P]=X_1^{a_1}X_2^{a_2}\cdots X_m^{a_m},$$
对上式取对数，则有
$$\ln [P]=a_1\ln X_1+a_2\ln X_2+\cdots+a_m\ln X_m,$$
把 $\ln X_1,\ln X_2,\cdots,\ln X_m$ 看作 $m$ 维空间的正交基矢, 则 $(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ 就是矢量 $\ln [P]$ 在基矢上的投影, 或者说分量. 类似的, 可以有多个矢量 $\ln [P_n]$ 线性相关的概念.

$\Pi$ 定理

某物理问题涉及 $n$ 个物理量 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ , 所选单位制有 $m$ 个基本量 $(n>m).$ 那么可以列出 $n-m$ 个无量纲的物理量 $\Pi_1,\Pi_2,\cdots,\Pi_{n-m}$ , 于是物理量 $P_1,P_2\cdots,P_n$ 之间存在的关系式

$$f(P_1,P_2,\cdots,P_n)=0.$$
可以改写为:
$$F(\Pi_1,\Pi_2,\cdots,\Pi_{n-m})=0.$$

(4) 例题

单摆

已知单摆的周期 $t$ 可能由摆重 $m$ , 绳长 $l$ , 重力加速度 $g$ 决定, 确定 $t$ 由另三者表示的量纲式.

解 基本量为 $M,T,L.$

$$\begin{cases} \ln[t]=0\times\ln M+1\times\ln T+0\times\ln L\\ \ln[m]=1\times\ln M+0\times\ln T+0\times\ln L\\ \ln[l]=0\times\ln M+0\times\ln T+1\times\ln L\\ \ln[g]=0\times\ln M-2\times\ln T+1\times\ln L \end{cases}.$$
基本量为三个也就是说上式最多三者线性无关, 因此可以列出:
$$\ln[t]=x_1\ln[m]+x_2\ln[l]+x_3\ln[g]$$
代入上式即得:
$$0\times\ln M+1\times\ln T+0\times\ln L\\ =x_1[1\times\ln M+0\times\ln T+0\times\ln L]\\ +x_2[0\times\ln M+0\times\ln T+1\times\ln L]\\ +x_3[0\times\ln M-2\times\ln T+1\times\ln L]\\ $$
考虑到 $\ln M,\ln T,\ln L$ 为正交基矢, 因此等号两边对应系数应当相等:
$$\begin{cases} 1\times x_1+0\times x_2+0\times x_3=0\\ 0\times x_1+0\times x_2-2\times x_3=1\\ 0\times x_1+1\times x_2+1\times x_3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=0\\ x_2=\frac{1}{2}\\ x_3=-\frac{1}{2} \end{cases}.$$
从而
$$[t]=\sqrt{\frac{[l]}{[g]}}.$$
并且能得到一个无量纲数 $\Pi_1$, 满足
$$\Pi_1=t\sqrt{\frac{g}{l}},\quad t=\Pi_1\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

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